Те элементы электрической цепи, для которых зависимость тока от напряжения I(U) или напряжения от тока U(I), а также сопротивление R, постоянны, называются линейными элементами электрической цепи. Соответственно и цепь, состоящая из таких элементов, именуется линейной электрической цепью.
Для линейных элементов характерна линейная симметричная вольт-амперная характеристика (ВАХ), выглядящая как прямая линия, проходящая через начало координат под определенным углом к координатным осям. Это свидетельствует о том, что для линейных элементов и для линейных электрических цепей строго выполняется.
Кроме того речь может идти не только об элементах, обладающих чисто активными сопротивлениями R, но и о линейных индуктивностях L и емкостях C, где постоянными будут зависимость магнитного потока от тока - Ф(I) и зависимость заряда конденсатора от напряжения между его обкладками - q(U).
Яркий пример линейного элемента - . Ток через такой резистор в определенном диапазоне рабочих напряжений линейно зависит от величины сопротивления и от приложенного к резистору напряжения.
Нелинейные элементы
Если же для элемента электрической цепи зависимость тока от напряжения или напряжения от тока, а также сопротивление R, непостоянны, то есть изменяются в зависимости от тока или от приложенного напряжения, то такие элементы называются нелинейными, и соответственно электрическая цепь, содержащая минимум один нелинейный элемент, окажется .
Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента уже не является прямой линией на графике, она непрямолинейна и часто несимметрична, как например у полупроводникового диода. Для нелинейных элементов электрической цепи закон Ома не выполняется.
В данном контексте речь может идти не только о лампе накаливания или о полупроводниковом приборе, но и о нелинейных индуктивностях и емкостях, у которых магнитный поток Ф и заряд q нелинейно связаны с током катушки или с напряжением между обкладками конденсатора. Поэтому для них вебер-амперные характеристики и кулон-вольтные характеристики будут нелинейными, они задаются таблицами, графиками или аналитическими функциями.
Пример нелинейного элемента - лампа накаливания. С ростом тока через нить накаливания лампы, ее температура увеличивается и сопротивление возрастает, а значит оно непостоянно, и следовательно данный элемент электрической цепи нелинеен.
Для нелинейных элементов свойственно определенное статическое сопротивление в каждой точке их ВАХ, то есть каждому отношению напряжения к току, в каждой точке на графике, - ставится в соответствие определенное значение сопротивления. Оно может быть посчитано как тангенс угла альфа наклона графика к горизонтальной оси I, как если бы эта точка лежала на линейном графике.
Еще у нелинейных элементов есть так называемое дифференциальное сопротивление, которое выражается как отношение бесконечно малого приращения напряжения - к соответствующему изменению тока. Данное сопротивление можно посчитать как тангенс угла между касательной к ВАХ в данной точке и горизонтальной осью.
Такой подход делает возможным простейший анализ и расчет простых нелинейных цепей.
На рисунке выше показана ВАХ типичного . Она располагается в первом и в третьем квадрантах координатной плоскости, это говорит нам о том, что при положительном или отрицательном приложенном к p-n-переходу диода напряжении (в том или ином направлении) будет иметь место прямое либо обратное смещение p-n-перехода диода. С ростом напряжения на диоде в любом из направлений ток сначала слабо увеличивается, а после резко возрастает. По этой причине диод относится к неуправляемым нелинейным двухполюсникам.
На этом рисунке показано семейство типичных ВАХ в разных условиях освещенности. Основной режимом работы фотодиода - режим обратного смещения, когда при постоянном световом потоке Ф ток практически неизменен в довольно широком диапазоне рабочих напряжений. В данных условиях модуляция освещающего фотодиод светового потока, приведет к одновременной модуляции тока через фотодиод. Таким образом, фотодиод - это управляемый нелинейный двухполюсник.
Это ВАХ , здесь видна ее явная зависимость от величины тока управляющего электрода. В первом квадранте - рабочий участок тиристора. В третьем квадранте начало ВАХ - малый ток и большое приложенное напряжение (в запертом состоянии сопротивление тиристора очень велико). В первом квадранте ток велик, падение напряжения мало - тиристор в данный момент открыт.
Момент перехода из закрытого - в открытое состояние наступает тогда, когда на управляющий электрод подан определенный ток. Переключение из открытого состояния - в закрытое происходит при снижении тока через тиристор. Таким образом, тиристор - это управляемый нелинейный трехполюсник (как и транзистор, у которого ток коллектора зависит от тока базы).
Если зависимость U (I ) или I (U линейна и его сопротивление R постоянно ( R =с onst ) , то такой элемент называют линейным (ЛЭ) , а электрическую цепь, состоящую только из линейных элементов − линейной электрической цепью .
ВАХ линейного элемента симметрична и представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 16, кривая 1). Таким образом, в линейных электрических цепях выполняется закон Ома.
Если зависимость U (I ) или I (U ) какого-либо элемента электрической цепи не линейна, а его сопротивление зависит от тока в нем или напряжения на его выводах ( R ≠с onst ) , то такой элемент называют не линейным (НЭ) , а электрическую цепь при наличии хотя бы одного нелинейного элемента − нелинейной электрической цепью .
ВАХ нелинейных элементов непрямолинейны , и иногда могут быть несимметричны, например, у полупроводниковых приборов (рис. 16, кривые 2, 3, 4). Таким образом, в нелинейных электрических цепях зависимость между током и напряжением не подчиняется закону Ома.
Рис. 16. ВАХ линейного и нелинейных элементов:
кривая 1 – ВАХ ЛЭ (резистора); кривая 2 – ВАХ НЭ (лампы накаливания с металлической нитью); кривая 3 – ВАХ НЭ (лампы накаливания с угольной нитью;
кривая 4 – ВАХ НЭ (полупроводникового диода)
Примером линейного элемента является резистор.
Примерами нелинейных элементов служат: лампы накаливания, терморезисторы, полупроводниковые диоды, транзисторы, газоразрядные лампы и т.д. Условное обозначение НЭ приведено на рис. 17.
Например, с увеличением тока, протекающего по металлической нити накаливания электрической лампы, увеличивается ее нагрев, а следовательно, возрастает ее сопротивление. Таким образом, сопротивление лампы накаливания непостоянно.
Рассмотрим следующий пример. Приведены таблицы со значениями сопротивлений элементов при различных значениях тока и напряжения. Какая из таблиц соответствует линейному, какая нелинейному элементу?
Таблица 3
|
R , Ом |
Таблица 4
|
R , Ом |
Ответьте на вопрос, на каком из графиков изображен закон Ома? Какому элементу соответствует этот график?
1 2 3 4
А что можно сказать о графиках 1,2 и 4? Какие элементы характеризуют эти графики?
Нелинейный элемент в любой точке ВАХ характеризуется статическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения к току, соответствующих этой точке (рис. 18). Например, для точки а :
.
Кроме статического сопротивления нелинейный элемент характеризуется дифференциальным сопротивлением, под которым понимается отношение бесконечно малого или весьма малого приращения напряжения ∆U к соответствующему приращению ∆I (рис. 18). Например, для точки а ВАХ можно записать
где β – угол наклона касательной, проведенной через точку а .
Данные формулы составляют основу аналитического метода расчета простейших нелинейных цепей.
Рассмотрим примеры. Если статическое сопротивление нелинейного элемента при напряжении U 1 =20 В равно 5 Ом, то сила тока I 1 составит…
Статическое сопротивление нелинейного элемента при токе 2 А составит…
Вывод по третьему вопросу: различают линейные и нелинейные элементы электрической цепи. В нелинейных элементах не выполняется закон Ома. Нелинейные элементы характеризуются в каждой точке ВАХ статическим и дифференцированным сопротивлением. К нелинейным элементам относятся все полупроводниковые приборы, газоразрядные лампы и лампы накаливания.
Вопрос № 4. Графический метод расчета нелинейных
электрических цепей (15 мин.)
Для расчета нелинейных электрических цепей применяются графический и аналитический методы расчета. Графический метод более простой и его мы и рассмотрим более подробно.
Пусть источник ЭДС Е с внутренним сопротивлением r 0 питает два последовательно соединенных нелинейных элемента или сопротивления НС1 и НС2 . Известны Е , r 0 , ВАХ 1 НС1 и ВАХ 2 НС2. Требуется определить ток в цепи I н
Сначала строим ВАХ линейного элемента r 0 . Это прямая, проходящая через начало координат. Напряжение U, падающее на сопротивления контура, определяется выражением
Чтобы построить зависимость U = f ( I ) , необходимо сложить графически ВАХ 0, 1 и 2 , суммируя ординаты, соответствующие одной абсциссе, затем другой и т.д. Получаем кривую 3 , представляющую собой ВАХ всей цепи. Использую эту ВАХ, находим ток в цепи I н , соответствующее напряжению U = E . Затем, используя найденное значение тока, по ВАХ 0, 1 и 2 находим искомые напряжение U 0 , U 1 , U 2 (рис. 19).
Пусть источник ЭДС Е с внутренним сопротивлением r 0 питает два параллельно соединенных нелинейных элемента или сопротивления НС1 и НС2 , ВАХ которых известны. Требуется определить ток в ветвях цепи I 1 и I 2 , падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника и на нелинейных элементах.
Строим ВАХ I н = f ( U ab ) . Для этого складываем графически ВАХ 1 и 2 , суммируя абсциссы, соответствующие одной ординате, затем другой ординате и т.д. Строим ВАХ всей цепи (кривая 0,1,2 ). Для этого складываем графически ВАХ 0 и 1,2 , суммируя ординаты, соответствующие определенным абсциссам.
Использую эту ВАХ, находим ток в цепи I н , соответствующий напряжению U = E .
Использую ВАХ 1,2 , определяем напряжение U ab , соответствующее найденному току I н , и внутреннее падение напряжения U 0 , соответствующее этому току. Затем, используя ВАХ 1 и 2 находим искомые токи I 1 , I 2 , соответствующие найденному напряжению U ab (рис. 20).
Рассмотрим следующие примеры.
При последовательном соединении нелинейных сопротивлений с характеристиками R 1 и R 2 , если характеристика эквивалентного сопротивления R Э …
пройдет ниже характеристики R 1
пройдет выше характеристики R 1
пройдет, соответствуя характеристике R 1
пройдет ниже характеристики R 2
При последовательном соединении линейного и нелинейного сопротивлений с характеристиками а и б характеристика эквивалентного сопротивления…
пройдет ниже характеристики а
пройдет выше характеристики а
пройдет, соответствуя характеристике а
пройдет ниже характеристики б
Вывод по четвертому вопросу: нелинейные электрические цепи постоянного тока составляют основу электронных цепей. Существует два метода их расчете: аналитический и графический. Графический метод расчета позволяет более просто определить все необходимые параметры нелинейной цепи.
Электрической цепью называется совокупность элементов, образующих пути для прохождения . Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов.
Активными элементами считаются источники электрической энергии (источники напряжения и тока), к пассивным элементам относятся , .
Количественные характеристики элементов электрической цепи называются ее параметрами . Например, параметрами источника постоянного напряжения являются его ЭДС и . Параметром резистора служит его сопротивление катушки - ее индуктивность L и конденсатора - емкость С.
Напряжение или ток, подводимые к цепи, будем называть воздействующим или входным сигналом . Воздействующие сигналы можно рассматривать как различные функции времени, изменяющиеся по некоторому закону z(t) . Например, z(t) может быть постоянной величиной, изменяться во времени по периодическому закону или иметь апериодический характер.
Напряжения и токи, возникающие под влиянием внешнего воздействия в интересующей нас части электрической цепи и также являющиеся функциями времени х(t) , будем называть реакцией (откликом) цепи или выходным сигналом .
Любой пассивный элемент реальной электрической цепи в той или иной степени обладает активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Однако, чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи и ее расчет, реальная цепь заменяется идеализированной, состоящей из отдельных пространственно разделенных элементов R, L, С.
При этом считается, что проводники, соединяющие элементы цепи, не обладают активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Такая идеализированная цепь называется цепью с
сосредоточенными параметрами
, и основанные на ней расчеты дают во многих случаях хорошо подтверждаемые опытом результаты.
Э лектрические цепи с постоянными параметрами - это такие такие цепи, в которых сопротивления резисторов R, индуктивность катушек L и емкость конденсаторов С являются постоянными, не зависящими от действующи в цепи токов и напряжений. Такие элементы называются линейными .
Если сопротивление резистора R не зависит от тока, то линейная зависимость между падением напряжения и током выражается ur = R х i r , а вольт-амперная характеристика резистора (представляет собой прямую линию (рис. 1,а).
Если индуктивность катушки не зависит от величины (протекающего в ней тока, то потокосцепление самоиндукции катушки ψ прямо пропорционально этому току ψ = L х i l (рис. 1,б).
Наконец, если емкость конденсатора С не зависит от приложенного к обкладкам напряжения uc то заряд q, накопленный на пластинах, и напряжение u c связаны между собой линейной зависимостью графически показанной на рис. 1,в
.
Рис. 1. Характеристики линейных элементов электрической цепи: а - вольт-амперная характеристика резистора, б - зависимость потокосцепления от тока в катушке, в - зависимость заряда конденсатора от напряжения на нем.
Линейность сопротивления, индуктивности и емкости носит условный характер, так как в действительности все реальные элементы электрической цепи являются нелинейными. Так, при прохождении тока через резистор последний .
Чрезмерное увеличение тока в катушке с ферромагнитным сердечником может несколько изменит ее индуктивность. В той или иной степени изменяется емкость конденсаторов с различными диэлектриками в зависимости от приложенного напряжения.
Однако в нормальном рабочем режиме элементов эти изменения обычно столь незначительны, что при расчетах могут не приниматься во внимание и такие элементы электрической цепи считаются линейными.
Транзисторы, работающие в режимах, когда используются прямолинейные участки их вольт-амперных характеристик, также условно могут рассматриваться как линейные устройства .
Электрическая цепь, состоящая из линейных элементов, называется линейной электрической цепью . Линейные цепи характеризуются линейными уравнениями для токов и напряжений и заменяются линейными схемами замещения. Линейные схемы замещения составляются из линейных пассивных и активных элементов, вольтамперные характеристики которых линейны. Для анализа процессов в линейных электрических цепях используются .
Введение
Электрическая цепь – это совокупность соединён-ных друг с другом источников энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток.
Изображение электрической цепи называется схемой замещения электрической цепи или просто электрической схемой .
Рассмотрим характерные участки цепи:
- Ветвь – участок электрической цепи, в котором ток имеет одно и то же значение. Элементы ветви соединены между собой последовательно;
- Узел – место соединения трёх или более ветвей;
Место соединения ветвей обозначается точкой (обязательно – если ветви пересекаются).
- Контур – любой замкнутый путь в цепи.
Например, в схеме на рисунке 1.1, пять ветвей, три узла, шесть контуров. Убедитесь в этом самостоятельно, проверьте себя.
Соединение сопротивлений
Во многих случаях расчёт электрической цепи можно упростить, путём преобразования её из сложного вида в более простой. При этом уменьшается число узлов, ветвей либо и то и другое.
Необходимое условие преобразования: токи и напряжения в остальных частях схемы, не подвергающих-ся преобразованию, не изменяются. Такое преобразование называется эквивалентным .
а) Последовательное соединение сопротивлений
Последовательное соединение – это такое, при ко-тором во всех элементах цепи течёт одинаковый ток. Элементы ветви соединены последовательно (рис. 1.6).
Такую ветвь можно заменить одним резистором с сопротивлением R экв, равным сумме сопротивлений всех резисторов.
R экв = = R 1 +R 2 +R 3 +…+R n
Эквивалентное сопротивление при таком соедине-нии всегда больше сопротивления любого из элементов. Если все сопротивления равны
R 1 = R 2 = R 3 =…= R, то R экв = nR
Для проводимостей G формула будет выглядеть так:
Напряжение на зажимах ab равно сумме напряжений на каждом элементе ветви.
б) Параллельное соединение сопротивлений
Параллельное соединение сопротивлений – это такое соединение, при котором ко всем элементам цепи приложено одинаковое напряжение.
Параллельно соединены элементы между двумя узлами (рисунок 1.7).
Ток I в неразветвлённой части равен сумме токов в каждом элементе.
I = I 1 = I 2 + I 3 +…+ I n
Эквивалентная проводимость в этом случае равна сумме проводимостей всех элементов:
G экв = = G 1 + G 2 + G 3 +…+ G n
Для сопротивлений R формула будет выглядеть так:
Как видите, формулы симметричны: при последова-тельном соединении складываются сопротивления, а при параллельном – проводимости.
Эквивалентное сопротивление при таком соедине-нии всегда меньше сопротивления любого из элементов.
Если все сопротивления равны R 1 = R 2 = R 3 =…= R, то
Ток в любой ветви пропорционален проводимости этой ветви.
в) Смешанное соединение сопротивлений
Смешанное соединение сопротивлений – это такое соединение, которое можно представить в виде параллельного и последовательного.
На первый взгляд кажется, что любую схему соединения элементов можно представить в виде смешанного соединения и найти эквивалентное сопротивление путём преобразования параллельных и последовательных участков. Однако бывают случаи, когда соединение элементов не является смешанным. Примером такого случая может служить распространённая в электронике мостовая схема
, показанная на рисунке 1.8.
Как найти сопротивление между точками a и d? После нескольких попыток упростить схему, легко убе-диться, что здесь нет участков ни с последовательным, ни с параллельным соединением. Для этого нужно приме-нить преобразование, описанное в следующем параграфе.
г) Преобразование «Звезда-треугольник»
Существует возможность эквивалентного преобра-зования треугольника сопротивлений, показанного на ри-сунке 1.9, в трёхлучевую звезду (рисунок 1.10).
При преобразовании одной схемы в другую, напря-жения и токи, как при любом эквивалентном преобразова-нии, не изменяются.
Формулы для преобразования из треугольника в звезду:
Формулы для преобразования из звезды в треугольник:
R ab = R a + R b + R a R b /R с
R ac = R a + R c + R a R c /R b
R bc = R c + R b + R c R b /R a
Если все сопротивления равны, то легко убедиться, что сопротивления в треугольнике в три раза больше, чем в звезде.
Теперь вернёмся к мостовой схеме на рисунке 8. Можно преобразовать в ней треугольник abc в звезду. Получим схему на рисунке 1.11.
В этой схеме сопротивления треугольника R 1 , R 2 , R 3 преобразованы в звезду R a , R b , R c .
Теперь не вызывает затруднения найти сопротивле-ние R ad . Для этого нужно найти последовательные соеди-нения Rb-R4 и Rc-R5, затем параллельное соединение двух получившихся и затем - последовательное соедине-ние с R a .
Также и в других подобных случаях преобразование «звезда-треугольник» может быть незаменимым.
Идеальный источник тока
Свойства идеального источника тока:
1) Внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно: r = ∞;
2) Ток через идеальный источник тока всегда равен J и не зависит от сопротивления нагрузки R;
4) Для идеального источника тока невозможен режим холостого хода (т. к. при r = ∞, U= Jr = ∞);
5) Идеальный источник тока невозможно преобразо-вать в идеальный источник ЭДС.
Идеальных источников тока и напряжения не существует, однако, во многих случаях, источник энергии можно считать идеальным. При r « R можно считать источник идеальным источником ЭДС, а при r » R – идеальным источником тока.
Соединение источников ЭДС
Несколько последовательно соединённых источников ЭДС можно заменить одним эквивалентным источником, как показано на рисунке 1.14.
Внутреннее сопротивление эквивалентного источ-ника R экв, как обычно при последовательном соединении, равно сумме внутренних сопротивлений всех источников.
R экв = R 1 + R 2 + R 3
Напряжение эквивалентного источника ЭДС равно алгебраической сумме источников. При совпадении направлений – знак «+», в противном случае – знак «-». В данном случае:
Е экв = Е 1 - Е 2 + Е 3
В случае идеальных источников ЭДС, очевидно, все сопротивления равны нулю и R экв = 0.
Параллельное соединение идеальных источников ЭДС невозможно по определению. В случае реальных ис-точников аналогично: несколько параллельно соединён-ных источников ЭДС можно заменить одним эквива-лентным источником, как показано на рисунке 1.15.
Внутреннее сопротивление эквивалентного источ-ника R экв, определяется как обычно при параллельном соединении. Эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей всех источников.
G экв = = G 1 + G 2 + G 3 , R экв = 1/ G экв
Эквивалентная ЭДС определяется по следующей формуле (в математике обычно используется термин «средневзвешенное значение»):
Глава 3 Законы Кирхгофа
Законы Кирхгофа являются фундаментальными в электротехнике и позволяют применять их в любой схеме – для постоянного или переменного тока. Законы эти непосредственно следуют из закона сохранения энергии.
Первый закон Кирхгофа (закон для узлов)
В узле электрической цепи арифметическая сумма токов равна нулю .
При этом втекающие токи считаются с одним знаком, а вытекающие – с другим.
Часто закон формулируется так: в узле сумма втекающих токов равна сумме вытекающих .
Например, - на рисунке 1.19:
I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0
(cчитаем положительным направление от узла)
I 1 + I 3 + I 4 = I 2
Напоминание – каждый ток может быть положи-тельным или отрицательным. Если все токи втекают, значит, какие-то из них отрицательны.
Интересно, что этот закон может быть применён не только для узла, как обычно принято, но и для плоскости и даже в пространстве.
Например, если схему пересечь линией, то сумма токов с одной стороны равна сумме токов с другой стороны. Таким же образом можно пересечь плоскостью 3-мерную схему – закон действует и тут.
Второй закон Кирхгофа (закон для контуров)
В контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.
Рассмотрим пример, поясняющий этот закон, для контура на рисунке 1.20.
Выберем произвольно направления токов.
Выбираем направление обхода контура, например, - по часовой стрелке.
Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, - то ЭДС записывается со знаком «+», если же противоположно – со знаком «-».
Аналогично: если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения IR берётся со знаком «плюс», если противоположно – со знаком «минус».
Таким образом, для данного примера:
Е 1 - Е 2 = I 1 R 1 + I 3 R 3 - I 4 R 4 - I 2 R 2
Законов Кирхгофа
Как было сказано, при помощи законов Кирхгофа можно рассчитать любую цепь, никаких ограничений на законы Кирхгофа нет, они действуют во всех случаях без исключения.
Рассмотрим пример (рисунок 1.21) – определить все токи в схеме при известных сопротивлениях и параметрах источников энергии. Схема достаточно сложна, чтобы рассчитывать её, к примеру, методом наложения.
Задача решается путём составления системы линей-ных уравнений по законам Кирхгофа и её решения.
Так как в схеме неизвестных семь токов, т. е. семь неизвестных (ток источника J задан), то необходимо составить семь уравнений. Причём, уравнения должны быть независимы, что известно из курса математики.
Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. В схеме пять узлов, следовательно, можно составить пять уравнений.
I 1 - I 2 - I 6 = 0
I 1 + I 3 + I 4 = 0
I 2 - I 3 + I 5 = 0
I 4 + I 7 + J = 0
I 5 - I 6 + I 7 + J = 0
Однако, одно из уравнений не является независи-мым и может быть получено линейной комбинацией других. Таким образом, по первому закону Кирхгофа можно составить четыре уравнения.
В общем случае: если число узлов равно q, то по первому закону Кирхгофа можно составить (q-1) уравнения.
В данном случае можно исключить любое уравне-ние по своему усмотрению. Например, последнее уравне-ние содержит 4 переменные и является более сложным.
Остальные три уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа.
Данная схема имеет 12 контуров (убедитесь в этом). Из составленных 12 уравнений только три будут незави-симыми. Какие уравнения выбрать? Следует использо-вать такие правила:
Для ветвей, содержащих источники тока, уравнения не составляются (таким образом, для составления уравнений осталось 7 контуров);
В независимые контура должны войти все ветви схемы;
В каждый новый контур (в каждое новое уравнение) должна войти хотя бы одна новая ветвь;
Первое время это кажется не совсем понятным, но на практике контура обычно выбираются в виде «ячеек», т. е. контуров, не содержащих внутри себя ветвей. На рисунке 21 они показаны числами 1, 2, 3.
Выбираем произвольно направления обхода каждого контура (в данном примере – все против часовой стрелки) и записываем уравнения.
Е 1 + Е 3 = I 1 R 1 + I 2 R 2 + I 3 R 3
Е 4 = -I 3 R 3 + I 4 R 4 - I 5 R 5 + I 7 R 7
Е 2 - Е 3 = - I 2 R 2 + I 5 R 5 + I 6 R 6
Таким образом, получаем систему из 7 уравнений:
При правильном составлении уравнений, в любом случае число независимых уравнений будет равно числу неизвестных токов, точнее: числу неизвестных величин, т. к., в принципе, в задании могут быть неизвестными другие величины – сопротивления или напряжения.
Метод двух узлов
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений. Как очевидно из названия, он используется в схемах, имеющих только два узла – тогда этот метод будет оптимальным. В этом случае составляется только одно уравнение. Для примера рассмотрим схему на рисунке 1.24.
Считаем нулевым потенциал узла 0. В данном случае никаких общих проводимостей нет, есть только собственная проводимость и узловой ток узла 1.
G 11 = G 1 + G 2 + G 3 + G 4
J 11 = - E 1 G 1 + J + E 2 G 4
Уравнение: U 1 G 11 = J 11
Затем определяем токи в ветвях. Подсчитайте для сравнения: сколько уравнений будет в системе при расчёте схемы методом контурных токов.
Двухполюсники
Двухполюсник – обобщённое название любой схемы, рассматриваемой относительно двух выводов (полюсов) (рисунок 1.25).
Если двухполюсник содержит внутри источники энергии, то он называется активным , если не содержит – пассивным .
Типичными активными двухполюсниками являются реальные источники ЭДС и тока.
Теорема об активном двухполюснике .
Активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником ЭДС (эквивалентным генератором), ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выходе двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (рисунок 26).
I кз = E/r = U хх /R вх
Входное сопротивление R вх – внутреннее сопротивление 2-полюсника между полюсами. При этом нужно учитывать внутренние сопротивления источников энергии.
Обычно в литературе используется термин «эквивалентный генератор », что не вполне точно, т. к. под генератором понимается только источник ЭДС, но не источник тока. Поэтому в данном пособии используется название «эквивалентный источник ».
Глава 1 Основные понятия переменного тока
Переменный ток – это ток, изменяющийся во вре-мени. Практически в технике используются периодиче-ские напряжения и токи.
Рассмотрим основные параметры периодических токов и напряжений, которые присущи всем периодиче-ским процессам.
- Мгновенное значение – значение напряжения u(t) и тока i(t) в данный момент времени;
- Период – наименьший промежуток времени T , по истечении которого функция тока или напряжения повторяет своё мгновенное значение;
- Частота – величина обратная периоду. В физике обычно обозначается буквой ν, в технике – буквой f;
Частота измеряется в Герцах – 1 Гц = 1/с = с -1
- Угловая частота (или циклическая частота ) ω – показывает какой угол (в радианах) проходится в секунду;
По аналогии с движением по окружности период составляет 360 0 или 2π радиан. Таким образом, ω показывает, какая часть периода проходится в секунду.
ω = 2πf = 2π/Т
ω измеряется в рад/с или с -1 (но не в Герцах!)
Перечисленные основополагающие величины хорошо известны из физики средней школы. Рассмотрим некоторые новые параметры, часто используемые в электротехнике.
- Среднее значение за период
(постоянная составляющая
) – определяется следующим образом: 
Пример показан на рисунке 2.1
Для периодической функции, симметричной относи-тельно оси времени, U 0 = 0.
- Действующее значение тока (напряжения) – численно равно значению постоянного тока (напряжения), которое в сопротивлении за период Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток (напряжение). Называется также среднеквадратичным значением и обозначается, как и постоянный ток – без индекса: U или I.
В ряде случаев не важны форма напряжения, период, частота и др. параметры, а важна лишь энергия или мощность, которая выделяется в нагрузке.
Действующее значение является одним из основных параметров переменного тока.
Наиболее распространённым видом переменного тока по многим причинам является синусоидальный ток .
Рассмотрим его параметры.
- Мгновенное значение :
u(t) = U m sin (ωt+ψ u)
i(t) = I m sin (ωt+ψ i)
- Амплитуда U m (I m)– максимальное значение;
ω – угловая частота ;
- Фаза (или полная фаза ): ψ(t) = ωt + ψ – угол в радианах, соответствующий моменту времени t;
- Начальная фаза - ψ u (ψ i) – угол в радианах в начальный момент времени при t = 0;
Синус и косинус – напоминаем – отличаются только начальной фазой, Синусоидальный ток с тем же успехом можно называть косинусоидальным.
- Действующее значение U (I);
Выведем формулу.
Найдём интеграл:
Второй интеграл равен нулю, так как косинус – чётная функция на периоде Т.
Таким образом:
Аналогично:
Часто студенты ошибаются, говоря, что действующее значение всегда в √2 раз меньше амплитудного. Запомните – это справедливо только для синусоидального тока !
- Средневыпрямленное значение U ср.
Среднее значение функции, симметричной относительно оси t, равно нулю. Поэтому для синусоидального тока используют параметр средневыпрямленное значение (среднее за полпериода).
Для синусоидального тока U ср = 2U m /π ≈ 0,637 U m
Векторов
Действия с синусоидальными величинами, очевид-но, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменно-го тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предполагают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.
Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.
Пусть имеется ток - i(t) = I m sin (ωt+ψ i)
Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)
Длина вектора равна амплитудному или действую-щеему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψ i . Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψ i > 0.
Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.
Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.
Аналогично: мгновенное значение i(t) - проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.
Таким же образом можно представить несколько токов или напряжений. Суммой их будет вектор, равный сумме векторов (рисунок 2.3).
Пусть имеются два тока:
i 1 (t) = I m1 sin (ωt+ψ 1)
i 2 (t) = I m2 sin (ωt+ψ 2)
Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)
i(t) = I m sin (ωt+ψ)
Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.
Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.
То же самое действует и в отношении напряжений. Также можно использовать амплитудные или действую-щие значения.
Комплексные числа.
Символический метод расчёта
Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.
Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:
Z = R+jX ,
Где j = √-1– «мнимая единица». j 2 = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.
Комплексное число может быть представлено векто-ром (или точкой) на комплексной плоскости, где по оси ординат откладывается действительная часть, а по оси абсцисс – мнимая часть (рисунок 2.4).
Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:
R – активное сопротивление;
X – реактивное сопротивление;
Существует также показательная форма записи комплексных чисел:
Z = Ze jφ
Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:
e jφ = cos φ + j sin φ
e -jφ = cos φ - j sin φ
Ещё одна форма записи – тригонометрическая:
Z = Z cos φ + j Z sin φ
Формулы перевода из одной формы в другую имеют вид:
φ = arctg X/R
R = Z cos φ
X = Z sin φ
|
Z = R + jX
Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:
İ = I e jψ i , Ú = U e jψ u
Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:
İ m = I m e jψ i , Ú m = U m e jψ u
Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения комплексного числа нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху. Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z .
Для операций сложения (вычитания) удобна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.
Активное сопротивление в цепи переменного тока
|
На рисунке 2.5 показана простейшая цепь с резисто-ром, подключённым к синусоидальному напряжению.
U R (t) = U m sin (ωt+ψ u) = i(t) R
i R (t) = U m /R sin (ωt+ψ u) = I m sin (ωt+ψ i)
I m =U m /R или, для действующих значений, I = U/R – закон Ома.
В комплексной форме закон Ома: Ú = İ Z
В данном случае - Z = R , Ú = İ R
Комплексное сопротивление в этой цепи является чисто действительным числом, мнимая часть сопротивле-ния равна нулю – Х = 0 и R называется активным сопротивлением .
Угол φ = ψ u -ψ i – называется сдвигом фаз между током и напряжением .
В цепи с активным сопротивлением R сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю:
φ = 0, ψ u = ψ i
Вектора тока и напряжения совпадают по направлению. Совпадают также формы тока и напряжения.
Глава 5 Резонанс
Резонанс напряжений
Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).
Полное сопротивление цепи:
Z = R+jX = R+j(X L -X C)
Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.
На рисунках показаны варианты при X L
Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром . В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром резонансом напряжений .
Условие резонанса: X L =X C => ωL=1/ωC
При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω 0:
Свойства схемы на частоте резонанса:
Полное сопротивление Z = R;
Ток в цепи максимальный I = I max =U/I;
Реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:
ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением ;
Напряжения на L и C равны: U L =U C = X L I = ρI
Общее напряжение цепи: U = U R = RI
Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ>R.
Величина Q = ρ/R = U L /U = U C /U называется добротностью колебательного контура. Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;
Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X L линейно возрастает, X С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω 0 .
Зависимость тока от частоты I = f (ω) - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максимален на частоте ω 0 .
На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ(ω). На частоте резонанса ω 0 сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω 0 цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω 0 – ёмкостной и φ > 0.
Резонанс токов
Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).
Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.
Полная проводимость цепи:
Y = G - jB = G - j(B L -B C)
Векторные диаграммы при B C < B L и B C > B L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.
Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром . Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).
Условие резонанса: B L = B C => 1/ωL=ωC
Формула для частоты резонанса аналогична:
Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:
Полное сопротивление Z = R,
проводимость: Y = G;
Ток в цепи минимальный I = I min = UG;
Реактивные сопротивления и проводимости равны:
Токи через L и C равны: I L =I C ;
Добротность контура: Q = ρ/R = Y/G;
Полная мощность равна активной мощности:
Как видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.
Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.
Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.
Список использованной литературы
1 Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротех-ники: Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1996
2 Ф. Е. Евдокимов. Теоретические основы электро-техники. - М.: Высшая школа, 1965
3 Касаткин А. С. Курс электротехники: Учеб. Для вузов. – М.: Высшая школа, 2007
Введение
Расчёт электрических цепей является одной из основных задач при изучении электротехники, а впослед-ствии – и электроники.
Наиболее простыми и распространёнными являются линейные цепи, то есть цепи с вольт-амперной характери-стикой в виде прямой.
Сначала изучается расчёт цепей постоянного тока, затем, более сложные цепи – переменного (синусо-идального) тока.
Под переменным током обычно понимают ток синусоидальной формы. В электроснабжении, в промышленных сетях это – основной вид тока, поэтому знание законов переменного тока и расчёта цепей переменного тока является необходимым для инженера.
Расчёт электрических цепей переменного тока более сложен, чем цепей постоянного тока. В этом случае, кроме активного сопротивления, появляются реактивные элементы: катушка индуктивности и конденсатор. В параметрах тока и напряжения, кроме амплитуды в расчётах необходимо учитывать также частоту и начальную фазу. Это значительно усложняет расчёты. В расчётах используются представление синусоидальных величин в виде векторов либо в виде комплексных чисел. Рекомендация студентам: иметь для расчётов инженер-ный калькулятор.
Раздел 1 Линейные цепи постоянного тока
Глава 1 Основные понятия и законы линейных электрических цепей постоянного тока
Для анализа и расчёта реальное электромагнитное устройство с происходящими в нём процессами заме-няется некоторым расчётным эквивалентом – электриче-ской цепью.
Фактически изучаются не реальные устройства, а их эквиваленты, которые, с определённой степенью точно-сти, являются отражением их реальных свойств.
Теоретические
Основы электротехники
Линейные электрические цепи постоянного тока
Методические указания к выполнению
расчётно – графической работы №1
для студентов специальности 140604“Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов”
(направление 140600 – ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА
и ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ)
Красноярск 2008
Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи постоянного тока. Методические указания к выполнению расчётно – графической работы № 1 для студентов специальности 140604 “Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов” (направление 140600 – ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА и ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ)
Рассмотрен анализ линейных электрических цепей методами контурных токов, узловых потенциалов и методом эквивалентного генератора. Приведены примеры расчётов.
Составитель В.В. Кибардин – к.т.н., доц. каф. ЭГМП
Методические указания утверждены на заседании кафедры ЭГМП.
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа оказывает помощь студентам, изучающим дисциплину «Теоретические основы электротехники», помогает усвоению раздела «Свойства и методы расчета линейных цепей с источниками постоянного напряжения и тока». Приведены теоретические сведения и примеры расчётов цепей постоянного тока.
Методические указания предназначены для студентов специальности 140604 всех форм обучения.
1. УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ТИПОВЫХ РАСЧЁТОВ
В соответствии с ГОСТ 1494-77 “Электротехника”, стандартом предприятия СТП-КИЦМ-4-82, правилами, принятыми в электротехнике, пояснительная записка пишется на одной стороне стандартных листов формата А4 (297*210). Она должна содержать: титульный лист по принятому образцу; задание с исходными данными; текстовый материал и таблицу соответствия переменных задания и машинных переменных; результаты решения; графический материал. Схемы и потенциальные диаграммы необходимо выполнять с применением чертёжных принадлежностей, изображая элементы схем в соответствии с ГОСТом.
2. РАСЧЁТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ЭДС И ТОКОВ
Основной задачей расчета электрических цепей является определение токов, напряжений и мощностей ветвей цепи по заданным их сопротивлениям R, проводимостям G и источникам электрической энергии E или J. Эти задачи имеют единственное решение, которое для линейных цепей может быть получено составлением и решением системы алгебраических уравнений с учётом законов Кирхгофа, Ома и Джоуля-Ленца. В общем случае имеем 2b линейно независимых уравнений, если цепь содержит b ветвей и q узлов. Иногда в рассматриваемой цепи имеется b ИТ ветвей, в которых содержатся идеализированные источники тока J , и b ИН ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения E , поэтому общее число неизвестных напряжений и токов уменьшается до
2b – b ИТ – b ИН.
На практике для анализа цепей применяют различные методы составления уравнений электрического равновесия, позволяющие уменьшить размерность исходной системы уравнений.
2.1. Анализ цепей по законам Кирхгофа
Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшить число одновременно решаемых уравнений до b.
Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю
где с положительным знаком учитываются токи, направленные от узла.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на ветвях любого контура равна нулю
или в любом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур
ΣRkIk = Ek , (3)
В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э.д.с. , положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
При составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выполнить эквивалентные преобразования, выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить q – 1 уравнение на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить
b – (q – 1) уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Получить независимые уравнения по первому и второму законам Кирхгофа, т.е. выбрать независимую систему сечений и контуров, можно при помощи дерева графа схемы, содержащего все узлы графа, но ни одного контура, и ветвей связи, дополняющих дерево до исходного графа.
Если граф содержит b ветвей и q узлов, то число ветвей дерева
d = q- 1 , а число ветвей связи k = b - (q-1). Для дерева образуется d главных сечений, каждое из которых состоит из ветвей связи и одной ветви дерева, и k главных контуров, каждый из которых состоит из ветвей дерева и только одной ветви связи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа для главных сечений и главных контуров, линейно независимы.
Следует помнить, что на графе электрической цепи ветви, содержащие идеальные источники тока, не показываются.
Например, для сложной электрической цепи (рис. 1) её граф представлен на рис. 2. Он содержит пять ветвей, следовательно необходимо записать пять уравнений: из них два на основании первого закона Кирхгофа (q – 1 = 3 – 1 = 2), остальные – на основании второго закона Кирхгофа.
Исходная система уравнений запишется в виде