Часто ученики возмущенно спрашивают: «Как мне в жизни это пригодится?». На любую тему каждого предмета. Не становится исключением и тема про объем параллелепипеда. И вот здесь как раз можно сказать: «Пригодится».
Как, например, узнать, поместится ли в почтовую коробку посылка? Конечно, можно методом проб и ошибок выбрать подходящую. А если такой возможности нет? Тогда на выручку придут вычисления. Зная вместимость коробки, можно рассчитать объем посылки (хотя бы приблизительно) и ответить на поставленный вопрос.
Параллелепипед и его виды
Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:
- призма с основанием в виде параллелограмма;
- многогранник, каждая грань которого - параллелограмм.
Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде , у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым . А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.
Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.
О введенных обозначениях
В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.
Формулы для наклонного параллелепипеда
Первая и вторая для площадей:
Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:
Так как основание - параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.
Формулы для прямоугольного параллелепипеда
Аналогично первому пункту - две формулы для площадей:
И еще одна для объема:
Первая задача
Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см - и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.
Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.
Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».
Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.
с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).
В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную - «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:
х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).
Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:
в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).
Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).
Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см 3 .
Вторая задача
Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.
Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.
Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.
S о = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).
Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.
н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Теперь все значения известны и можно вычислить объем:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).
Ответ: объем равен 18 √2 см 3 .
Третья задача
Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.
Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.
Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов :
d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120º,
х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º.
Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:
н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.
Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).
Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.
S о = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).
Объединив все в формулу объема, получаем:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).
Ответ: V = 18 см 3 .
Четвертая задача
Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.
Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.
Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.
S о = 5 2 = 25 (см 2).
Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.
Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота - она же и медиана). А диагональ основания найти просто:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).
Высоту нужно будет сосчитать как разность второй степени ребра и квадрата половины диагонали и не забыть потом извлечь квадратный корень :
н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).
Ответ: 62,5 √2 (см 3).
Параллелепипед - это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.
Геометрия параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы. Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями. Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.
Параллелепипеды в реальной жизни
Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда. Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров. Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.
Объем параллелепипеда
Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем - это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:
где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.
Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист - это плоскость. Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда. Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.
Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:
Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:
V = a × b × h,
где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.
Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их. Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.
Примеры из жизни
Аквариум
К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума - важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей. Вычислить данную характеристику несложно - достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина - 50 см, а высота - 70 см. Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.
V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35
Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.
Строительство
Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент - это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания. Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача - это стандартный домик 6 на 6 метров. Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см. Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:
V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2
Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.
Заключение
Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.
>> Урок 31. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед - это пространственная фигура, ограниченная прямоугольниками
.
Форму параллелепипеда имеют многие предметы из окружающей обстановки: коробка, кубики, телевизор, шкаф и т. д..
Познавательные УУД:
Выражают структуру задачи разными средствами.
Выбирают, сопоставляют и обосновывают способы решения задачи.
Регулятивные УУД:
Сличают способ и результат своих действий с заданным эталоном,
Обнаруживают отклонения и отличия от эталона.
Коммуникативные УУД:
С достаточной полнотой и точностью выражают свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации
Предметный результат:
Определяют вид пространственных фигур. Вычисляют объемы куба и прямоугольного параллелепипеда, используя формулы объема куба и прямоугольного параллелепипеда.
ХОД УРОКА:
Организационный момент (проверка готовности классного помещения и обучающихся к уроку) (слайд 1-2) . (1 мин)
Мотивация урока (слайд 3) (1 мин)
Встали тихо, замолчали,
Всё, что нужно, вы достали.
Приготовились к уроку,
В нём иначе нету проку.
Здравствуйте, садитесь,
Больше не вертитесь.
Мы урок начнем сейчас,
Интересен он для вас.
Слушай всё внимательно,
Поймешь всё обязательно.
Формулирование темы урока: (3 мин)
Я рада вас видеть. Мы начинаем наш урок. Я хочу, чтобы этот урок принес вам новые открытия, и надеюсь, что вы с успехом будете применять имеющиеся у вас знания в решении практических задач. Я предлагаю вам отгадать задуманное мною слово, которое будет ключевым словом нашего урока.
Актуализация опорных знаний: (слайд 4)
Чтобы слово вам назвать придется немного посчитать и расставить величины по возрастанию:
250+433 – 600=(83)
(80)
Найдите расстояние используя данные:
(12)
(10)
Найдите площадь фигуры:
(24)
Молодцы. Тема нашего сегодняшнего урока «Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда».
Откройте тетради запишите сегодняшнее число, тему урока, слова классная работа.
Домашнее задание: (слайд 6) (1 мин)
№ 843, №844, №848 (б)
Откройте учебник с. 125-126, подготовьтесь отвечать на мои вопросы: (слайд 7-8) (3 мин)
Как вы понимаете слово «Объем»?
Какие единицы измерения объема вы знаете? (мм 3 , дм 3 , см 3 , м 3 , км 3 )
Как еще называют кубический дециметр? (литр)
Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда? (Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда надо длину умножить на ширину и на высоту ).
Какой вид имеет формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда? (где V – объем , a,b,c - измерения).
Как вы думаете, что означает произведение a и b, в данной формуле? (площадь основания) ()
Что вы можете сказать об объеме куба? ()
Молодцы, с вопросами вы успешно справились.
Выполнение упражнений: (слайд 9-11) (8 мин)
№ 822
Объем комнаты равен 60 м 2 . Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка и стен.
О чем говорится в задаче?
Какую форму имеет комната?
V =60 м 2 , с =3 м, b =4 м. Чтобы найти длину комнаты надо:
Длина комнаты;
Чтобы найти площадь пола, надо длину умножить на ширину: . Площадь потолка будет равна площади пола, т.к они противоположны, т.е. площадь потолка равна.
Чтобы найти площадь стен, надо длину умножить на высоту, и ширину умножить на высоту: , затем вспомним что стены противоположны, т.е 2 стены по 15 м 2 , и 2 стены по 12 м 2 . Тогда площадь стен:
№ 825 (а, б)
а) выразите в кубических сантиметрах:
б) выразите в кубических дециметрах:
Задача. Вычислить объем куба со стороной 15 см. Ответ выразите в дециметрах кубических.
Историческая справка: (1 мин 30 сек)
Слова учителя.
Вопрос измерения объема твердых тел давно интересовал человечество. Используя тот факт, что жидкости в обычных условиях сжимать нельзя, можно измерять объемы твердых тел, помещая их в жидкость.
Архимед был первым, кто открыл этот способ взвешивания.
(Слайд 12 – видеоролик.)
Развивая эти идеи, Архимед нашел закон плавания тел: тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Поэтому, если вес вытесненной жидкости больше веса самого тела, то оно всплывает.
и немного разомнемся:
Физкультминутка (слайд 13) (1 мин)
Самостоятельная работа по вариантам, с последующей взаи мопроверкой). (10 мин.) (слайд 14 )
I-й вариант.
а ) S=vt;
б ) V=abc;
в ) P=2 (a+b);
г) V= 4a
2. Чему равен объем куба, если его ребро равно 5 см? (125 см 3 )
3. Какова длина сторона квадрата, если его площадь равна 100 см 2 ? (10 см)
II-й вариант
1. Укажите формулу, по которой находят объем прямоугольного параллелепипеда
а ) S=vt;
б ) V=ab;
в ) P=2 (a+b);
г) V = S осн с.
2. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 5 см, 12 см и 4 см? (240 см 3 )
3. Чему равна площадь квадрата со стороной 6 см? (36 см 2 )
Для проверки учащиеся обмениваются тетрадями с соседом для проверки и выставления оценки, сверяясь с экраном
Рефлексия: (3 мин)
Каждый обучающийся заносит оценки в свой зачетный лист:
Фамилия, имя ____________________________________
Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.
С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.
Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.
Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.
Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .
1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.
2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.
За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .
кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .
Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .
Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .
При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .
Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.
Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
V = abc
где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.
Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:
V = a 3
где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.
Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .
V = abh = (ab)h = Sh .
Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:
V = Sh
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?
Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:
h = 324 : 54 = 6 (дм).
Ответ: 6 дм.