Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Математические модели
05.05.17 Математические модели Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Математическая модель - информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме.
05.05.17 Например, известное уравнение S=vt, где S - расстояние, v - скорость t - время, представляет собой модель равномерного движения, выраженную в математической форме.
05.05.17 Рассматривая физическую систему: тело массой m , скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F , Ньютон получил соотношение F = mа. Это математическая модель физической системы.
05.05.17 Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей. К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). Математическое моделирование
05.05.17 При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики. Пример: нужно определить площадь поверхности стола. Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой. Из всех свойств стола выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется. Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, легко указать исходные данные и результат. Они связаны соотношением S = ab .
05.05.17 Рассмотрим пример приведения решения конкретной задачи к математической модели. Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драгоценностями. Даны некоторые предположения о формах сундука и окнах иллюминатора и исходные данные решения задачи. Предположения: Иллюминатор имеет форму круга. Сундук имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Исходные данные: D - диаметр иллюминатора; x - длина сундука; y - ширина сундука; z - высота сундука. Конечный результат: Сообщение: можно или нельзя вытащить.
05.05.17 Если, то сундук можно вытащить, а если, то нельзя. Системный анализ условия задачи выявил связи между размером иллюминатора и размерами сундука, учитывая их формы. Полученная в результате анализа информация отобразилась в формулах и соотношениях между ними, так возникла математическая модель. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом:
05.05.17 Пример 1: Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале. Для решения задачи нужно знать площадь пола. Для выполнения этого задания измеряют длину, ширину пола и вычисляют его площадь. Реальный объект – пол зала – занимается прямоугольником, для которого площадь является произведением длины на ширину. При покупке краски выясняют, какую площадь можно покрыть содержимым одной банки, и вычисляют необходимое количество банок. Пусть A – длина пола, B - ширина пола, S 1 - площадь, которую можно покрыть содержимым одной банки, N – количество банок. Площадь пола вычисляем по формуле S = A×B , а количество банок, необходимых для покраски зала, N = A×B / S 1 .
05.05.17 Пример 2: Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы? Решение: Обозначим время заполнения бассейна через первую и вторую трубу А и В соответственно. Примем за 1 весь объём бассейна, искомое время обозначим через t. Так как через первую трубу бассейн наполняется за А часов, то 1/А –часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час; 1/В - часть бассейна, наполняемая второй трубой за 1 час. Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1/А+1/В. Можно записать: (1/А+1/В) t =1 . получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб. Искомое время можно вычислить по формуле:
05.05.17 Пример 3: На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч. Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов. За t часов мотоциклист проедет 50 t км и будет находится от А на расстоянии 50 t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: S=50t + 20 , где t>0 .
05.05.17 Первое число равно x , а второе на 2,5 больше первого. Известно, что 1/5 первого числа равна 1/4 второго. Составьте математические модели данных ситуаций: У Миши x марок, а у Андрея в полтора раз больше. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши. Во втором цехе работают x человек, в первом – в 4 раза больше, чем во втором, а в третьем - на 50 человек больше, чем во втором. Всего в трех цехах завода работают 470 человек. Проверим: Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: б ыло у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8 , у Андрея 1,5х+8 . По условию задачи 1,5х+8=2(х-8). Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: во втором цехе работают x человек, в первом – 4х, а в третьем - х+50 . х+4х+х+50=470. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: первое число х; второе х+2,5 . По условию задачи х/5=(х+2,5)/4.
05.05.17 Вот так обычно применяется математика к реальной жизни. Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в разобранных выше примерах), но и в другом виде: табличные, графические и другие. С другими видами моделей мы познакомимся на следующем занятии.
05.05.17 Задание на дом: § 9 (стр. 54-58) № , 2, 4 (стр. 60) в тетради
05.05.17 Спасибо за урок!
05.05.17 Источники Информатика и ИКТ: учебник для 8 класса http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (графики, схемы) http://images.yandex.ru (картинки)
Объект (транспортный процесс) |
||||||||||||||||
Практические |
||||||||||||||||
Расчётная схема |
||||||||||||||||
Математическая модель |
||||||||||||||||
математическая модель |
||||||||||||||||
Алгоритм |
||||||||||||||||
Программа |
||||||||||||||||
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 11
На первом этапе математического моделирования осуществляется переход от объекта моделирования к расчётной схеме. Расчётная схема – это содержательная или (и) концептуальная модель объекта. Например: план перевозки грузов, маршрутная карта, транспортная таблица и т.д.
На втором этапе осуществляется поиск и формализованное описание процесса (процессов) расчётной схемы математической моделью.
На третьем этапе выполняется качественный и количественный анализ математической модели включающий: 1) упрощение, 2) разрешение противоречий, 3) коррекция.
На четвёртом этапе разрабатывается эффективный алгоритм математического моделирования, по которому на пятом этапе создаётся программа для реализации математического моделирования.
На шестом этапе выполняется получение практических рекомендаций путём использования программы. Практические рекомендации – это результат использования математической модели для конкретной цели при исследовании объекта (транспортного процесса).
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 12
Цели математического моделирования: 1) создание моделей транспортных процессов для дальнейшего конструирования оптимальных (по времени, по стоимости) транспортных процессов; 2) анализе свойств отдельных транспортных процессов с целью оценки времени и стоимости.
Виды математического моделирования
Параметрическое |
Имитационное |
||||||||||
моделирование |
|||||||||||
Статическое |
Динамическое |
||||||||||
Стационарное |
Нестационарное |
||||||||||
Параметрическое моделирование – это моделирование без строгой связи с объектом и процессом. Связь осуществляется только параметрами, например: массой, длиной, давлением и т.д. Присутствуют абстракции: материальная точка, идеальный газ и т.д.
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 13
Статические параметрические модели не содержат параметра «время» и позволяют получить характеристики системы в равновесии. Динамические параметрические модели содержат параметр время и позволяют получить характер переходных процессов системы.
Имитационное моделирование (Simulation) – математическое моделирование с учётом геометрических особенностей объекта моделирования (размеров, формы) а также распределения плотности с привязкой начальных и граничных условий (условий на границах геометрии объекта) к объектам.
процессов
Программа Алгоритм
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 14
Стационарное моделирование позволяет получить характеристики объекта в интервале времени стремящемся к нулю, то есть «сфотографировать» характеристики объекта. Нестационарное моделирование позволяет получить характеристики объекта с течением времени.
Структура математической модели
Входные параметры |
Уравнения, |
Выходные параметры |
зависимости и т.д. |
||
Свойства математической модели:
1)Полнота – степень отражения известных свойств объекта; 2)Точность – порядок совпадения реальных (экспериментальных) и найденных с помощью модели характеристик;
3)Адекватность – это способность модели описывать выходные параметры с фиксированной точностью для фиксированных входных параметров (область адекватности).
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 15
4) Экономичность – это оценка затрат вычислительных ресурсов на получение результата по сравнению с аналогичной математической моделью;
5) Робастность – устойчивость математической модели по отношению к погрешностям исходных данных (например данные не соответствуют физике процесса);
6) Продуктивность – это влияние точности входных данных на точность выходных данных модели;
7) Наглядность и простота модели .
Математические модели (по способу получения)
Эмпирические Теоретические
Полуэмпирические © ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 16
Эмпирические математические модели получают путём обработки и анализа результатов экспериментальных данных. Идентификация – коррекция существующей математической модели эмпирическими данными.
Теоретические математические модели получают теоретическими методами – анализ, синтез, индукция, дедукция и т.д.
Литература по теории математического моделирования и математическим моделям:
1)Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: учеб. для вузов / В. С. Зарубин. – 3-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. – 495 с.
2)Черепашков А. А., Носов Н. В. Компьютерные технологии, моделирование и автоматизированные системы в машиностроении: Учебн. для студ. высш. учебн. заведений. – Волгоград: Издательский дом «Ин-фолио», 2009. – 640 с.
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 17
4. Mathcad как средство прикладного программирования
Mathcad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения.
Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из массачусетского технологического института.
Разработчик: PTC. Первый выпуск: 1986 год.
Решение дифференциальных и алгебраических уравнений численными |
|
методами; |
|
Построение двухмерных и трёхмерных графиков функций; |
|
Использование греческого алфавита; |
|
Выполнение вычислений в символьном виде; |
|
Поддержка собственного языка программирования |
|
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» |
|
Численные функции предназначены для вычисления численными методами прикладной математики корней уравнений, решения задач оптимизации, решения дифференциальных уравнений методом Рунге- Кутта и т.д.
Символьные функции предназначены для аналитических вычислений, которые похожи по своей структуре на классические математические преобразования.
Системная переменная TOL – Допустимая погрешность вычислений (по умолчанию 10-3 ).
Задание ранжированных переменных с фиксированным шагом: x:=0, 0+0.01..10.
Если переменная представляет собой массив, то обратится к элементу массива можно через ввод индекса клавишей [.
© ФГБОУ ВПО УГАТУ; каф. «Прикладная гидромеханика» 20
Литература 1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.– М.: Наука, Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.
Немного истории от манипуляции предметами к манипуляциям понятиями о предметах замена изучаемого объекта, процесса или явления более простым и доступным для исследования эквивалентом невозможность учесть всю совокупность факторов, определяющих свойства и поведение объекта
Роль моделей Здание – некрасивое, непрочное или не вписывается в окружающий пейзаж Демонстрация систем кровообращения на натуре негуманна Напряжения, например в крыльях, могут оказаться слишком велики Собирать электрические цепи для измерений неэкономично
Связь модели с оригиналом Создание модели предполагает сохранение каких - то свойств оригинала, причем в разных моделях эти свойства могут быть разными. Здание из картона много меньше настоящего, но позволяет судить о его внешнем виде; плакат делает понятной систему кровообращения, хотя ничего общего не имеет с органами и тканями; макет самолета не летает, но напряжения в его корпусе соответствуют условиям полета.
Почему используют модели? 1.Модель доступнее для исследования, чем реальный объект, 2.Исследовать модель проще и дешевле, чем реальные объекты, 3.некоторые объекты невозможно изучать непосредственно: пока невозможно, например, построить устройство для термоядерного синтеза или провести эксперименты в недрах звезд, 4.невозможны эксперименты с прошлым, недопустимы эксперименты с экономикой или социальные эксперименты
Назначение моделей 1.С помощью модели можно выявить наиболее существенные факторы, формирующие свойства объекта. Поскольку модель отражает только некоторые характеристики объекта - оригинала, то, варьируя набор этих характеристик в составе модели, можно определить степень влияния тех или иных факторов на адекватность поведения модели
Модель нужна: 1.Для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром. 2.Для того, чтобы научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях. 3.Для того, чтобы прогнозировать поведение объекта и оценить последствия различных способов и форм воздействия на объект (метеорологические модели, модели развития биосферы).
Свойство правильной модели Правильно построенная, хорошая модель обладает замечательным свойством: ее изучение позволяет получить новые знания об объекте - оригинале, несмотря на то, что при создании модели использовались только некоторые основные характеристики оригинала
Материальное моделирование Модель воспроизводит основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта, когда реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с последующим перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия (планетарий, модели зданий и аппаратов и т. д.). Процесс исследования в таком случае тесно связан с материальным воздействием на модель, т. е. состоит в натурном эксперименте. Таким образом, материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом.
Типы идеального моделирования Интуитивное – моделирование объектов, не поддающихся формализации или не нуждающихся в ней. Жизненный опыт человека можно считать его интуитивной моделью окружающего мира Знаковое – моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования разного вида: схемы, графики, чертежи, формулы и т. д. и содержащее совокупность законов, по которым можно оперировать с элементами модели
Математическое моделирование исследование объекта осуществляют на основе модели, сформулированной на языке математики и исследуемой с помощью тех или иных математических методов Математическое моделирование – это область науки, занимающаяся моделированием явлений природы, техники, экономической и общественной жизни с помощью математического аппарата и, в настоящее время, реализующая эти модели с помощью ЭВМ
Классификация мат. моделей По назначению: дескриптивные оптимизационные имитационные По характеру уравнений: линейные нелинейные По учету изменения системы во времени: динамические статические По свойству области определения аргументов: непрерывные дискретные По характеру процесса: детерминированные стохастические
1 из 16
Презентация на тему: Математические модели (7 класс)
№ слайда 1
Описание слайда:
№ слайда 2
Описание слайда:
§ 2.4. Математические модели Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.Математическая модель - информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме.
№ слайда 3
Описание слайда:
№ слайда 4
Описание слайда:
№ слайда 5
Описание слайда:
Математическое моделирование Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей. К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель).
№ слайда 6
Описание слайда:
При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики.Пример: нужно определить площадь поверхности стола. Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой. Из всех свойств стола выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется. Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, легко указать исходные данные и результат. Они связаны соотношением S=ab.
№ слайда 7
Описание слайда:
Рассмотрим пример приведения решения конкретной задачи к математической модели. Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драгоценностями. Даны некоторые предположения о формах сундука и окнах иллюминатора и исходные данные решения задачи. Предположения:Иллюминатор имеет форму круга. Сундук имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Исходные данные: D - диаметр иллюминатора; x - длина сундука; y - ширина сундука; z - высота сундука. Конечный результат: Сообщение: можно или нельзя вытащить.
№ слайда 8
Описание слайда:
Системный анализ условия задачи выявил связи между размером иллюминатора и размерами сундука, учитывая их формы. Полученная в результате анализа информация отобразилась в формулах и соотношениях между ними, так возникла математическая модель.Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом:
№ слайда 9
Описание слайда:
Пример 1:Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале. Для решения задачи нужно знать площадь пола. Для выполнения этого задания измеряют длину, ширину пола и вычисляют его площадь. Реальный объект – пол зала – занимается прямоугольником, для которого площадь является произведением длины на ширину. При покупке краски выясняют, какую площадь можно покрыть содержимым одной банки, и вычисляют необходимое количество банок.Пусть A – длина пола, B - ширина пола, S1 - площадь, которую можно покрыть содержимым одной банки, N – количество банок. Площадь пола вычисляем по формуле S=A×B, а количество банок, необходимых для покраски зала, N= A×B/S1.
№ слайда 10
Описание слайда:
Пример 2:Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы?Решение:Обозначим время заполнения бассейна через первую и вторую трубу А и В соответственно. Примем за 1 весь объём бассейна, искомое время обозначим через t. Так как через первую трубу бассейн наполняется за А часов, то 1/А –часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час; 1/В - часть бассейна, наполняемая второй трубой за 1 час.Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1/А+1/В.Можно записать: (1/А+1/В)t=1. получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб. Искомое время можно вычислить по формуле:
№ слайда 11
Описание слайда:
Пример 3:На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч.Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.За t часов мотоциклист проедет 50t км и будет находится от А на расстоянии 50t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: S=50t + 20, где t>0.Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: было у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8, у Андрея 1,5х+8. По условию задачи 1,5х+8=2(х-8).
№ слайда 12
Описание слайда:
Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: было у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8, у Андрея 1,5х+8. По условию задачи 1,5х+8=2(х-8). Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: во втором цехе работают x человек, в первом – 4х, а в третьем - х+50. х+4х+х+50=470. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: первое число х; второе х+2,5. По условию задачи х/5=(х+2,5)/4.
№ слайда 13
Описание слайда:
Описание слайда:
Источники Информатика и ИКТ: учебник для 7 классаАвтор: Босова Л. Л. Издательство: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009 Формат: 60x90/16 (в пер.), 229 с., ISBN: 978-5-9963-0092-1http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (графики, схемы)http://images.yandex.ru (картинки)
Алгоритм составления математической модели:
- Составить краткую запись условия задачи:
А) выяснить, сколько величин участвует в задаче;
Б)выявить связи между этими величинами.
2. Сделать рисунок к задаче (в задачах на движение или в задачах геометрического содержания) или таблицу.
3. Обозначить за Х одну из величин (лучше меньшую величину).
4. Учитывая связи, составить математическую модель.
Задача1.(№ 86 (1)).
Квартира состоит из 3 комнат общей площадью 42 кв.м. Первая комната в 2 раза меньше второй, а вторая – на 3 кв. м больше третьей. Какова площадь каждой комнаты в этой квартире?
Задача 2. (№ 86 (2)).
За книгу, ручку и тетрадь Саша заплатил 11200 р. Ручка в 3 раза дороже тетради и на 700 р. дешевле книги. Сколько стоит тетрадь?
Задача 3.(№ 86 (3)).
Мотоциклист проехал расстояние между двумя городами, равное
980 км, за 4 дня. В первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй день, в третий день - половину расстояния, пройденного за первые два дня, а в четвертый день – оставшиеся 140 км. Какое расстояние проехал мотоциклист в третий день?
Задача 4. (№ 86 (4))
Периметр четырехугольника равен 46 дм. Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны, а четвертая сторона на 4 см больше первой стороны. Чему равны длины сторон этого четырехугольника?
Задача 5. (№ 87)
Одно из чисел на 17 меньше второго, а их сумма равна 75. Найти большее из этих чисел.
Задача 6. (№ 99)
В трех отделениях концерта выступило 20 участников. Во втором отделении выступило в 3 раза меньше участников, чем в первом, а в третьем отделении – на 5 участников больше, чем во втором. Сколько участников концерта выступило в каждом отделении?
Я умею (или нет):
Умения
Баллы
0 или 1
Выявлять число величин, участвующих в задаче
Выявлять связи между величинами
Я понимаю, что значит
В) «всего»
Я могу составить математическую модель
Я могу составить новую задачу по заданной математической модели
Домашнее задание:
1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);
2) Составить задачу к математической модели задачи