Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Алгебраическое выражение - это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.

Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.

Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины. Так, например, выражение

a m +b n

при a =2, m =5, b =1, n =4 вычисляется: 2 · 5 + 1 · 4 = 14, а при a =3, m =4, b =5, n =1 вычисляется: 3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т.д.; выражение

a b с

при a =1, b =2, c =3, равно 6, а a =2, b =3, c =4, равно 24, и т.д.

Коэффициент

Произведение нескольких сомножителей a , b , c , d , пишется abcd . Если, кроме буквенных множителей, есть и численный (всё равно, целый или дробный), то он обычно ставится впереди и называется коэффициентом . Таким образом,

произведение величин a , b , c , d , 4 пишут так: 4abcd

произведение величин m , n , p пишут так: .

Числа 4 и - это коэффициенты. Очевидно, что 4abcd = abcd + abcd + abcd + abcd и точно также . Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.

Если при алгебраическом выражении нет коэффициента, то подразумевается, что он равен единице, так как a = 1 · a ; bc = 1 · bc и так далее.

Виды выражений

Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым , в противном случае дробным или алгебраической дробью .

На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.

Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.

Навигация по странице.

Одночлены и многочлены

Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.

Определение.

Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Определение.

Многочлены – это сумма одночленов.

Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.

Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.

На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .

Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .

Рациональные (алгебраические) дроби

В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .

Определение.

Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.

Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.

На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .

Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.

Рациональные выражения

Определение.

Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.

Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3 , . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.

Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Определение.

Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .

Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne , log 2 (4·a·b) , .

Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .

В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .

Дроби

В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.

Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.

Итак, дадим определение дроби.

Определение.

Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.

Данное определение позволяет привести примеры дробей.

Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4 , , (−15)/(−2) . В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.

Выражения общего вида

В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида , а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.

Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Алгебраические выражения составляются из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок.

Рассмотрим некоторые примеры алгебраических выражений:

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

(1/a + 1/b – c/3) 3 .

Существует несколько видов алгебраических выражений.

Целым называется такое алгебраическое выражение, которое не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в том числе, возведения в степень с дробным показателем).

2a 2 b – 3ab 2 (a + b) является целым алгебраическим выражением.

(1/a + 1/b – c/3) 3 не является целым алгебраическим выражением, т.к. содержит деление на переменную.

Дробным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления.

(1/a + 1/b – c/3) 3 является дробным алгебраическим выражением.

Рациональными алгебраическими выражениями называются целые и дробные выражения.

Значит, и 2a 2 b – 3ab 2 (a + b), и (1/a + 1/b – c/3) 3 – это рациональные алгебраические выражения.

Иррациональное алгебраическое выражение – это такое алгебраическое выражение, в котором используются извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень).

a 2/3 – b 2/3 – иррациональное алгебраическое выражение.

Иными словами, все алгебраические выражения делятся на две большие группы: рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Рациональные выражения, в свою очередь, делятся на целые и дробные.

Допустимым значением переменных называется такое значение переменных, при котором алгебраическое выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменной – это область определения алгебраического выражения.

Целые выражения имеют смысл при любых значениях его переменных. Например, 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) имеет смысл и при a = 0, b = 1, и при a = 3, b = 6 и др.

Предположим, что a = 0, b = 1, и попробуем найти решение выражения

2a 2 b – 3ab 2 (a + b).

Если a = 0, b = 1, то 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

Значит, при a = 0, b = 1 выражение равно 0.

Дробные выражения имеют смысл только в том случае, если значения не обращают переменные в нуль: вспомним наше «золотое правило» – на нуль делить нельзя.

Выражение (1/a + 1/b – c/3) 3 имеет смысл при a и b не равных нулю (а ≠ 0, b ≠ 0). В противном случае мы получим деление на нуль.

Иррациональное выражение не будет иметь смысл при значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень.

Выражение a 2/3 – b 2/3 имеет смысл при a ≥ 0 и b ≥ 0. В противном случае мы столкнемся с возведением в дробную степень отрицательного числа.

Значением алгебраического выражения называется числовое выражение, получившееся в результате того, что переменным придали допустимые значения.

Найдем значение алгебраического выражения

a + b + c/5 при a = 6, b = 3, c = 5.

1. Выражение a + b + c/5 является целым алгебраическим выражением → все значения являются допустимыми.

2. Подставим числовые значения переменных и получим:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

Итак, ответ: 10.

Тождеством называют равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Тождественно равными называются выражения, соответственные значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Так, выражения x 5 и x 2 ∙ x 3 , a + b + c и b + c + a являются тождественно равными между собой.

Понятие тождественно равных выражений приводит нас к еще одному важному понятию – тождественное преобразование выражений.

Тождественным преобразованием выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Это значит, выражение x 5 можно тождественно преобразовать в выражение x 2 ∙ x 3 .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим пример решения задачи.

Определение понятия

Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:

• 4а+5;
• 6b-8;
• 5с:6*(8+5).

Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .

Значение выражения

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.

Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).

Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1.

Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5. Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.

Тождественные выражения

Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными .
Пример тождественных выражений :
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

Пример тождественного преобразования .
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

• 4*5а=20а.
• 4*14с=64с.
• 20а+64с.

Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Решение задач

Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?

Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.

• (а+7)-5.
• ((а+7)-5)*2=28.

Теперь решим полученное уравнение.

Петя загадал число 12.

Что мы узнали?

Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 529.