Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств
Оборудование: ПК, проектор, экран, доска для маркеров.
Тип занятия: Изучение нового материала.
Тема занятия: Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Цели:
Образовательная цель:
сформировать навык решения простейших тригонометрических неравенств, используя графический метод решения неравенств;
познакомить студентов с основоположниками тригонометрии и историей ее развития.
Развивающая цель:
обеспечить условия для развития умений анализировать, выделять главное, устанавливать единые общие признаки и свойства;
применять знания на практике;
учиться критически оценивать свои знания.
Воспитательная цель:
воспитывать положительное отношение к знаниям;
воспитывать дисциплинированность и добросовестность при выполнении заданий;
воспитывать умение работать в парах (чувствовать индивидуальную ответственность за достижение результата).
Задачи:
повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin , arccos , arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;
научить применять графический метод для решения простейших тригонометрических неравенств;
отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;
расширить кругозор студентов об истории развития Тригонометрии;
для активизации познавательной деятельности студентов применять различные формы и методы работы на занятии: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.
Структура занятия:
Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.);
Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.);
Объяснение нового материала (15 мин.);
Экспертная работа (10 мин.);
Самостоятельная работа в парах (15 мин.);
Домашнее задание (5 мин.);
Игра «Поле чудес» (15 мин.);
Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).
Пояснение к занятию: во время занятия студенты выставляют баллы в Рабочую карту занятия согласно правилам, описанным в данной карте. В конце занятия подводится итог работы студентов по количеству набранных баллов.
Ход занятия:
Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.) .
Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.».
Давайте сегодня на занятии будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим домашнее задание на сегодня.
Проверка домашнего задания:
№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)
За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Домашняя работа».
Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.).
Тема нашего занятия – Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Давайте запишем дату и тему занятия в тетрадь.
Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять свои знания и умения для решения тригонометрических неравенств.
Давайте сначала поработаем устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.
Устная работа:
Объяснение нового материала (10 мин.).
Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции .
Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.
Рассмотрим решение неравенства 
Построим графики функций: 
, 
.
Определим точки пересечения данных графиков:
Заштрихуем область, при которой значения функции больше
, если 
Так как функция периодическая (Т=
), значит, 
, 
Аналогично рассматривается решение неравенства 
Ответ: 
,
Экспертная работа (10 мин.).
К доске приглашаются студенты, хорошо разобравшиеся в материале и желающие ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные студенты могут поправлять их решение по мере надобности с места.
Решить неравенства:
1. 
Ответ: 
,
2. 
Ответ: 
,
За работу у доски студенты получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.
Самостоятельная работа в парах (15 мин.).
Студенты выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на доске.
Для решения тригонометрических неравенств графическим способом можно использовать Приложение № 1 к данному занятию.
Вариант № 1
Решить неравенства:
Вариант № 2
Решить неравенства:
1. 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: решений нет, т. к. 
Ответ: решений нет, т. к. 
Ответ:
Ответ: 
За каждое верное задание №1-№3-1 балл, № 4 – 2 балла.
Подведение итогов изучения новой темы. Студентам необходимо ответить на вопросы преподавателя.
Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?
Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?
Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?
За каждый правильный ответ студенты получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Устная работа».
Домашнее задание (5 мин.).
Сборник задач по математике Н.В. Богомолов
Дополнительное задание: 
Игра «Поле чудес» (20 мин.).
Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Преподаватель читает задание, студенты могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.
За каждую угаданную букву (решенное задание) студенты получают 1 балл, за отгаданное слово – 5 баллов.
Задание № 1
Ответ: Тригонометрия
Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).
Рабочая карта занятия
Студента _________________________________ группы « »
о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя, с/о – самооценка, о/г-оценка группы
Домашняя работа
с/о
Общее количество баллов, по 1 за каждое правильно выполненное задание.
Итог: _____
Устная работа
с/о
Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за ответ по теории.
Итог: _____
Экспертная
работа (работа у доски)
о/г
1-3 балла за работу у доски,
1 балл за работу с места.
Итог: _____
Самостоятельная
работа в парах
о/т
За каждое верное задание
№1-№3-1 балл,
№ 4 – 2 балла.
Итог: _____
Игра «Поле чудес»
с/о
Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за отгадывание слова.
Учебная дисциплина: Математика.Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления. Цели урока: 1) образовательные:
- показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности. учить решать простейшие тригонометрические неравенства.
- развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления;
- развитие внимания; развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.
- учить высказывать свои идеи и мнения; формировать умения помогать товарищам и поддерживать их; формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.
- наглядно - иллюстративный;
- для соединения новой информации с уже изученным материалом; для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации; для развития умений делиться своими идеями и мнениями. для развития логики, навыков рефлексии.
- учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс; проектор, доска; презентация MS PowerPoint.
- Организационный момент(1 мин)
; Проверка домашнего задания(7 мин)
; Изучение нового материала (31 мин)
; Домашнее задание(3 мин);
Подведение итогов (3 мин)
Тема урока: Решение простейших тригонометрических неравенств.
Выполнила: преподаватель математики КГБОУ НПО «ПУ №44» Мозер О. С.
Этапы деятельности
Преподаватель: - На прошлом уроке мы решали простейшие тригонометрические уравнения, сегодня узнаем, как с помощью единичной окружности решить простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x ≤ a , cos x > a , tg x ≥ a , ctg x a и т.д. Решение тригонометрических неравенств рассмотрим на конкретных примерах с помощью единичной окружности: Алгоритм решение данного неравенства: Аналогично по алгоритму, преподаватель и учащиеся решают следующие примеры:Занятие посвящено обобщению и систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем». В ходе работы обобщим основные виды тригонометрических неравенств, систем неравенств и методы их решения, а также дополним наши знания применением тригонометрических неравенств в нестандартных ситуациях.
Обобщение решения простейших тригонометрических неравенств.
1. Какие неравенства называются простейшими?
2. Приведите примеры простейших тригонометрических неравенств.
3. Чем можно пользоваться при решении тригонометрических неравенств?
Задание 1. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности на конкретном примере.
Задание 2. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью графика функции на конкретном примере.
Образцы карточек.
Карточка 1.
а) б) 
№2.Решите неравенство 
№3. Решите неравенство 
графически.
Карточка2.
№1. Запишите все решения, соответствующие дуге, изображённой на рисунке.
а) б) 
№2.Решите неравенство 
с помощью единичной окружности.
№3. Решите неравенство 
графически.
Обобщение решения неравенств, сводящихся к простейшим.
1. Актуализация знаний
1. Какими способами можно привести неравенство к простейшему виду? Приведите примеры таких неравенств.
Вспомним суть данного метода в ходе выполнения задания.
Задание.
Решить неравенство 
Учитель следит за решением, пошагово демонстрирует его с помощью презентации.
Мы повторили первый способ сведения неравенств к простейшему виду. Как ещё можно привести неравенство к простейшему виду?
Ещё раз обратим внимание на решение неравенств с использованием основных тригонометрических формул.
Учитель обсуждает решение неравенства 
с учениками, используя при этом презентацию.
* Вспомним, неравенства какого вида можно свести к простейшим введением вспомогательного угла?
* В чём состоит общий метод решения таких неравенств?
Задание.
Решить неравенство
Учитель ведёт беседу с классом, на экране поэтапно появляется решение.
* Можно ли данное неравенство сразу решать введением вспомогательного угла?
* Можно ли каким-то образом преобразовать данное неравенство?
* Можно ли последнее неравенство решать введением вспомогательного угла?
* Что для этого нужно сделать?
* Какой вид имеет последнее неравенство?
* Ещё раз напомним решение данного типа неравенств.
* Решим данное неравенство.
2. Выполнение практических заданий.
(работа в группах)
Класс делится на 3-4 группы. Каждой группе даётся карточка заданий (на обороте указать фамилии участников группы). Группы выполняют задание, затем меняются решениями (I-II-III-IV-I) и проверяют работу друг друга (взаимоконтроль). Оценку заносят в рабочую карту с пометкой «в/к» (на обороте указать «Проверяли…»). Учитель затем перепроверяет решение и оценивание.
III. Обобщение методов решения неравенств с помощью замены переменной.
1. Актуализация знаний
1. В каком случае удобно использовать замену t=f(x), где f(x)- одна из тригонометрических функций?
2. В каком случае можно использовать замену t=sinx+cosx?
Повторим решение данного типа неравенств на конкретных примерах.
На доске записаны 3 неравенства. По желанию ученики поочерёдно выходят к доске и решают неравенства, комментируя каждый шаг. Остальные ученики записывают решения, стараясь делать самостоятельно.
cos2x-cos8x+cos6x Учитель ведёт беседу с классом, записывает решение на доске.
*Какие преобразования необходимо выполнить?
*Можно ли в данный момент ввести новую переменную?
*Как можно сделать аргументы одинаковыми?
*Далее введём новую переменную . В результате получим неравенство
Решите самостоятельно последнее неравенство и найдите значения переменной t, удовлетворяющие неравенству.
*Возвращаясь к замене, решим полученные простейшие тригонометрические неравенства и запишем ответ.
IV. Обобщение решения тригонометрических неравенств методом интервалов.
Перед учениками и на доске - алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Повторение данного метода проводим в ходе решения неравенства
Выполнение практических заданий.
Каждый ученик получает карточку с одним неравенством. Карточки разного уровня сложности. Например, сильные ученики решают неравенство методом интервалов, средние и слабые-введением новой переменной.
Работу оценивает учитель, оценку заносит в рабочую карту ученика.
V. Обобщение решения систем тригонометрических неравенств.
Задание.
Необходимо напомнить алгоритм решения систем тригонометрических неравенств.
Далее работаем следующим образом: каждому ученику, в соответствии с вариантом, даются 3-4 карточки, на которых необходимо решить указанную систему неравенств. Выполнив задание первой карточки, необходимо отнести её на проверку (проверяет учитель или консультант (сильный ученик)). Если система решена верно, то её оставляют у проверяющего, приступают к решению задания следующей карточки. Если неверно, то карточка возвращается для исправления ошибки. Время работы ограничено-10 мин, поэтому ученики стараются выполнять задания быстро и по возможности правильно. По истечении времени работы, подводится итог:
4 верно выполненных задания-оценка «5»,
3 верно выполненных задания-оценка «4»,
2 верно выполненных задания-оценка «3»,
менее 2 выполненных заданий-оценка «2».
Оценка заносится в рабочую карту ученика.
Углубление знаний по теме
Заранее две группы учеников провели дополнительную исследовательскую работу. Первая группа изучала использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функций, вторая группа занималась решением неравенств смешанного типа. На специальном стенде ученики разместили решения различных заданий. Желающие могут ознакомиться. Далее ребята демонстрируют примеры решений неравенств указанных типов, используя подготовленные презентации.
Систематизация знаний
«Решение тригонометрических неравенств и их систем».
В ходе занятия мы обобщили знания о видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения.
Кратко материал нашего урока можно представить в виде таблицы (см. приложение), которая будет являться своеобразной памяткой о видах тригонометрических неравенств, их систем и способах их решения.
Используя таблицу, ещё раз быстро повторим материал темы «Решение тригонометрических неравенств и их систем».
5) Заключение.
В качестве домашнего задания предлагается индивидуальная контрольная работа, анализ выполнения которой покажет степень усвоения материала данной темы каждым учеником.
Тема урока: Решение тригонометрических неравенств
Урок проведён в 11«а» классе школы №4 им. Горького г.Брянска (2007 г.).
Класс работает по учебнику
https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">
Учитель : учитель высшей категории, заслуженный учитель РФ Нина Владимировна Кусачёва.
Цели урока :
1) Выявить приемы сведения тригонометрических неравенств к простейшим: рассмотрение сложного аргумента как простого; использование равносильных преобразований; применение тригонометрических формул.
2) Выявить способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему; введение новой переменной.
3) Научиться распознавать способы решения тригонометрических неравенств.
4) Научиться записывать ответ, если не используются табличные значения тригонометрических функций.
5) Совершенствовать умение решать тригонометрические неравенства.
6) Проверить умение решать простейшие тригонометрические неравенства.
Тип урока : урок совершенствования умений.
План урока :
1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.
2. Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства:
а) распознавание способов решения и повторение алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств;
б) работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения;
в) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием равносильных преобразований через сравнение неравенств;
г) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения;
д) совершенствование умения решать тригонометрические неравенства за счет использования нескольких способов решения.
3. Самостоятельная работа по решению тригонометрических неравенств.
4. Постановка домашнего задания.
Ход урока :
1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.
Учитель: (На доске записаны решения неравенств № 7, 8, 10 из домашней карточки).
Посмотрите на решение неравенства № 7. Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения?
№7 sin x ≤ - cos x ;
sin x + cos x ≤0;
https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src=">sin x + cos x ) ≤ 0;
https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;
sin (x + ) ≤ 0;
x + Î [ - π +2πn , 2πn ], n Î Z
x Î [ -5π/4 + 2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z
Ответ: x Î [ -5π/4 +2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z
Учитель: Тогда у меня есть несколько вопросов. Как была получена 3-я строка?
Учащиеся: Мы умножили и разделили каждое слагаемое на .
Учитель: Можно ли выполнять такое преобразование неравенства?
Учащиеся: Да, это преобразование является равносильным.
Учитель: С какой целью мы так поступали?
Учащиеся: Чтобы можно было применить тригонометрическую формулу сложения – синус суммы двух углов.
Учитель: Как иначе называется такой прием?
Учащиеся: Прием введения вспомогательного угла.
Учитель: Как догадались, что надо умножить и разделить каждое слагаемое именно на ?
Учащиеся: – это корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов в преобразуемом неравенстве.
Учитель: Назовите неравенство, которое можно считать простейшим и аргументируйте свой ответ.
Учащиеся: Неравенство sin (x + ) ≤ 0 можно считать простейшим, если рассматривать сложный аргумент (x + ) как простой, например, t .
Учитель: Итак, основной идеей решения неравенства № 7 является сведение к простейшему тригонометрическому неравенству. Давайте повторим, какие приёмы при этом использовали?
Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла);
(Учитель помогает учащимся, указывая на ту или иную строчку решения).
Учитель: Посмотрите на решение неравенства № 8.
№ 8 sin
2x
+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2cos
2x
) ≥ 1;
2 sin (2x + π/3) ≥ 1;
sin (2x + π/3) ≥ 1/2;
2x + π/3 Î [π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn ], n Î Z;
x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z;
Ответ: x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z.
Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения? (пауза) Какие приёмы использовали при решении этого неравенства?
Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла, деление обеих частей неравенства на положительное число);
2) применение тригонометрической формулы,
3) рассматривали сложный аргумент как простой.
Учитель: Рассмотрите решение неравенства №10:
№10 cos 2 x – 2cos x >0;
Пусть cos x = t;
t 2 – 2t >0;
https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;
2. cos (3π/2 + x ) < -/2;
3. cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;
4. sin x > 2/3;
5. 5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;
6. 4sin 2 3x < 3.
Учитель: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?
Учащиеся: 1, 3, 5.
Учитель: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?
Учащиеся: 1, 2, 3, 5, 6.
Учитель: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?
Учащиеся: 2, 3, 6.
Учитель: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?
Учащиеся: 6.
Учитель: Сейчас мы начнём решать неравенства с простейшего и научимся записывать ответ, если не используются табличные значения. Но вначале ответьте, верно ли, что простейшие тригонометрические неравенства можно решать по алгоритму, записанному на доске:
Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств
1. Устно заменяем неравенство уравнением. Чертим единичную окружность и отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению.
2. Отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, т. е. выделяем соответствующую дугу.
3. Указываем направление отсчёта.
4. Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.
5. Находим угол, соответствующий концу дуги.
6. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.
Учитель: В таком ли порядке вы решали простейшие неравенства?
Учащиеся: Да.
Комментарий. Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.
б) Работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения.
Учитель: Начнём решать с неравенства № 4.
Организация дальнейшей работы:
https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Один ученик решает неравенство у доски, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух
5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;
cos (x – π/6) ≥ 1/5;
x – π/6 Î [-arccos 1/5 + 2πn , arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z;
x Î [π/6 – arccos 1/5 + 2πn , π/6 + arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.
По завершении решения учитель задает ученику, решавшему неравенство у доски, следующие вопросы:
Учитель: Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?
Учащийся: Тогда квадратные скобки заменили бы на круглые.
Учитель: Как бы записали ответ в случае, если было дано неравенство cos (x – π/6) ≤ 1/5?
Учащийся: x Î [π/6 + arccos 1/5 + 2πn , 13π/6 – arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.
Учитель: Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались?
Учащийся: Применяли равносильные преобразования (перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей неравенства на положительное число); рассматривали сложный аргумент как простой.
Учитель: (обращаясь к классу); есть ли вопросы или замечания к отвечающему? (ученик отвечает на вопросы учащихся и соглашается или нет с замечаниями, затем садится на место).
Учитель: На какое неравенство похоже неравенство №1 и чем?
Учащиеся: На неравенство № 5 способом сведения к простейшему; на неравенство № 4 расположением дуги.
Учитель: Решите устно неравенство № 1: 2sin (x – π/4) ≥ .
Учащиеся: Ответ: x Î [ π/2 + 2πn , π + 2πn ], n Î Z.
Комментарий. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «>» стоял знак «<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».
г) Совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения.
Учитель: Рассмотрим неравенство № 2 cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Желающий ученик решает неравенство у доски, не проговаривая решения:
cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;
Ответ: x Î (- 2π/3 + 2πn ,-π/3 + 2πn ), n Î Z.
По завершении решения учащиеся проверяют оформление и, если необходимо, делают замечания. После чего учитель задает отвечающему следующие вопросы:
Учитель: Чем это неравенство отличается от решённых ранее?
Учащийся: Это неравенство было сведено к простейшему с использований формулы приведения.
Учитель: Есть ли еще неравенство, которое можно решить этим способом?
Учащийся: № 3.
Учитель: Устно решим неравенство, комментируя ход решения.
Учащиеся: (по порядку комментируют ход решения, учитель вносит изменения в неравенство)
№ 3 cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;
cos (π + 2x ) ≥ 1;
- cos 2x ≥ 1;
cos 2x ≤ -1
2x = -π + 2πn , n Î Z;
x = -π/2 + πn , n Î Z.
Учитель: Итак, какова особенность решения данного неравенства?
Учащиеся: Его решение свелось к решению уравнения.
Учитель: Итак, как вы будете действовать в дальнейшем, когда увидите, что аргумент у тригонометрической функции сложный?
Учащиеся: Мы посмотрим, нельзя ли использовать формулы приведения, чтобы упростить аргумент.
Урок №19-20 Тема: Тригонометрические неравенства
Тип урока: дифференцированный, проблемный.
Цель урока: Совершенствование навыков взаимодействия на уроке в группах, решая проблемные задачи. Развитие способности самооценки учащихся. Организация совместной учебной деятельности, дающая возможность формулировать и решать проблемные задачи.
Задачи урока:
Образовательная: Повторить алгоритмы решения тригонометрических неравенств; закрепить умения решения тригонометрических неравенств; познакомить учащихся с решением системы тригонометрических неравенств; разработать алгоритм решения системы тригонометрических неравенств; закрепить умение решение системы тригонометрических неравенств
Развивающая: Научить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение. Уметь распознавать и решать проблемные задачи. Проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
Воспитательная: Повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Урок 1
1. Организационное введение. Постановка учебной задачи.
Класс делятся на три группы, которые объединяют учащихся одного уровня знаний.
I группа “А”
II группа “В”
III группа “С”
Учащиеся обучающиеся условно на “3”
Учащиеся обучающиеся условно на “4”
Учащиеся обучающиеся условно на “5”
Каждый учащийся получает лист личных достижений.
Учитель: Рассмотрите внимательно лист личных достижений. Впишите фамилию, имя и название группы. Тема нашего урока “Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств”. Мы с вами сегодня
Повторим алгоритмы решения тригонометрических неравенств;
Закрепим умение решения тригонометрических неравенств;
Познакомимся с решением системы тригонометрических неравенств;
Разработаем алгоритм решения системы тригонометрических неравенств;
Закрепим умение решение системы тригонометрических неравенств;
Проведем матч с компьютером.
1. Повторение
Повторение алгоритма решения тригонометрических неравенств проводится с помощью слайдов. Учитель перед демонстрацией каждого слайда ставит задачу: “Проговорите алгоритм решения неравенства”, при этом вызывает 4-х учащихся по одному на каждый пункт алгоритма. Каждый учащийся проговаривает содержание одного из пунктов алгоритма и только потом появляется информация на слайде. Возможно, учащийся будет делать свои комментарии, в тексте эта часть ответа выделена курсивом.
Учитель: .
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства
Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства
2. Работа в группах
Учитель раздает каждому ученику в группе альбомные листы, на которых нарисованы 3 числовые тригонометрические окружности. (Раздаточный материал дифференцированный)
Учитель: Каждому учащемуся надо решить 3 задания. В группе “А” одно задание проблемное (последнее). В группе “В” два задания проблемные (два последних). В группе “С” все задания проблемные. В течении 5 минут учащиеся, помогают друг другу разобраться с заданиями, затем в течении 10 минут учащиеся решают задания самостоятельно и по мере решения выходят к доске и закрепляют свои листочки с решением на доске.
Учитель проверяет по мере их вывешивания. За верно решенное задание ставиться “+”, за не верно решенное задание ставиться “-”. По истечению 10 минут решение прекращается и начинается в течение 5 минут разбор решенных заданий. Разбираются только проблемные задачи, но если есть необходимость, то можно разобрать и остальные задания.
Задания для учащихся по группам
I группа “А”
Задание №3 повышенной сложности для уровня “А”
II группа “В”
Задание №2 и №3 повышенной сложности для уровня “В”
III группа “С”
2.
3.
2.
3.
2.
3.
2.
3.
2.
2.
2.
3.
Все задания повышенной сложности для уровня
“С”
Учитель: Учащиеся соревнуются внутри группы (успевшие вывесить верные задания получают дополнительно за скорость 3 балла). А также соревнуются команды между собой (учащиеся команды получают по 3 балла дополнительно, если в этой команде было больше верно решенных заданий)
Дополнительные баллы за скорость выставляет учитель в последнюю графу.
2 урок
Индивидуальный зачет по проблемной теме
Учитель: Вспомним, как решается система неравенств вида:
Ответ:
Учитель вызывает к доске ученика из группы “С” для решения системы неравенств, учащиеся из группы “В” озвучивают решение с места.
Учитель: Перед каждой группой ставиться проблема в виде решения трех систем тригонометрических неравенств (каждая группа получает одинаковые системы, т.е. все учащиеся в равных условиях).
№1.
Ответ: .
: большая дуга.
И .
.
Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.
Записать числовые значения граничных точек дуги: и .
Записать общее решение неравенства:
.
3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
- Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и ; и .
Записать общее решение системы неравенств:
№2 Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:
Ответ:
.
На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.
Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.
Записать числовые значения граничных точек дуги: и .
Записать общее решение неравенства:
.
2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : меньшая дуга.
Записать числовые значения граничных точек дуги: и . Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:
Ответ:
.
На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.
Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):
Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу .
5. Подведение итогов
Мы с вами:
Повторили алгоритмы решения тригонометрических неравенств;
Решали в группах тригонометрические неравенства, как простые, так и проблемные;
Разобрали решение 3 тригонометрических систем неравенств;
Разработали алгоритм решения системы тригонометрических неравенств в общем вид.
Дополнительная информация к уроку:
Приложение 1: Лист личных достижений.
Приложение 2: “Решение тригонометрических неравенств”
Приложение 3 “Решение системы тригонометрических неравенств”
Лист личных достижений
Фамилия, Имя _______________________________________
Группа____________________
1. Повторение (отметить галочкой):
0 б за не верный ответ ______
1 б за не четкий ответ ______
2 б за четкий ответ ______
3 б за умение найти и исправить ошибку ______
2. Работа в группах (отметить галочкой):
0 б за не решенное задание ______
1 б за ошибочное решение (ошибку исправил учитель) ______
2 б за ошибочное решение (ошибку исправил ученик) ______
3 б за правильное решение одного задания ______
3. Индивидуальный зачет по проблемной теме (отметить галочкой):
0 б за не участие в обсуждении проблемы _______
1 б за участие в обсуждении проблемы _______
2 б за активное обсуждение проблемы _______
3 б за умение составить алгоритм решения _______
Оцени свои знания