Важно!

Функцию вида «y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители «k » и «b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо «k » и «b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо «k » и «b » стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b ».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2 k =

  2

  3

  b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0

  Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b ».

  Рассматривая функцию «y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента «b » в функции нет.

  Числовый коэффициент «b » присутствет в функции типа «y = kx + b » всегда. В функции «y = 0,5x » числовый коэффициент «b » равен нулю .

  Как построить график линейной функции
  «y = kx + b »

  Запомните!

  Графиком линейной функции «y = kx + b » является прямая .

  Так как графиком функции «y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией .

  Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

  Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
  «у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

  Для примера построим график функции «y = −2x + 1 ».

  Найдем значение функции «y » для двух произвольных значений «x ». Подставим, например, вместо «x » числа «0 » и «1 ».

  Важно!

  Выбирая произвольные числовые значения вместо «x », лучше брать числа «0 » и «1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

  Полученные значения «x » и «y » — это координаты точек графика функции.

  Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1 » в таблицу.

  Отметим полученные точки на системе координат.

  
  

  Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1 ».

  
  

  Как решать задачи на
  линейную функцию «y = kx + b »

  Рассмотрим задачу.

  Построить график функции «y = 2x + 3 ». Найти по графику:

  1. значение «y » соответствующее значению «x » равному −1; 2; 3; 5 ;
  2. значение «x », если значение «y » равно 1; 4; 0; −1 .

  Вначале построим график функции «y = 2x + 3 ».

  Используем правила, по которым мы выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

  Выберем два произвольных числовых значения для «x ». Для удобства расчетов выберем числа «0 » и «1 ».

  Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

  Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

  

  Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3 ».

  

  Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3 ».

  Требуется найти значение «y », соответствующее значению «x »,
  которое равно −1; 2; 3; 5 .

  • Ox » к нулю (x = 0) ;
  • подставить вместо «x » в формулу функции ноль и найти значение «y »;
  • Oy » .

  Подставим вместо «x » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

  Y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

  
  (0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Oy ».

  Запомните!

  Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
  с осью «Ox » (осью абсцисс) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Oy » к нулю (y = 0) ;
  • подставить вместо «y » в формулу функции ноль и найти значение «x »;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy » .

  Подставим вместо «y » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

  0 = −1,5x + 3
  1,5x = 3 | :(1,5)
  x = 3: 1,5
  x = 2

  
  (2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Ox ».

  Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

  Важно!

  Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox » , то приравниваем «y » к нулю.

  И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy » , то приравниваем «x » к нулю.

Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.

• Прочитайте статью .
• Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.

Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.

Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:

В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:

Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.

• Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).

Урок алгебры в 7 классе по учебнику Мордковича Александра Григорьевича.

Линейная функция y=kx и ее график.

Цели:

Обобщить и углубить знания по теме «Линейная функция y = kx +m и ее график» Рассмотреть свойства графиков линейных функций y = kx с различными коэффициентами k .

Способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, обобщать.

Вызывать у обучающихся потребность в обосновании своих высказываний, воспитывать самоконтроль и взаимоконтроль.

Ход урока:

Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Вы уже изучили линейную функцию y =kx +m и научились строить графики этой функции, а сейчас, рассмотрите, пожалуйста, графики следующих функций и ответьте на вопросы:

СЛАЙД 2

На координатной плоскости построены графики линейных функций:

y =x ,

y =0,5x ;

y =-x ;

y =-4x

Будут ли эти функции линейными? Почему? Что общего в этих четырех рассмотренных функциях? Чем они отличаются от ранее изученных линейных функций?

СЛАЙД 3

Графики данных линейных функций.

СЛАЙД 4 (вопросы к слайду 3)

Ответы:

Графики данных линейных функций находятся либо в 1 и 3 четвертях, либо во 2 и 4 четвертях.

Какая связь между коэффициентом k и расположением графика на координатной плоскости?

СЛАЙД 5(ответы на вопросы к слайду 4)

Все графики данных линейных функций проходят через начало координат О(0;0)

СЛАЙД 6

Если коэффициент k <0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

СЛАЙД 7

Если коэффициент k >0, то линейная функция возрастает и расположена в первой и третьей четвертях.

СЛАЙД 8

А сейчас выполните следующие задачи в учебнике № 348(а, б), 355:

Задача № 348(а; б).
Постройте график линейной функции:
а) y =2x ,
б) y =-3x .
На одной координатной плоскости.
Что вы можете сказать про графики данных линейных функций?

(Они проходят через начало координат, линейная функция y=2x – возрастающая и расположена в 1 и 3 четвертях, а линейная функция y=-3x –убывающая и расположена во 2 и 4 четвертях).

СЛАЙД 9

Решение (нахождение координат точек данных линейных функций). Какое количество координат точек необходимо для построения графика заданных линейных функций? Почему? (Одну, потому что графики данных линейных проходят через начало координат, то есть точку с координатой (0;0), а она нам уже известна.)

СЛАЙД10

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график.

СЛАЙД11

График линейной функции y = -3x строим аналогичным образом

Что вы можете сказать про данную функцию? В каких четвертях будет находиться график данной линейной функции?

Если берем значение абсциссы положительное, то ордината получается отрицательная, и, наоборот, если, значение абсциссы отрицательная, то ордината получается положительная.

СЛАЙД12

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график данной линейной функции y=-3x.

СЛАЙД13

(Формулирование задачи № 355)

СЛАЙД14

(Вопросы, активирующие решение поставленной задачи).

СЛАЙД15

Нахождение координат точек для построения графика данной линейной функции y=0,4x .

СЛАЙД16

По графику данной линейной функции находим значение ординаты, соответствующее значению абсциссы, равному 0; 5; 10; -5.

Если x =0,то y =0

Если x =5, то y =2

Если x =10, то y =4

Если x =-5,то y =-2

СЛАЙД17

По графику данной линейной функции находим значение x , соответствующее значению y , равному 0; 2; 4; -2.

Если y =0, то x =0

Если y =2, то x =5

Если y =4,то x =10

Если y =-2, то x =-5

СЛАЙД18

Решение неравенства: 0,4x >0 . Что нам необходимо знать, чтобы решить это неравенство? Найти при каких значениях абсциссы (x) график данной линейной функции будет находиться выше оси ox.

СЛАЙД19

Теперь, с помощью графика данной линейной функции решим неравенство: -2≤y ≤0 .

Давайте подумаем, как решить данное неравенство?

1.Отметим на оси oy точки y =-2 и y =0.

2. Получим отрезок прямой, который лежит в пределах значений -2≤y ≤0:

Из ординаты равной -2 и ординаты равной 0 опустим перпендикуляр к графику данной линейной функции.

3. Из концов отрезка графика прямой, опустим перпендикуляры на ось ox.

4. Получили значения абсциссы, в пределах которых лежит график данной прямой: -5≤x ≤0. Этот промежуток и будет являться решением данного задания.

СЛАЙД 20

Домашнее задание – самостоятельное выполнение № 356.

Класс: 8

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Основные цели:

• сформировать представление о функции у = кх 2 , ее свойствах и графике;
• повторить и закрепить: сведения о функции у = х 2 , свойствах функции, известные по курсу 7 класса.

Демонстрационный материал:

1) алгоритм построения графика функции:

2) Правило определения расположения графика в зависимости от коэффициента к:

3) самостоятельная работа: На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

4) образец для самопроверки самостоятельной работы.

Раздаточный материал:

1) карточка:

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

2) карточка для рефлексии:

ХОД УРОКА

1. Мотивация к учебной деятельности

Цели:

• организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности;
• организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: продолжаем работать с функциями;
• создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте! Что интересного вы узнали на предыдущих уроках? (Мы изучали функцию у = | х |, график этой функции и ее свойства.)
– Сегодня вы продолжите знакомиться с новыми функциями.
– С каким настроением вы будете работать сегодня? (С хорошим настроением).
– Успехов Вам!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности

Цели:

• актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.
• зафиксировать актуализированные способы действий в речи и в знаках;
• организовать обобщение актуализированных способов действий;
• мотивировать к выполнению индивидуального задания;
• организовать самостоятельное выполнение индивидуального задания на новое знание;
• организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Проанализируйте несколько слайдов 2-5 и ответьте на вопрос:

– С каким графиком вы будете работать сегодня? (С параболой).

– Выберите, графиком какой функции является парабола у = х + 2, у = 2/х , у = х 2 ? (у = х 2 . Эту функцию мы изучали в 7-м классе).

– Назовите числовой коэффициент функции у = х 2 . (Он равен 1)

– В каких координатных четвертях лежит график функции у = х 2 , какова область определения и область значений этой функции, промежутки возрастания и убывания? (График функции у = х 2 лежит в 1 и 2 координатных четвертях или в верхней полуплоскости, область определения – вся числовая прямая, область значений – функция у = х 2 принимает неотрицательные значения; возрастает при х > 0, убывает при х< 0.)

– Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента.

– Сформулируйте тему урока. (Функция у = кх 2 , ее свойства и график).

1) На доске приготовлена таблица. Найдите соответствующие значения функций:

у = 2х 2
у = 4х 2
у = – 2х 2
у = – 4х 2

– Заполните таблицу. К доске вызываются последовательно 4 ученика.

2) График функции у = кх 2 проходит через точку А(2;8). Определите значение коэффициента. Запишите функцию. (к = 2, у = 2х 2 ).

3) По какому плану вы обычно строите графики функций? Слайд 7.

(Необходимо –
1. Заполнить таблицу значений
2. Построить точки на координатной плоскости
3. Соединить построенные точки плавной линией
4. Подписать название функции.)

– Что вы повторили?

– А теперь, используя всё, что вы только что повторили и узнали, предлагаю вам выполнить следующее задание:
Постройте графики функций у = 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод как расположен график в зависимости от коэффициента к.

Учащиеся работают на миллиметровой бумаге.

– У кого нет результата?
– Что вы не смогли сделать? (Я не смог__________________)
– Покажите результаты, кто выполнил построение.
– Как вы можете доказать, что правильно выполнили задание? (Я должен___________)
– Что вы будете использовать для доказательства? (____________.)
– Что вы не смогли сделать?
– Каким правилом вы пользовались при построении?
– Что вы не можете сделать?

3. Выявление причин затруднения

Цели:

• организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);
• на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых недостает для решения исходной задачи.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Какое задание вы должны были выполнить?
– Что вы использовали при выполнении задания?
– В каком месте возникло затруднение?
– В чём причина затруднения? (У нас нет способа определения как расположен график функции у = кх2 в зависимости от коэффициент к.)

4. Проблемное объяснение нового знания

Цели:

• организовать постановку цели урока;
• организовать уточнение и согласование темы урока;
• организовать подводящий или побуждающий диалог по проблемному введению нового знания;
• организовать использование предметных действий с моделями, схемами, свойствами и пр.;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках;
• соотнесение нового знания с правилом в учебнике, справочнике, словаре и т.д.
• организовать фиксацию преодоления затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 4:

– Сформулируйте цель своей деятельности. (Найти способ определения как расположен график функции у = кх 2 в зависимости от коэффициента к.)

– Уточните тему урока. (Функция у = кх 2 ,ее свойства и график). Слайд 6.

– А сейчас вы будете работать в группах: Слайд 8.

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

Каждой группе даётся карточка. (При возникновении затруднений учащиеся могут воспользоваться учебником или справочником.)

– Представьте свой вариант алгоритма.

Каждая из групп представляет свой вариант, остальные дополняют, уточняют. После согласования на доску вывешивается правило:

Учитель добавляет:

– Каждую из построенных вами линий называют параболой. При этом точку (0;0) называют вершиной параболы, а ось у – осью симметрии параболы.
От величины коэффициента к зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх (вниз), «степень крутизны» параболы.
– Что вы сейчас открыли?
– Что теперь вы должны сделать?

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель: организовать усвоение детьми нового способа действий с их проговариванием во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

– В каких координатных четвертях расположены графики функций у = 1/5х 2 , у = х 2 /2, у = – х 2 /2, у = 3х 2 ?

Задание выполняется в парах, одна пара работает у доски.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

Цели:

• организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;
• по результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок;
• по результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Для самостоятельной работы предлагается задание на карточке. Слайд 9.

На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

После выполнения работы учащиеся проверяют её по образцу: Слайд 10.

– Какие правила вы использовали при выполнении задания?
– У кого возникло затруднение – как определить знак коэффициента к?
– У кого возникло затруднение при определении значения коэффициента к?
– Кто задание выполнил правильно?

7. Включение в систему знаний и повторение

Цели:

• тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным материалом;
• повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках:

Организация учебного процесса на этапе 7:

Задание из ГИА-9 выполняется у доски. Слайды 11-16.

– Определите термин, который повторялся много раз сегодня на уроке.(график)

1. Графиком какой из данных функций является парабола, расположенная в нижней полуплоскости?

3. Найти область значений функции у = – 5х2

а) у = –15х 2 б) у = – 9х 2 в) у = – х 2 г) у = – 5х 2

ц э ф ж

5. Укажите промежутки возрастания функции у = – 5х 2

а) при х > 0 б) при х < 0 в) при х < 0 г) при х > 0

ч о и т

6. Укажите наименьшее значение функции у = – 5х 2

а) 0 б) не существует в) – 5 г) 5

ы к д в.

Задачи по физике: Слайд 17.

Путь, пройденный телом за первые t секунд свободного падения, вычисляется по формуле: H = gt 2 /2, где g = 9,8 м/c 2 . Найдите по графику зависимости H от t :

А) расстояние, которое пролетит падающий камень за первые 6 секунд;
Б) время, за которое камень пролетит первые 250 м?

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цели:

• организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
• организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
• организовать вербальную фиксацию шагов по достижению цели;
• по результатам анализа работы на уроке организовать фиксацию направлений будущей деятельности;
• организовать проведение самооценки учениками работы на уроке;
• организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Чему вы сегодня учились?
– Что нового вы узнали на уроке?
– Какие цели ставили перед собой?
– Вы достигли поставленных целей?
– Что вам помогало справиться с затруднениями?
– Проанализируйте свою работу на уроке.

Учащиеся работают с карточками рефлексии (Р).

Домашнее задание: Слайд 18.

• п. П.17 учебника читать
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Список литературы:

1. А.Г.Мордкович . Алгебра,8 класс.В двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.2011.
2. Интернет-ресурсы.