Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)
Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.
Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.
Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.
Основные свойства функции y = k/x, при k>0
График функции y = k/x, при k>0
5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).
Основные свойства функции y = k/x, при k<0
График функции y = k/x, при k<0
1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.
2. Оси координат - асимптоты гиперболы.
4. Область определения функции все х, кроме х=0.
5. y>0 при x0.
6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.
В этом видеоуроке вы познакомитесь с функциейy = k/x, k - коэффициент, который может принимать разные значения, кроме 0. Давайте рассмотрим случай, когда k = 1 => y = 1/x. Для построения графика этой функции вспомним материал, который был в предыдущих видео, а именно: подберем для x несколько произвольных значений и подставим их в формулуy = k/x.
Это даст нам возможность вычислить значения зависимой переменной y. Подбор значений и вычислений y построим в два этапа: сначала придадим аргументу положительные значения, а потом - отрицательные.
- Пользуясь формулой y = k/x, найдем значение y. Если x = 1 , то y = 1. Подберем несколько аргументов самостоятельно.
В случае, когда x = 3, то y = 1/3; х = 5, то у = 1/5; х = 7, то у = 1/7.
И когда х = 1/3, то у = 3; х = 1/5, то у = 5; х = 1/7, то у = 7.
Составим таблицу:
- В случае, когда х =1, то у = -1, х = -3, то у = -1/3; х = -5, то у = -1/5; х = -7, то у = -1/7.
И когда х = -1/3, то у = -3; х = -1/5, то у = 5; х = -1/7, то у = -7.
Составим таблицу:
Построим данные точки на координатной плоскости хОу и соединим их.
Пример с другими координатами и последовательность построения графика вы сможете увидеть в видео.
Также в видеоуроке вы ознакомитесь с основными геометрическими свойствами гиперболы.
- Гипербола, как и парабола, обладает симметрией. Если провести прямую через начало координат 0, то она пересечет гиперболу в двух точках, которые лежат на прямой на противоположных сторонах от точки 0 и на равных от неё расстояниях. Тем самым 0 будет являться центром симметрии гиперболы, и она будет симметрична относительно начала координат.
- Симметричные, относительно начала координат, части гиперболы называются её ветвями.
- Одна ветвь гиперболы расположена вблизи оси абсцисс, другая - вблизи ординат. В таких случаях соответствующие прямые принято называть асимптотами. Это значит, что гипербола имеет две асимптоты - ось х и ось у.
- Помимо центра симметрии гипербола имеет оси симметрии.
Графиком функции y = k/x, при k не равно 0 является гипербола, ветви которой находятся в 1 и 3 координатных плоскостях, в случае, когда k > 0, и во 2 и 4 k > 0, и во 2 и 4 координатных плоскостях, когда k < 0. (0,0) - точка центра симметрии гиперболы, а осями координат являются её асимптоты. Функцию y = k/x называют обратно пропорциональной, в силу того, что её величины - x и у, являются обратно пропорциональными, а число k - это коэффициент обратной пропорциональности.
Примеры и более подробную информацию по теме вы можете получить при просмотре видеоурока.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Функция y=k/x , её свойства и график. Учитель математики МКОУ «Хохольский лицей» Логвинова Ирина Алексеевна
Образовательные: сформулировать определение обратной пропорциональности, ее области определения; научить строить график функции y = k / x опираясь на свойства функции; сформировать чёткое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k ; научить находить значение функции и аргумента по формуле У= k/x . Развивающие: совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности. Воспитательные: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету. 2 Цели урока
07.10.2014 3 Виды Функций Зависимость одной переменной от другой, называется функцией y = kx y=x 3 y=x 2 y = kx+b
07.10.2014 4 Скорость велосипедиста V км / ч; t ч – время. Сколько времени потребуется велосипедисту, чтобы проехать 20 км? Выразить зависимость t от V .
07.10.2014 5 Площадь прямоугольника 35 кв. см. Одна сторона прямоугольника а см, другая в см. Выразить зависимость в от а.
07.10.2014 6 Р руб. цена товара, m количество товара. Сколько товара можно купить на 90 руб? Выразить зависимость m от Р.
07.10.2014 7 Что общего и в чем различие этих формул? Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей.
Определение Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой y = k/x, где k ≠ 0 , где х – независимая переменная. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности
В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются обратно пропорциональные зависимости между двумя величинами. Как графиком можно представить эту зависимость? График обратно пропорциональной функции называется ГИПЕРБОЛА
График функции 12 х _ у = х у -1 -2 -4 -3 -6 -8 -12 -12 -6 -4 -3 -2 -1,5 -1 х у 1 2 3 4 6 8 12 12 6 4 3 2 1,5 1 Построим по точкам график функции
гипербола
1 вариант 2 вариант Г рафик функции у = к/ х и её свойства у = к/х,к˂0 у = к/х,к˃0 1. Область определения функции 2. Область значений функции 3. у >0 , у
14 Термин «функция» в 1664г. ввёл немецкий учёный Лейбниц. Определение функции дал его ученик Бернулли в 1718 году Одним из первых, кто начал изучать эту кривую был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм в IV в. до н.э., но так и не сумел её полностью изучить. А вот полностью исследовал свойства гиперболы и дал ей название крупнейший геометр древности Аполоний Пергский в III в. до н.э.
Тестовые задания по теме “ Обратная пропорциональность ” 1) Какая из формул задаёт обратную пропорциональность 3) 4) 5) 1) 2)
2) Какая из указанных точек принадлежит графику функции y = -8/x ? 1) A(1;8) 2) B(-1;-8) 3) С(1 ; -8) Тестовые задания по теме “ Обратная пропорциональность ”
1. На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите этот рисунок. 1 3 4 2
Что является графиком функции В каких координатных четвертях расположен график функции? Какова область определения функции Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости? Как называется график обратно пропорциональной функции? Из чего состоит гипербола? 18 Итог урока
Интересные факты 19 Из словаря русского языка Ожегова слово гипербола обозначает в поэтике - приём чрезмерного преувеличения с целью усиления впечатления». В Большой Российской энциклопедии (т.7) – неправдоподобное преувеличение тех или иных свойств изображения предмета или явления». Например: «…редкая птица долетит до середины Днепра» Н.В. Гоголь. Часто гипербола встречается в частушках: Сидит лодырь у ворот Широко разинув рот, И никто не разберёт, Где ворота, а где рот.