>>Математика: Преобразование подобия

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Лекция №16

Преобразование подобия. Гомотетия. Виды подобия.

Классификация подобий плоскости. Группа подобия и ее подгруппы.

Определение 16.1 . Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если k > 0, что для любых двух точек А и B и их образов A ` и B ` выполняется равенство
.

При k =1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Значит, движение – частный случай подобия.

Определение 16.2. Преобразование плоскости называется гомотетией, если существует некоторое число m1 , что для любых трех точек плоскости М, М, M ` выполняется условие
.

Точка М - центр гомотетии, числоm – коэффициент гомотетии. Если m > 0 – гомотетия положительна, если m < 0 – гомотетия отрицательна.

Теорема 16.3. Гомотетия есть подобие.

Доказательство:

,
.

2. По определению гомотетии имеем:

3. Вычтем из первого равенства второе: ,

. Значит, гомотетия есть подобие, где коэффициент гомотетии
равен коэффициенту подобия.

Если точка М (x , у) при гомотетии переходит в точкуM`(x`,y`), то:

- аналитические выражения гомотетии.

Свойства гомотетии

Гомотетия с коэффициентом, отличным от 1, переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, ей параллельную; прямую, проходящую через центр – в себя.

Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Теорема 16.4. Пусть f – преобразование подобия с коэффициентом k > 0 , а h – гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М . Тогда существует единственное движение g такое, что f = g ∙ h .

Доказательство:

Рассмотрим композицию движения и гомотетии(помножим обе части равенства (*) на гомотетию):
илиg ∙ h = f (**)

Гомотетия обладает всеми свойствами движений, подобие также обладает всеми свойствами движений.

Так как гомотетия сохраняет ориентацию, а подобие есть произведение движения на гомотетию, т.е. движение имеет одну ориентацию с гомотетией, то подобие также имеет эту ориентацию. В этом случае говорят о подобии 1-го рода.

Если движение имеет ориентацию, противоположную гомотетии, то в этом случае подобие имеет противоположную ориентацию и является подобием 2-го рода.

Аналитические выражения подобия

Так какгомотетия задается выражениями , движение задается выражениями, то координаты образа
точки
в преобразовании подобия
вычисляются по формулам:

Если ε = 1, то подобие первого рода;

Если ε = -1, то подобие второго рода.

Теорема 16.5. Любое преобразование подобия имеет только одну неподвижную точку в том случае, если оно отлично от движения.

Доказательство:

1. Точка
является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда
. Из аналитических выражений подобия следует, что

Определитель системы не равен 0 при ε = ± 1 . Таким образом, при k 1 для любого имеем, что определитель не равен нулю и, следовательно, система является однородной, т.е. будет иметь единственное решение.

Классификация подобия

Подобие первого рода.

Подобие второго рода.

Следствие16.6. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.

Группа подобия и ее подгруппы.

Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».

Множество Р является группой относительно этой операции.

Действительно:

Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.

Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.

ГЕОМЕТРИЯ
Планы-конспекты уроков для 10 классов

Урок 50

Тема. Преобразование подобия и его свойства

Цель урока: формирование знаний учащихся о сходстве пространственных фигур, изучение свойств преобразования подобия и применение их к решению задач.

Оборудование: модели куба и тетраэдра.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Коллективное обсуждение контрольных вопросов № 9-11 и решения задач № 23-25 (1).

2. Математический диктант.

При параллельном переносе точка А переходит в точку В: вариант 1 - А (6; 7; 8), В (8; 2; 6 ); вариант 2 - A (2; 1; 3), В(1; 0; 7). Запишите:

1) формулы параллельного переноса;

2) координаты точки С, которая образовалась в результате параллельного переноса точки О (0; 0; 0);

3) координаты точки D , которая образовалась в результате параллельного переноса точки С;

4) координаты точки F , в которую перешла точка M (1; 1; 1 ) в результате параллельного переноса;

5) формулы параллельного переноса, при котором точка В перейдет в точку А.

Ответ. Вариант 1. 1) х1 = х + 2, у1 = у - 5, z1 = z - 2; 2) С(2; -5; -2); 3) D (4; -10; -4); 4) F (-1; 6; 3); 5) x 1 = х - 2, у1 = у + 5, z 1 = z + 2.

Вариант 2.1) x 1 = х - 1, y 1 = y -1, z 1 = z + 4 ; 2) C (-1; -1; 4); 3) D (-2; -2, -8); 4) F (2; 2; -3); 5) x 1 = x + 1, y 1 = y + 1, z 1 = z - 4.

II. Восприятие и осознание нового материала

Преобразование подобия в пространстве

Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называется преобразованием подобия, если произвольные точки X и Y фигуры F переходят в точки X 1 и Y 1 фигуры F1 такие, что Х1Y 1 = k XY .

Преобразование подобия в пространстве, как и на плоскости, переводящее прямые в прямые, півпрямі в півпрямі, отрезки в отрезки и сохраняет углы между півпрямими.

Две фигуры в пространстве называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетія.

Гомотетія относительно центра О с коэффициентом k - это преобразование, которое переводит произвольную точку Х в точку X1 луча ОХ, такую, что ОХ1 = k OX . (рис. 270).

Преобразования гомотетії в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетії, в параллельную плоскость (или в себя, когда k = 1).

Доказательство проводится так, как это сделано в учебнике.

Решение задач

1. Что представляет собой фигура, подобная куба с коэффициентом подобия: а) k = 2; б) k = ; в) k = 1?

2. Постройте фигуру, гомотетичну данном тетраедру ABCD относительно точки S (рис. 271) с коэффициентом гомотетії: а) k = 2; б) k = ; в) k = 1.

3. В какую фигуру переходит плоскость при гомотетії, если эта плоскость проходит через центр гомотетії?

4. Постройте фигуру, в которую перейдет куб при гомотетії относительно точки S (рис. 272) с коэффициентом гомотетії.

5. Треугольник АВС гомотетичний треугольник А1 В1 С1 относительно начала координат с коэффициентом гомотетії k = 2. Найдите координаты вершин треугольника А1 В1 С1 , если А (1 ; 0; 0), В (0; 3; 0), С (0; 0; - 3).

6. Задача № 29 из учебника (с. 56).

III . Домашнее задание

§4, п. 30 ; контрольные вопросы № 12-13; задача № 28 (с. 56).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства.

2) Какое преобразование называется гомотетією с центром О и коэффициентом А?

3) В треугольной пирамиде SABC проведено сечение MNK так, что SM = 2MA , SK = 2KC , SN = 2NB (рис. 273). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) при гомотетії с центром S и коэффициентом точка М переходит в точку А;

б) при гомотетії с центром S и коэффициентом плоскость АВС переходит в плоскость MNK ;

в) AB = MN ;

г) при гомотетії с центром S и коэффициентом - пирамида SABC переходит в пирамиду SMNK .

4) В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 проведено сечение BDC 1 и MNK , где точки М, N , К - середины ребер СС1 , ВС, DC (рис. 234). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) при гомотетії с центром С и коэффициентом 0,5 точка М переходит в точку C1 ;

б) при гомотетії с центром С и коэффициентом 2 плоскость MNK переходит в плоскость BDC1 ;

в) BD = 2 NK ;

г) площадь сечения BDC 1 в 4 раза больше площади сечения MNK.

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Преобразование графиков функций
• Преобразование плоскости

Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях:

преобразование подобия - Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… …

преобразование подобия - panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ - см Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь

преобразование подобия - Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь

Преобразование - (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь

преобразование (в кибернетике) - Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь

Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Преобразование - одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия

преобразование - я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь