Основные задачи Рассмотреть биографию Пифагора Познакомиться с его школой Собрать исторические сведения о теореме Исследовать различные способы доказательства теоремы Пифагора Рассмотреть исторические и практические задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагор Самосский (ок ок. 500 г. до н.э.) Пифагор и его школа Пифагор родился около 580 г. до н.э. на греческом острове Самосе. Получил хорошее образование. В Греции он организовал свою школу, которая действовала почти 30 лет, её раньше называли пифагорейским союзом. Пифагор не оставил после себя собраний сочинений, он держал всё в тайне и передавал ученикам устно. Самое большее, что известно сейчас – это теорема Пифагора.

История теоремы Пифагора Исторический обзор начинается с древнего Китая. Египтяне строили прямые углы при помощи таких треугольников, используя натягивание верёвки. В древнем Вавилоне в 2000 г. до н.э. проводили приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора обнаружена в папирусе времён фараона Аменемхета и вавилонских клинописных табличках VII-V в. до н.э. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы, но оно не сохранилось.

Доказательство Евклида Дано: Δ ABC - прямоугольный Доказать: S ABFH + S ACKG = S BCED. Доказательство: AO- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Докажем, что прямоугольник BOLD равновелик квадрату ABFH. Δ ABD=ΔBFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBC = углу ABD). S Δ ABD=1/2 S прямоугольника BOLD, т.к. у ΔABD и прямоугольника BOLD общее основание BD и общая высота LD. АНАЛОГИЧНО, S ΔFBC=1/2 S прямоугольника ABFH (BF-общее основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S Δ ABD = S ΔFBC, имеем: S BOLD=S ABFH. АНАЛОГИЧНО, используя равенство Δ BCK и Δ ACE, доказывается, что S OCEL= S ACKG. S ABFH + S ACKG = S BOLD + S OCEL = S BCED. O

Доказательство методом площадей Дано: abc – прямоугольный треугольник Доказать: c 2 = a 2 + b 2 Доказательство: Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол 180°. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата. Что и требовалось доказать

Построим ΔABC с прямым углом С. Доказательство Гофмана A B C a b c F D E Построим BF=CB, BF CB Построим BE=AB, BE AB Построим AD=AC, AD AC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ΔABF= ΔЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них ΔABC, получим: 1/2 а 2 +1/2b 2 =1/2 с 2 Соответственно: а 2 + b 2 =с 2

Доказательство Вальдхейма Дано: прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой - c Доказать: a²+b²=c² Доказательство: Выразим площадь трапеции двумя путями. Sтрапеции = (a+b)²/2 Sтрапеции = ab + c²/2 При ревнивая правые части получим: a²+b²=c² Теорема доказана.

Векторное доказательство Дано: АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах СВ и СА Доказать: c² = a² + b² Доказательство: Справедливо векторное равенство: b + c = a, откуда имеем c = a – b, возводя обе части в квадрат, получим c² = a² + b² - 2a b Так как СВ перпендикулярно СА, то a b = 0, откуда c² = a² + b² или c² = a² + b²

Исторические задачи Задача индийского математика 12 века Бхаскары: «На берегу реки рос тополь одинокий Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» Решение: пусть СD – высота тополя, DC=CB + BD, по теореме Пифагора имеем АС ² + СВ ² = АВ ², 3 ² + 4 ² = 25, АВ = 5 футов. CD = 3+5 = 8(футов) Ответ: 8 футов.

Древнеиндийская задача Над озером тихим С полфута размером Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Какова глубина в современных единицах длины? Решение: Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера DС =Х, тогда BD = AD = Х + 0,5. Из треугольника DCB по теореме Пифагора имеем CD² = DB² – CB². (Х + 0,5)² – Х² = 2², Х² + Х² + 0,25 – Х² = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB=OA+AB OB=r + x. Используя теорему Пифагора, получим ответ: 2,3 км.

Молниеотвод Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h2 a2+b2, значит h(a2+b2)1/2.

Окна В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p) ²=(b/4) ²+(b/2-p) ² или b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p², откуда bp/2=b²/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

Астрономия На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

Строительство крыши При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF. Решение: Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда: А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м., Б) Из треугольника ABF:

Слайд 2

a2+b2=c2 c a b П

Слайд 3

Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Мы не знаем, как он это сделал. Предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно очевидно следует из рис. 1.

Слайд 4

Слайд 5

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

Слайд 6

Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Слайд 7

Аддитивные доказательства. Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Доказательство Эйнштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Слайд 8

На рис. 4 приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF. Докажите теорему с помощью этого разбиения. D E

Слайд 9

Доказательства методом достроения. Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Слайд 10

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. F

Слайд 11

На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того, что ABC подобен ACM, следует, что b2 = c*b1; (1) из того, что ABC подобен BCM, следует, что a2 = c*a1. (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

Слайд 12

На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. Доказательство Гарфилда.

Слайд 13

Биография Пифагора. Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермо, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу.

Слайд 14

Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но, влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой(удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.

Слайд 15

А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена(«пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас. ...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Посмотреть все слайды

1. Вводная часть

2. Исторический экскурс

• Рассказ о Пифагоре;
• Из истории теоремы Пифагора

4. Доказательство теоремы

5. Теорема обратная теореме Пифагора

6. Задачи по готовым чертежам

7. Старинные задачи

8. Самопроверка

– одна из самых знаменитых положений геометрии. Хотя она и названа именем великого древнегреческого математика и философа, жившего более 25 веков тому назад, история ее началась задолго до самого Пифагора.

Исторический экскурс

• Рассказ о Пифагоре

Говоря о Пифагоре, следует сразу отметить, что о его жизни известно немного. Мы знаем, что в 6 в. до н.э. в Др.Греции жил ученый по имени Пифагор, родом из Самоса. В молодости он много путешествовал по странам Востока, где изучал разные науки. Вернувшись на родину, Пифагор основал философскую школу, так называемый пифагорейский союз. Пифагорейцами были сделаны важные открытия в области арифметики и геометрии.

Исторический экскурс

• Из истории теоремы Пифагора

Интересна история теоремы Пифагора. Она была известна задолго до Пифагора. Эта теорема встречалась за 1200 лет до него. Возможно еще тогда не знали доказательство, а отношения между гипотенузой и катетом устанавливали опытным путем. Пифагор нашел доказательство этого соотношениям. Сохранилось древнее поверие, что Пифагор в честь своего открытия принес жертву богам быка. Позже были найдены различные доказательства теоремы, в настоящее время их более 100.

Учащиеся средних веков считали доказательство этой теоремы трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих»,т.к. слабые ученики бежали от геометрии.

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство теоремы

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. (рис. 1).

Докажем что c 2 = a 2 + b 2 .

Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рис.2. Площадь S этого квадрата равна (a+b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ a*b,и квадрата со стороной c, поэтому S = 4* ½ a*b + с 2 = 2a*b + с 2 .

Таким образом (a+b) 2 = 2a*b + с 2 , откуда: с 2 = a 2 + b 2 . Теорема доказана.

Существует теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника

равен сумме квадратов двух других сторон,

то треугольник прямоугольный.

С помощью готовых чертежей вычислить, если возможно :

Сторону АС треугольника АВС

Сторону MN треугольника KMN

Сторону KP треугольника KPR

Диагональ BD квадрата BCDF

Рассмотрим несколько старинных задач на применение теоремы Пифагора

Задача 1 (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого)

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

Решение задачи 1

Решение. Треугольник ABC – прямоугольный. Пусть BC = x стоп, тогда по теореме Пифагора AC 2 + BC 2 = AB 2 ,

117 2 + x 2 = 125 2 ;

x 2 = 125 2 – 117 2 ,

x 2 = (125-117)*(125+117),

x 2 = 8*242, x = 44.

Ответ: 44 стопы

Задача 2 (индийского математика XII в. Бхаскары)

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки,

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Решение задачи 2

Решение :

Пусть AB – высота тополя, тогда AB = AC + CD. Найдем CD. Треугольник ABC – прямоугольный. По теореме Пифагора CD 2 = AC 2 + AD 2 , CD 2 = 3 2 + 4 2 , откуда CD = 5 футов. Значит, AB = 3 + 5 = 8футов

Ответ : 8 футов

Задача 3 (из древнеиндийского трактата)

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону.

Нет боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Решение задачи 3

Решение:

Треугольник ABC – прямоугольный, AB = AC + ½

Тогда по теореме Пифагора AB 2 = AC 2 + CB 2 , (AC + ½) 2 = AC 2 + 2 2 , AC = 3¾ фута

Ответ: 3¾ фута

http://th-pif.narod.ru

На этом сайте вы сможете найти сведения об истории открытия и доказательства теоремы Пифагора, а так же о самом Пифагоре. Здесь приведены около 30 различных доказательств этой теоремы от древнейндийского математика Басхары до векторного доказательства. Вы сможете узнать, как использовали свойства и теорему прямоугольного треугольника древние египтяне, архитекторы средневековья и как она используется в наше время.

История теоремы. Древний Китай Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: " Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. Древняя Индия

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство: 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея) По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Вскоре, неугомонному воображению юного Пифагора стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Затем отправляется в путешествие и попадает в плен к вавилонскому царю Киру. В 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.

А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно- этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни....Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Другие формулировки теоремы. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

Простейшее доказательство. Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах -по два.

Доказательство методом вычитания. Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие: 1. треугольники 1, 2, 3, 4; 2. прямоугольник 5; 3. прямоугольник 6 и квадрат 8; 4. прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут: 1. прямоугольники 6 и 7; 2. прямоугольник 5; 3. прямоугольник 1(заштрихован); 4. прямоугольник 2(заштрихован); Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: 1. прямоугольник 5 равновелик самому себе; 2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; 3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);; 4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован); Теорема доказана

Доказательство Эйнштейна Точки E, C и F лежат на одной прямой; это следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый). CD проводим перпендикулярно EF. Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF; продолжена сторона ЕА до пересечения с CD. Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. S ABD = 0,5 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC=0,5 S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD= S FBC, имеем S BJLD= S ABFH. Аналогично, если вы проведёте отрезок АЕ используете равенство треугольников ВСК и АСЕ, то докажете, что S JCEL= S ACKG. Итак, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, что и требовалось доказать. Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе.

Вторая тайна – точно неустановленное количество доказательств знаменитой теоремы Пифагора Самосского. Именно по этому поводу я решила провести социологический опрос, который показал, что большинство людей старшего поколения согласны с существованием 250 доказательств, хотя мне из дополнительных источников известно, что существует более 350 доказательств этой теоремы, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса! Но, конечно же, принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного.

Третья тайна – это то, что теорема Пифагора является сегодня символом математики. Четвёртая тайна – теорема Пифагора представляет нам богатейший материал для обобщения – важнейшего вида мыслительной деятельности, основы теоретического мышления, которым в совершенстве владеют многие учёные. Здесь можно добавить, что от теоремы Пифагора можно перейти к другим теоремам.

Пятая тайна заключается в том, что некоторые исследователи приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл (математик V в.) утверждал, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду. Но всё- таки сегодня способ доказательства Пифагора остаётся неизвестным.

Шестая тайна – легенды о самом Пифагоре, человеке, который первым доказал эту теорему. Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий.