Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Не заболела бы голова...

"Математика такая трудная..." Вы наверняка не раз слышали эту фразу, а, может быть, даже сами ее произносили вслух.

Для многих математические вычисления - дело непростое, но вот вам три несложных способа, которые помогут выполнить хотя бы одно арифметическое действие - умножение. Без калькулятора.

Вполне вероятно, что в школе вы познакомились с наиболее традиционным способом умножения: сначала вы выучили на память таблицу умножения, а уж затем стали в столбик перемножать каждую из цифр, которыми записываются многозначные числа.

Если вам надо перемножить многозначные числа, то, чтобы найти ответ, потребуется большой лист бумаги.

Но если от этого длинного набора идущих одна под другой строчек с цифрами у вас голова идет кругом, то есть и другие, более наглядные методы, которые могут вам помочь в этом деле.

Но тут пригодятся некоторые художественные навыки.

Давайте порисуем!

Как минимум три способа умножения связаны с рисованием пересекающихся линий.

1. Способ индейцев майя , или японский метод

Относительно происхождения этого способа существует несколько версий.

Трудно умножать в уме? Попробуйте метод майя и японцев

Некоторые говорят, что его придумали индейцы цивилизации майя, населявшие районы Центральной Америки до прибытия туда конкистадоров в XVI веке. Он также известен как японский метод умножения, поскольку учителя в Японии используют именно этот визуальный способ, когда учат младших школьников умножению.

Суть в том, что параллельные и перпендикулярные линии представляют цифры тех чисел, которые нужно перемножить.

Давайте умножим 23 на 41.

Для этого нам надо нарисовать две параллельные линии, представляющие 2, и, немного отступя, еще три линии, представляющие 3.

Затем, перпендикулярно к этим линиям мы нарисуем четыре параллельные линии, представляющие 4 и, чуть отступя, еще одну линию для 1.

Ну как, неужели трудно?

2. Индийский способ , или итальянское умножение "решеткой" - "джелозия"

Происхождение этого способа умножения тоже не ясно, однако он хорошо известен по всей Азии.

"Алгоритм "джелозия" передавался из Индии в Китай, затем в Аравию, а оттуда в Италию в XIV-XV веках, где он получил название "джелозия", поскольку внешне был похож на венецианские решетчатые ставни", - пишет Марио Роберто Каналес Виллануэва в своей книге, посвященной различным способам умножения.

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Индийская или итальянская система умножения похожа на венецианские жалюзи

Давайте снова возьмем пример с умножением 23 на 41.

Теперь нам потребуется начертить таблицу из четырех клеток - по клетке на цифру. Подпишем сверху у каждой клетки соответствующую цифру - 2,3,4,1.

Затем надо разделить каждую клетку надвое по диагонали, чтобы получились треугольники.

Теперь мы сначала умножим первые цифры каждого числа, то есть 2 на 4, и запишем в первом треугольнике 0, а во втором 8.

Потом перемножим 3x4 и запишем 1 в первом треугольнике, а 2 во втором.

Проделаем то же самое и с другими двумя цифрами.

Когда все клетки нашей таблицы будут заполнены, мы складываем цифры в такой последовательности, как показано на видео, и записываем получившийся результат.

Media playback is unsupported on your device

Трудно умножать в уме? Попробуйте индийский метод

Первая цифра у нас будет 0, вторая 9, третья 4, четвертая 3. Таким образом, результат получился: 943.

Как вам показалось, проще этот способ или нет?

Давайте попробуем еще один метод умножения с помощью рисунка.

3. "Массив" , или метод таблицы

Как и в предыдущем случае, для этого потребуется нарисовать таблицу.

Возьмем тот же пример: 23 x 41.

Тут нам надо разделить наши числа на десятки и единицы, поэтому 23 мы запишем как 20 в одной колонке, и 3 в другой.

По вертикали мы запишем наверху 40, а внизу 1 .

Затем мы перемножим числа по горизонтали и вертикали.

Media playback is unsupported on your device

Трудно умножать в уме? Нарисуйте таблицу.

Но вместо того чтобы умножать 20 на 40, мы отбросим нули и просто перемножим 2 x 4, получив 8.

То же самое сделаем, умножая 3 на 40. Мы удерживаем в скобках 0 и умножаем 3 на 4 и получаем 12.

Проделаем то же самое с нижним рядом.

Теперь добавим нули: в левой верхней клетке у нас получилось 8, но мы отбросили два нуля - теперь мы их допишем и получится 800.

В правой верхней клетке, когда мы умножали 3 на 4(0), у нас получилось 12; теперь мы допишем ноль и получим 120.

Сделаем так же со всеми прочими удержанными нулями.

И наконец, мы складываем все четыре числа, полученных умножением в таблице.

Результат? 943. Ну как, помогло?

Важно разнообразие

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Все способы хороши, главное - чтобы ответ сошелся

Что точно можно утверждать, - так это то, что все эти разные способы дали нам один и тот же результат!

Нам все-таки пришлось кое-что перемножить в процессе, но каждый шаг был проще, чем при умножении традиционным способом, и гораздо более наглядный.

Так почему же мало где в мире в обычных школах учат этим методам вычисления?

Одной из причин может быть упор на обучение "вычислениям в уме" - чтобы развивать умственные способности.

Однако Дэвид Уиз, учитель математики из Канады, работающий в государственных школах в Нью-Йорке, объясняет это иначе.

"Недавно я прочитал, что причина, по которой используется традиционный метод умножения, - это экономия бумаги и чернил. Этот метод не был придуман как самый простой для использования, но как самый экономный с точки зрения ресурсов, поскольку чернила и бумага были в дефиците", - объясняет Уиз.

Правообладатель иллюстрации Getty Images Image caption Для некоторых методов вычисления только головы недостаточно, нужны еще и фломастеры

Невзирая на это, он полагает, что альтернативные методы умножения очень полезны.

"Я не думаю, что это полезно - сразу учить школьников умножению, заставляя их выучивать таблицу умножения, но не объясняя им при этом, откуда она взялась. Поскольку если они забудут одно число, то как они смогут продвинуться в решении задачи? Метод майя или японский метод необходим, потому что с его помощью вы можете понять общую структуру умножения, а это хорошее начало", - полагает Уиз.

Существует и ряд других способов умножения, например, русский или египетский, они не требуют дополнительных навыков рисования.

Как говорят специалисты, с которыми мы беседовали, все эти методы помогают лучше понять процесс умножения.

"Понятно, что все идет на пользу. Математика в сегодняшнем мире открыта как внутри, так и снаружи классной комнаты", - резюмирует Андреа Васкес, учительница математики из Аргентины.

Долгое время страны Азии, в частности Сингапур и Япония, возглавляют списки результатов тестирования Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся (PISA). В чем секрет их математических успехов? Математическими гениями рождаются или становятся? Чтобы разобраться в вопросах, рассмотрим подходы к обучению математике в азиатских странах.

Как преподают математику в Японии

В возрасте 7-8 лет японские дети начинают изучать рифмованную таблицу умножения под названием куку (kuku), «ку» по‑японски означает «девять». Японские дети учат таблицу наизусть, а затем рассказывают её на скорость в школе и дома. Существуют даже специальные соревнования второклассников на скорость воспроизведения таблицы. Ради победы школьники вынуждены долго и усердно тренироваться с секундомером.

Также многие японские дети посещают внеклассные математические занятия. В Японии существует более 20 тысяч частных математических образовательных организаций. Заниматься в них могут школьники любого возраста: как первоклассники, так и ученики старшей школы. Многие из них обучаются системе быстрого счёта с помощью ментальной арифметики .

Дополнительные занятия занимают один‑два часа и проходят два, а в некоторых случаях и четыре раза в неделю. На них дети сначала учатся решать примеры с помощью счётной доски - абакуса, а затем переходят на следующий уровень, на котором начинают считать в уме.

На таких уроках детям выдают листы с распечатанными на них примерами, их задача - потратить на решение как можно меньше времени. И это в дополнение к четырём школьным урокам математики (по 45 минут каждый) в неделю.

После пары лет обучения ментальной арифметике, японские дети умножают семи- и восьмизначные числа в уме быстрее, чем ребёнок из любой другой части света ответит, сколько будет семью восемь.

Жажда победы

Японским детям очень нравится счёт на скорость. Многие считают его новым видом спорта и участвуют в городских, региональных соревнованиях и на первенствах страны.

Такой подход значительно отличается от общепринятого, который призывает всячески ограждать детей от конкуренции. Однако многие забывают, что излишняя опека для детей не менее вредна. Ведь в таком случае дети не познают радости побед, которые они одержали благодаря собственным усилиям.

Перестав оценивать детей, можно лишить их мотивации к дальнейшему развитию.

Страсть и талант

Никто не рождается гением математики. Исследования показывают, что для того, чтобы стать экспертом в новой области, требуется 10 тысяч часов практики. Если вы хотите добиться успехов в математике, будьте готовы к тому, что на это уйдет много времени и сил.

Если мы посмотрим на математические состязания, в которых участвуют японцы, начиная со скоростного пересказа таблицы умножения в младшей школе и заканчивая более сложными арифметическими вычислениями в уме в старших классах, то становится очевидно - именно дух соревновательности поддерживает в японцах любовь к математике.

Язык

Пытаясь разобраться в причинах успеха жителей Китая в математике Малкольм Гладуэлл в книге «Гении и аутсайдеры: почему одним всё, а другим ничего?» делает особый акцент на языке. Название чисел на китайском короткие, их можно произнести очень быстро: 4 звучит как «си», 7 - «ки». Чем меньше слова - тем быстрее их можно запомнить. Автор показывает это на примере последовательности чисел 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6, которую англоговорящий человек с первого раза запомнит на 50%, а китаец полностью. Секрет в том, что наша кратковременная память в среднем сохраняет цифры в отрезке не более 2 секунд - скорее всего, вы запомните то количество чисел, которое сможете произнести за это время.

Автор отмечает более логичное название сложных чисел в китайском, нежели в английском. То же можно сказать и про русский язык. Например, в слове шестнадцать - мы сначала используем производное от названия цифры «шесть», а затем обозначаем один десяток - «-надцать». В слове же шестьдесят один - мы действуем логичнее: сначала обозначаем количество десятков «шестьдесят», а затем указываем единицы - «один». В китайском, японском и корейском языках система называния чисел более логична: шестнадцать - произносятся как десять и шесть, шестьдесят один как шесть десятков один. Это даёт азиатским детям ряд преимуществ: они учатся считать быстрее, нежели европейские дети, и проще выполняют арифметические действия. Взрослым такие различия в названии чисел кажутся несущественными, но они значительны для детей.

Культура

Ещё один фактор, который помог китайцам преуспеть в математике, не связан напрямую с наукой - это культура выращивание риса.

Выращивание риса требовало больших трудов и 3000 часов работы в полях (европейские крестьяне в среднем работали 1200 часов в год). В отличие от европейских крестьян, китайцы выращивали и собирали урожай 2 раза в год и не имели продолжительного отдыха в течение зимы.

Малкольм Гладуэлл отмечает, что работа на рисовых полях была трудна и кропотлива, но выливалась в «содержательный труд». В отличие от европейский крестьян, китайские не были в полном рабстве у дворян и не отдавали им большую часть дохода. Землевладельцы устанавливали фиксированную арендную плату, урожай сверх которой каждая община могла забрать себе. Крестьяне знали: лучше поработаешь - больше получишь.

Трудолюбие китайцев отразилось во множестве пословиц, посвящённых труду, самая яркая: «Семья человека, который круглый год встаёт до зари, бедствовать не будет». При чём здесь математика? Эта наука как никакая другая требует настойчивости, упорства и готовности подолгу сидеть за каждой задачей.

Подведём итог: успех азиатских стран в математике связан с культом трудолюбия, языком, большим количеством школьных уроков и дополнительными занятиями

Нации, использующие иероглифы, имеют другой тип мышления. Влияет ли это на их жизни? Сложно сказать. Такие люди визуалы по природе, они образно воспринимают окружающий мир. И эта система восприятия не обходит даже точные науки. То, как умножают японцы, будет интересно знать всем. Во-первых, не придется панически искать калькулятор, а во-вторых - это очень увлекательное занятие.

Рисуем

Это удивительно, но японские дети умеют умножать даже не зная о таблице умножения. Как умножают японцы? Они делают это очень просто, настолько просто, что используют лишь базовые навыки рисования и счета. Проще показать на примере, как это происходит.

Допустим, необходимо умножить 123 на 321. Для начала нужно нарисовать одну, две и три параллельные линии, которые будут размещаться по диагонали с верхнего левого угла в нижний правый. На созданных группах параллелей нарисовать три, две и одну линию соответственно. Они также будут размещаться по диагонали с нижнего левого угла в правый верхний.

В итоге получим так называемый ромб (как на рисунке выше). Если кто еще не понял, количество линий в группе зависит от чисел, которые нужно перемножить.

Считаем

Итак, как японцы умножают числа? Следующий этап - подсчет точек пересечения. Сначала отделяем полукругом место пересечения трех линий с одной и считаем количество точек. Получившееся число записываем под ромбом. Дальше точно таким же образом отделяем участки, где пересекаются две линии с тремя и одной. Также считаем точки соприкосновения и записываем, потом считаем точки, которые остались в центре. Должен получиться такой результат, как и на рисунке ниже.

Стоит обратить внимание на то, что если центральное число двузначное, то первую цифру нужно добавить к числу, что получилось при подсчете точек соприкосновения в области слева от центра. Умножив, таким образом, 123 на 321, получим 39 483.

Этим методом можно умножать как двузначные, так и трехзначные числа. Одна проблема в том, что если придется считать такие числа, как 999, 888, 777 и т.д., то нужно будет рисовать очень много черточек.

Что такое ментальная арифметика и почему она нужна каждому человеку.

Ментальная арифметика - это программа комплексного развития интеллекта и мышления детей, основанная на формировании навыка быстрого устного счета

На занятиях дети учатся быстрому счету с помощью специальной счетной доски (абакус, соробан). Педагоги объясняют, как правильно перебирать костяшки на спицах, чтобы малыши могли почти мгновенно получить ответ на сложный пример. Постепенно привязка к счетам ослабевает и дети представляют те действия, что совершали со счетами, в уме.

Программа рассчитана на 2-2,5 года. Сначала ребята осваивают сложение и вычитание, затем - умножение и деление. Навык приобретается и развивается за счет многократного повторения одних и тех же действий. Методика подходит практически всем детям, принцип обучения - от простого к сложному.

Занятия проходят один-два раза в неделю и длятся один-два часа.

Древние счеты абакус, на которых считают дети, известны уже более 2,5 тысяч лет

В Японии счет на абакусе включен в официальную школьную программу

Вот уже более 50 лет ментальная арифметика входит в систему государственного образования в Японии. Интересно, что после окончания школы люди продолжают совершенствовать свои навыки в устном счете. В Стране восходящего солнца ментальную арифметику считают чем-то вроде спорта. По ней даже проводят соревнования. В России теперь тоже ежегодно проводятся международные турниры по Ментальной арифметике.

Ментальная арифметика развивает механическую и фотографическую память

Когда дети считают, они задействуют сразу оба полушария мозга. Ментальная арифметика развивает фотографическую и механическую память, воображение, наблюдательность, улучшает концентрацию внимания.

Повышается общий уровень интеллекта. Это значит, что ребятам легче усваивать большие объемы информации в сжатые сроки. Сразу видны успехи в иностранных языках. На заучивание стихов и прозы теперь не надо тратить весь день.

У школьников более медлительных ускоряется быстрота реакции. Они начинают не просто молниеносно считать, но быстрее думать и принимать решения, не связанные с арифметикой.

Бывают и неожиданные результаты. Как-то в центр пришел мальчик, который занимался теннисом. Мама рассказала, что у ее сына проблемы с координацией движений. Неожиданно их удалось решить именно за счет интенсивов по ментальной арифметике.

Взрослым ментальная арифметика дается сложнее, оптимальный возраст для начала занятий - 5-14 лет

Развивать мозг с помощью ментальной арифметики можно в любом возрасте, но наилучших результатов можно добиться до 12–14 лет. Детский мозг очень пластичен, подвижен. В юном возрасте в нем наиболее активно формируются нейронные связи, поэтому наша программа дается легче ребятам до 14 лет.

Чем старше человек, тем сложнее ему абстрагироваться от своего опыта и знаний и просто доверять абакусу. Я осваивала эту методику в 45 лет и постоянно сомневалась, правильно ли у меня получается, нет ли ошибки. Это очень мешает обучению.

Но чем труднее человеку осваивать этот счет, тем больше от него пользы. Человек как бы преодолевает себя, с каждым разом у него получается все лучше и лучше. Занятия не проходят даром, мозг взрослого человека также активно развивается.

Только не стоит ожидать от взрослого таких же результатов, как от ребенка. Мы можем научиться методике, но посчитать так же быстро, как это делает второклассник, уже не получится. Как показывает опыт, оптимальный возраст, с которого лучше начинать занятия - 6 и 7 лет.

Лучших результатов добивается тот, кто регулярно занимается дома

Обязательное условие занятий - ежедневные тренировки на абакусе. Всего 10-15 минут. Детям необходимо отрабатывать формулу, которую им дал на уроке преподаватель, и доводить свои действия до автоматизма. Только в этом случае ребенок научится считать быстро. Здесь важна организационная роль родителей, которым нужно следить за регулярными тренировками.

Дети не устают на занятиях за счет постоянной смены видов деятельности

Основной вид деятельности на ментальной арифметике - счет на абакусе. Дети считают разными способами: на слух, в рабочих тетрадях, у школьной доски на демонстрационном абакусе, используя электронный тренажер «Веселый соробан», на ментальной карте (это графическое изображение абакуса, с помощью которого дети представляют, как передвигают косточки на счетах).

опубликовано 20.04.2012
Посвящается Елене Петровне Каринской ,
моему школьному преподавателю математики и классному руководителю
Алма-Ата, РОФМШ , 1984–1987 год
«Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой» . Карл Генрих Маркс
эти слова были начертаны над доской в нашем кабинете математики;-)
Уроки информатики (лекционные материалы и практикумы)

Что такое умножение?
Это действие сложения.
Но не слишком-то приятное,
Потому что мно-го-крат-ное…
Тим Собакин

Попытаемся сделать это действие
приятным и увлекательным;-)

СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ БЕЗ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ (гимнастика для ума)

Предлагаю читателям зелёных страничек два способа умножения, в которых не используется таблица умножения;-) Надеюсь, что этот материал придётся по душе преподавателям информатики, который они могут использовать при проведении факультативных занятий.

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности:-)

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число ? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением (рисунки: 2, 3).
Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем, а затем суммируем не зачёркнутые числа правого столбца.

Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252
Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:
5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Ясно, что числа 48 , 12 , утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно;-)

§ Логическая задачка о Змее Горыныче и прославленных русских богатырях на зелёной страничке «Кто из богатырей победил Змея Горыныча?»
решение логических задач средствами алгебры логики
Для тех, кто любит учиться! Для тех, кому в радость гимнастика для ума ;-)
§ Решение логических задач табличным способом

Продолжаем разговор:-)

Китайский??? Рисовательный способ умножения

С этим способом умножения меня познакомил сын, предоставив в моё распоряжение несколько листочков из блокнота с готовыми решениями в виде замысловатых рисунков. Закипел процесс расшифровки алгоритма рисовательного способа умножения:-) Для наглядности решила прибегнуть к помощи цветных карандашей, и… лёд тронулся господа присяжные:-)
Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик ).

Пример №1 : 12 × 321 = 3852
Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёненькая палочка (1 ); две оранжевых палочки (2 ). 12 нарисовали:-)
Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубеньких палочки (3 ); две красненькие (2 ); одну сиреневенькую (1 ). 321 нарисовали:-)

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точечки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точечек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и… вуаля, получили 3852 :-)

Пример №2 : 24 × 34 = 816
В этом примере есть нюансы;-) При подсчёте точечек в первой части получилось 16 . Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части (20 + 1 )…

Пример №3 : 215 × 741 = 159315
Без комментариев:-)

На первых порах показался мне несколько вычурным, но при этом интригующим и удивительно гармоничным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение идёт в лёт:-) и работает в режиме автопилота : рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем:-)))

Если честно, то осуществляя проверку рисовательного способа умножения и обратившись к умножению столбиком, и не раз, и не два к своему стыду отметила некоторые притормаживания, свидетельствовавшие о том, что таблица умножения у меня проржавела в некоторых местах:-(и забывать её таки не стоит. При работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

Таблица умножения (эскиз тыльной стороны блокнота)

P.S. : Слава и хвала родному советскому столбику!
В плане построения способ непритязательный и компактный, очень даже скоростной, память тренирует – таблицу умножения забывать не дозволяет:-) И посему, настоятельно рекомендую и себе и Вам по возможности забывать про калькуляторы в телефонах и на компьютерах;-) и периодически баловать себя умножением столбиком. А то не ровен час и сюжет из фильма «Восстание машин» развернётся не на экране кинотеатра, а на нашей с Вами кухне или лужайке рядом с домом…
Три раза через левое плечо…, стучим по дереву… :-))) …и главное не забываем про гимнастику для ума!

Для любознательных : Умножение обозначается знаком [ × ] или [ · ]
Знак [ × ] ввёл английский математик Уильям Оутред в 1631 году.
Знак [ · ] ввёл немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1698 году.
В буквенном обозначении эти знаки упускаются и вместо a × b или a · b пишут ab .

В копилочку веб-мастера : Некоторые математические символы на HTML

°	° или °	градус
±	± или ±	плюс-минус
¼	¼ или ¼	дробь – одна четверть
½	½ или ½	дробь – одна вторая
¾	¾ или ¾	дробь – три четверти
×	× или ×	знак умножения
÷	÷ или ÷	знак деления
ƒ	ƒ или ƒ	знак функции
′	′ или ′	одиночный штрих – минуты и футы
″	″ или ″	двойной штрих – секунды и дюймы
≈	≈ или ≈	знак примерного равенства
≠	≠ или ≠	знак не равно
≡	≡ или ≡	тождественно
>	> или >	больше
<	< или	меньше
≥	≥ или ≥	больше или равно
≤	≤ или ≤	меньше или равно
∑	∑ или ∑	знак суммирования
√	√ или √	квадратный корень (радикал)
∞	∞ или ∞	бесконечность
Ø	Ø или Ø	диаметр
∠	∠ или ∠	угол
⊥	⊥ или ⊥	перпендикулярно