Любые колебания представляют собой движение с переменным ускорением. Отклонение, скорость и ускорение в этом случае являются функциями времени. Для любых колебаний характерна периодичность, т.е. движение повторяется по истечении времени T , называемого длительностью или периодом колебания. Колебания возникают в тех случаях, когда системе способной совершать колебания, сообщается энергия.
Необходимо различать:

Незатухающие колебания

Незатухающие колебания, происходят с постоянной амплитудой Y m . Предполагается, что в данном случае подводимая энергия сохраняется. Приближенно такие условия имеют место при малых потерях энергии и малом времени наблюдения. Для получения действительно незатухающих колебаний необходимо регулярно восполнять теряемую энергию.

Затухающие колебания

Затухающие колебания, постепенно уменьшают свою амплитуду Y m . Без пополнения энергии любые колебания затухают.

Важные характеристики колебаний

4.2. Понятия и определения раздела «колебания и волны»

Уравнение гармонических колебаний и его решение:

, x=Acos(ω 0 t+ α) ,

A – амплитуда колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

Период колебаний материальной точки, совершающей колебаний под действием силы упругости:

где m – масса материальной точки;

k – коэффициент жесткости.

Период колебаний математического маятника:

где l – длина маятника;

g = 9,8 м/с 2 – ускорение свободного падения.

Амплитуда колебаний, получаемых при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

где A 1 и А 2 – амплитуды слагаемых колебаний;

φ 1 и φ 2 – начальные фазы слагаемых колебаний.

Начальная фаза колебаний, получаемых при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

.

Уравнение затухающих колебаний и его решение:

, ,

– частота затухающих колебаний,

здесь ω 0 – собственная частота колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

где β – коэффициент затухания;

– период затухающих колебаний.

Добротность колебательной системы:

где θ – логарифмический декремент затухания

Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:

, x=A cos(ωt- φ),

где F 0 – амплитудное значение силы;

– амплитуда затухающих колебаний;

φ= – начальная фаза.

Резонансная частота колебаний:

,

где ω 0 – собственная циклическая частота колебаний;

β – коэффициент затухания.

Затухающие электромагнитные колебания в контуре, состоящем из емкости C , индуктивности L и сопротивления R :

,

где q – заряд на конденсаторе;

q m – амплитудное значение заряда на конденсаторе;

β =R /2L – коэффициент затухания,

здесь R – сопротивление контура;

L – индуктивность катушки;

– циклическая частота колебаний;

здесь ω 0 – собственная частота колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

Период электромагнитных колебаний:

,

где С – емкость конденсатора;

L – индуктивность катушки;

R – сопротивление контура.

Если сопротивление контура мало, что (R /2L ) 2 <<1/LC , то период колебаний:

Длина волны:

где v – скорость распространения волны;

T – период колебаний.

Уравнение плоской волны:

ξ = A cos (ωt-kx),

где A – амплитуда;

ω – циклическая частота;

– волновое число.

Уравнение сферической волны:

,

где A – амплитуда;

ω – циклическая частота;

k – волновое число;

r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.

? Свободные гармонические колебания в контуре

Идеальный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенного конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L. По гармоническому закону будут меняться напряжение на обкладках конденсатора и ток в катушке индуктивности.

? Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники, их периоды колебаний

Гармонический осциллятор- любая физическая система, совершающая колебания. Классические осцилляторы - пружинный, физический и математический маятники. Пружинный маятник - груз массой m , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Т = . Физический маятник - твердое тело произвольной формы, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Т = . Математический маятник – изолированная система, состоящая из материальной точки массой m , подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной L , и колеблющейся под действием силы тяжести. Т = .

? Свободные незатухающие механические колебания (уравнение, скорость, ускорение, энергия). Графическое изображение гармонических колебаний.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Величина меняется по закону синуса или косинуса. , S - смещение от положения равновесия, А –амплитуда, w 0 - циклическая частота, –начальная фаза колебаний. Скорость , ускорение . Энергия полная – Е = . Графически – с помощью синусоиды или косинусоиды.

? Понятие о колебательных процессах. Гармонические колебания и их характеристики. Период, амплитуда, частота и фаза колебаний. Графическое изображение гармонических колебаний.

Периодические процессы, повторяющиеся со временем, называют колебательными. Периодические колебания, при которых координата тела меняется со временем по закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Период - время одного колебания. Амплитуда – максимальное смещение точки от положения равновесия. Частота – число полных колебаний в единицу времени. Фаза - величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Уравнение: , здесь S - величина, характеризующая состояние колеблющейся системы, - циклическая частота. Графически – с помощью синусоиды или косинусоиды.

? Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний. Логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность.

Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, например, за счет силы трения. Уравнение: , здесь S - величина, характеризующая состояние колеблющейся системы, - циклическая частота, -коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания , где N – число колебаний, совершенных за время уменьшения амплитуды в N раз. Время релаксации t- в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Добротность Q= .

? Незатухающие вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний. Что называют резонансом? Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Если потери энергии колебаний, приводящие к их затуханию, полностью компенсировать, устанавливаются незатухающие колебания. Уравнение: . Здесь правая часть – меняющееся по гармоническому закону внешнее воздействие. Если собственная частота колебаний системы совпадает с внешней, имеет место резонанс - резкое возрастание амплитуды системы. Амплитуда , .

? Опишите сложение колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, взаимоперпендикулярных колебаний. Что такое биения?

Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты , здесь А – амплитуды, j - начальные фазы. Начальная фаза результирующего колебания . Взаимоперпендикулярные колебания – уравнение траектории , здесь А и В амплитуды складываемых колебаний, j-разность фаз.

? Охарактеризуйте релаксационные колебания; автоколебания.

Релаксационные – автоколебания, резко отличающиеся по форме от гармонических, благодаря значительному рассеянию энергии в автоколебательных системах (трение в механических системах). Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии при отсутствии внешней переменной силы. Отличие от вынужденных – частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы. Отличие от свободных колебаний – отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Пример автоколебательной системы –часы.

? Волны (основные понятия). Продольные и поперечные волны. Стоячая волна. Длина волны, связь ее с периодом и частотой.

Процесс распространения колебаний в пространстве называют волной. Направление переноса волной энергии колебаний – это направление движения волны. Продольная – колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны. Поперечная - колебания частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны. Стоячая волна - образуется при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией. Длина волны - расстояние, на которое волна распространяется за один период. ( длина волны, v - скорость волны, Т - период колебаний)

? Принцип суперпозиции (наложения) волн. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью.

Принцип суперпозиции – при распространении в линейной среде нескольких волн каждая распространяется так, будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов. Групповая скорость – скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени в пространстве локализованный волновой пакет. Скорость перемещения фазы волны – фазовая скорость. В недиспергированной среде они совпадают.

? Электромагнитная волна и ее свойства. Энергия электромагнитных волн.

Электромагнитная волна – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве. Экспериментально получены Герцем в 1880 г. Свойства- могут распространяться в средах и вакууме, в вакууме равна с, в средах меньше, поперечны, E и B взаимноперпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения. Интенсивность увеличивается с ростом ускорения излучающей заряженной частицы, в определенных условиях проявляются типичные волновые свойства – дифракции и пр. Объемная плотность энергии .

Оптика

Основные формулы оптики

Скорость света в среде:

где c – скорость света в вакууме;

n – показатель преломления среды.

Оптическая длина пути световой волны:

L = ns ,

где s – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

Оптическая разность хода двух световых волн:

∆ = L 1 – L 2 .

Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн:

где λ – длина световой волны.

Условие максимального усиления света при интерференции:

∆ = k λ ( = 0, 1, 2, …) .

Условие максимального ослабления света:

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

∆ = 2d ,

где d – толщина пленки;

n – показатель преломления пленки;

I i – угол преломления света в пленке.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

где k – номер кольца;

R – радиус кривизны.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете:

r k = .

Угол φ отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, … ),

где a – ширина щели;

k – порядковый номер максимума.

Угол φотклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции света на дифракционной решетке, определяется из условия

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

где d – период дифракционной решетки.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

R = = kN ,

где ∆λ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ+∆λ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки;

N – полное число щелей решетки.

Формула Вульфа – Брэггов:

2d sin θ = κ λ,

где θ – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле);

d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

Закон Брюстера:

tg ε B = n 21 ,

где ε B – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован;

n 21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса:

I = I 0 cos 2 α,

где I 0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор;

I – интенсивность этого света после анализатора;

α – угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

а) φ = αd (в твердых телах),

где α – постоянная вращения;

d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

б) φ = [α]pd (в растворах),

где [α] – удельное вращение;

p – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Давление света при нормальном падении на поверхность:

,

где Е е – энергетическая освещенность (облученность);

ω – объемная плотность энергии излучения;

ρ– коэффициент отражения.

4.2. Понятия и определения раздела «оптика»

? Интерференции волн. Когерентность. Условие максимума и минимума.

Интерференция – взаимное усиление или ослабление когерентных волн при их наложении (когерентные – имеющие одинаковую длину и постоянную разность фаз в точке их наложения).

Максимум ;

минимум .

Здесь D-оптическая разность хода, l-длина волны.

? Принцип Гюйгенса-Френеля. Явление дифракции. Дифракция на щели, дифракционная решетка.

Принцип Гюйгенса-Френеля –каждая точка пространства, которой достигла в данный момент времени распространяющаяся волна, становится источником элементарных когерентных волн. Дифракция – огибание волнами препятствий, если размер препятствия сравним с длиной волны, отклонения света от прямолинейного распространения. Дифракция на щели – в параллельных лучах. На препятствие падает плоская волна, дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. На экране получается «дифракционное изображение» удаленного источника света. Дифракционная решетка – система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Используется для разложения света в спектр и измерения длин волн.

? Дисперсия света (нормальная и аномальная). Закон Бугера. Смысл коэффициента поглощения.

Дисперсия света – зависимость абсолютного показателя преломления вещества n от частоты ν (или длины волны λ) падающего на вещество света (). Скорость света в вакууме не зависит от частоты, поэтому в вакууме дисперсии нет. Нормальная дисперсия света - если показатель преломления монотонно возрастает с увеличением частоты (убывает с увеличением длины волны). Аномальная дисперсия – если показатель преломления монотонно убывает с увеличением частоты (возрастает с увеличением длины волны). Следствие дисперсии – разложение белого света в спектр при его преломлении в веществе. Поглощение света в веществе описывается законом Бугера

I 0 и I – интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающегося вещества толщиной х , a - коэффициент поглощения, зависит от длины волны, для разных веществ различен.

? Что называют поляризацией волн? Получение поляризованных волн. Закон Малюса.

Поляризация заключается в приобретении преимущественной ориентации направления колебаний в поперечных волнах. Упорядоченность в ориентации векторов напряженностей электрических и магнитных полей электромагнитной волны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения светового луча. E , B -перпендикулярны. Естественный свет можно преобразовать в поляризованный с помощью поляризаторов. Закон Малюса (I 0 – прошедший через анализатор, I – прошедший через поляризатор).

? Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля.

Исторически были выдвинуты две теории света: корпускулярная – светящиеся тела испускают частицы-корпускулы (доказательство – излучение черного тела, фотоэффект) и волновая – светящееся тело вызывает в окружающей среде упругие колебания, распространяющиеся подобно звуковым волнам в воздухе (доказательство – явления интерференции, дифракции, поляризации света). Гипотеза Бройля – корпускулярно-волновые свойства присущи не только фотонам, но и частицам, имеющим массу покоя – электронам, протонам, нейтронам, атомам, молекулам. ? Фотоэффект. Уравнение Эйнштейна.

Фотоэффект- явление взаимодействия света с веществом, в результате которого энергия фотонов передается электронам вещества. Уравнение: (энергия фотона расходуется на работу выхода электрона и сообщение электрону кинетической энергии)

(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Механические колебания – это периодически повторяющиеся механические движения. Например: звук, вибрация или колебания математического маятника.

Колебаниям присущи определенные характеристики:

1. Амплитуда. Размах, максимальное отклонение от точки равновесия.
2. Частота. Периодичность, повторяемость за единицу времени.
3. Период. Время, которое требуется для одного колебания.

Если обозначить частоту буквой v, то связь между ним и периодом, будет выражаться следующей формулой:

Частота измеряется в герцах, в честь немецкого ученого Генриха Герца. Один герц означает выполнение одного колебания или процесса за секунду.

Одним из важных видов колебаний являются так называемые гармонические колебания. Это те колебания, которые изменяются по гармонические закону, то есть их можно представить в виде функции, где значение определяется как синус (или косинус) от аргумента.

Координаты тела, совершающего колебания в такой системе, в общем виде будут выражены следующим образом:

Где:
Х(t) – значение колеблющейся величины x, в момент времени t.
A – максимальное смещение от точки равновесия, амплитуда колебаний.
w – циклическая частота, число колебаний за П2 сек.
ε0 – начальная фаза колебания.
Любые другие колебания, можно представить как сумму гармонических колебаний.

Примером таких колебаний, может служить математический маятник:

Где:
L ¬– длина нити.
g – ускорение свободного падения.
П – число Пи.
Следует обратить внимание, что период зависит только от длины маятника.

Превращение энергии в колебательных сиcтемах

При колебаниях, кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию.
Когда тело отклоняется на наибольшую величину от точки равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю.
По мере движения тела в положение равновесия, будет увеличиваться кинетическая энергия, так как увеличивается скорость.
В положении равновесия тело будет иметь минимальную потенциальную, чаще всего равное нулю, а кинетическая будет максимальной.
Рассмотрим это на примере механического маятника.

В точке 1, потенциальная энергия будет иметь наибольшее значение. По мере движения грузика до положения 2, она будет уменьшаться до наименьшего значения. Далее, при переходе тела от положения 2 к 3, будет уменьшаться кинетическая энергия, а потенциальная увеличиваться.
Суммарная энергия системы, будет оставаться неизменной, в какой бы точке не находилось тело, так как потерь энергии нет. Если увеличивается кинетическая энергия, то потенциальная уменьшается и наоборот.