В отличие от рассмотренных ранее круглых стержней, кручение стержней некруглой поперечной формы обладает особенностями. Основная из них – депланация . Это явление того, что сечения перестают быть плоскими, депланируют. Формулы, основанные на гипотезе плоских сечений, теряют силу. Возникают нормальные напряжения.
Различают свободное и стеснённое кручение. Свободным называют такое кручение, при котором депланация постоянна по длине стержня и её можно характеризовать величиной перемещения в осевом направлении. Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стеснённым кручением . В этом случае возникает особый вид внутреннего усилия – бимомент, влияющий на распределение нормальных и касательных напряжений по сечению.
Рис. 11.1. Стержни с некруглым поперечным сечением: а) толстостенные; б) тонкостенные замкнутого и открытого профиля
Толстостенными называют стержни, имеющие размеры различных элементов сечения соизмеримые с размерами самого сечения. Деформация толстостенных стержней имеет сложный характер, задачи о кручении таких стержней решаются аналитически или численно методами теории упругости.
Тонкостенными называют стержни, у которых длина контура поперечного сечения намного больше толщины сечения.
Расчёт тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля на стеснённое кручение изучается в теории тонкостенных стержней, разработанной проф. В.З. Власовым.
Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном.
При кручении прямоугольного поперечного сечения наибольшее напряжение возникает посредине длинной стороны контура (рис. 11.2). Для его вычисления используют формулу (11.1).
Здесь W t =αhb 2 - момент сопротивления при кручении, α – коэффициент Сен-Венана, h и b размеры прямоугольного сечения (рис. 11.2).
Угол закручивания грузового участка длиной l c постоянным внутренним усилием находится по формуле (11.2)
Здесь I t =βhb 3 - момент инерции при кручении, β – коэффициент Сен-Венана.
Эп. τ[МПа]
Рис. 11.2. Эпюра касательных напряжений
Коэффициенты Сен-Венана α, β, γ определяются с помощью таблицы 11.1 в зависимости от отношения h/b .
Таблица 11.1
| h/b | ||||||||
| α | 0,208 | 0,246 | 0,267 | 0,282 | 0,299 | 0,307 | 0,313 | 0,333 |
| β | 0,140 | 0,229 | 0,263 | 0,281 | 0,299 | 0,307 | 0,312 | 0,333 |
| γ | 1,000 | 0,795 | 0,753 | 0,745 | 0,743 | 0,742 | 0,742 | 0,742 |
Расчёт различных некруглых поперечных сечений на прочность и жёсткость выполняется аналогично изложенному в предыдущей лекции. С помощью условий прочности и жёсткости решаются задачи с целью подбора размеров поперечного сечения, определения допустимой нагрузки и проверки выполнения условий. В зависимости от профиля поперечного сечения по разному определяются геометрические характеристики поперечного сечения, фигурирующие в формулах для вычисления напряжений и перемещений. (Посмотреть эти формулы самостоятельно по учебнику).
Решение статически неопределимых задач при кручении . Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми , если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью только одних уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня. Алгоритм решения аналогичен изложенному в теме осевое растяжение–сжатие.
В случае постоянной жёсткости стержня удобно применять для решения статически неопределимых задач метод начальных параметров (ознакомиться с этим методом самостоятельно).
Задачи могут быть несколько раз статически неопределимыми. Рассмотрим один раз статически неопределимые задачи.
Рис. 11.3. Статически неопределимые стержни при кручении
а) Раскрытие статической неопределимости
∑ m X = 0; М А - М + М В n st
Перемещение (угол закручивания) точки В (жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков φ В = φ I + φ II = 0 (2).
М t =const можно представить в виде: (3). Подставим (3) в (2): . (4)
Запишем уравнения крутящих моментов на грузовых участках, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию М В : М t ,I = М В - const, М t ,II = М В - М – const. При равенстве жесткостей на грузовых участках уравнение (4) примет вид:
М В
б) Раскрытие статической неопределимости
1. Рассмотрим статическую сторону задачи
Составим уравнение равновесия:
∑ m X = 0; М А + ml – М В = 0 (1), найдем степень статической неопределимости как разницу между неизвестными опорными реакциями и количеством уравнений статики n st = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая и для раскрытия статической неопределимости требуется еще одно уравнение.
2. Рассмотрим геометрическую сторону задачи
Перемещение (угол закручивания) точки В (жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков φ В = φ I = 0 (2).
3. Рассмотрим физическую сторону задачи
Угол закручивания на грузовом участке длиной, где М t описывается линейным уравнением можно представить в виде:
(3). Подставим (3) в (2): . (4)
Запишем уравнение крутящих моментов на грузовом участке, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию М В : М t , I = - М В + mx , подставим уравнение внутреннего усилия в (4):
Решим полученное уравнение относительно одного неизвестного М В . Далее задача решается как статически определимая.
Расчёт стержней при кручении по предельному состоянию. Рассмотрим распределение касательных напряжений в поперечном сечении круглого стержня, выполненного из упругопластического материала, подчиняющегося идеализированной диаграмме Прандтля (рис. 11.4).
Рис. 11.4. Диаграмма Прандтля
τ max < τ s τ max = τ s . τ s τ s
M t = τ s W ρ Упругое ядро Пластический шарнир
(M t , lim )
Рис. 11.5. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении
При углах сдвига γ ≤ γ s материал подчиняется закону Гука, т.е. τ = G γ, при γ = γ s касательное напряжение достигает предела текучести τ s , при γ > γ s материал «течёт» при постоянном напряжении τ = τ s . На этом заканчивается чисто упругая стадия работы (рис. 11.5 б) и момент достигает опасного значения. При дальнейшем увеличении крутящего момента эпюра напряжений приобретает вид, приведённый на рис. 11. 5 в. При увеличении крутящего момента упругое ядро уменьшается, и текучесть материала происходит по всему сечению, наступает состояние предельного равновесия, соответствующее максимуму несущей способности стержня. Для сплошного круглого сечения в случае, представленном на рис. 11. 5 г грузоподъёмность стержня повышается на 33% по сравнению с грузоподъёмностью, вычисленной для ситуации приведённой на рис. 11. 5 г.
При расчете на кручение прямых брусьев, жестко защемленных одним концом, а также при расчете валов (представляющих собой вращающиеся брусья, нагруженные взаимно уравновешенными скручивающими моментами) значения крутящих моментов в поперечных сечениях можно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия (методом сечений). Следовательно, такие задачи являются статически определимыми.
Задачи расчета на кручение являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях скручиваемых стержней, нельзя определить с помощью только уравнений равновесия. Для решения этих задач дополнительно к уравнениям равновесия, составляемым для системы в целом или ее отсеченной части, необходимо составить также уравнения перемещений, основанные на рассмотрении характера деформации системы.
Рассмотрим для примера брус круглого сечения, жестко заделанный обоими концами и нагруженный моментом ЗЛ на расстоянии а от левого конца (рис. 23.6, а).
Для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия - в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси бруса:
где и - реактивные скручивающие моменты, возникающие в заделках.
Дополнительное уравнение для решения рассматриваемой задачи можно получить следующим образом. Отбросим левое опорное закрепление бруса, но оставим правое (рис. 23.6, б).
Поворот левого конца полученного таким путем бруса должен быть равен нулю, т. е. так как в действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться.
На основании принципа независимости действия сил уравнение перемещений имеет вид
Здесь - угол поворота левого конца бруса от действия внешнего скручивающего момента (рис. 23.6, в); - угол поворота левого конца от действия внешнего момента (рис. 23.6, г).
По второй из формул (14.6), учитывая, что правый конец бруса не поворачивается (т. е. ), и по формуле (13.6) находим
Подставим эти значения в уравнение перемещений:
Из уравнения равновесия
После определения моментов и эпюру крутящих моментов можно построить обычным способом, т. е. как для статически определимого бруса (рис. 23.6, д). Для рассмотренной задачи эта эпюра представлена на рис. 23.6, е.
Наглядное представление об изменении углов поворота поперечных сечений бруса по его длине дает эпюра углов поворота (иногда ее называют эпюрой углов закручивания). Каждая ордината этой эпюры дает в принятом масштабе величину угла поворота соответствующего поперечного сечения бруса.
Построим такую эпюру для бруса по рис. 23.6, д, учитывая при этом, что значение уже найдено и эпюра крутящих моментов построена (см. рис. 23.6, е). Крайнее правое сечение А бруса неподвижно, т. е. Произвольное поперечное сечение, принадлежащее участку АС и отстоящее на расстояние от правого конца, повернется на угол [см. вторую из формул (14.6)]
Здесь - угол закручивания на участке длиной определяемый по формуле (13.6).
Таким образом, углы поворота изменяются по линейному закону в зависимости от расстояния Подставляя в полученное выражение найдем угол поворота сечения С:
Заметим, что всегда при нагружении бруса постоянного сечения сосредоточенными скручивающими моментами эпюра углов поворота поперечных сечений на каждом из участков бруса линейна.
Для построения эпюры на участке СВ вычислим угол поворота сечения В. На основании второй из формул (14.6) и формулы (13.6)
Этот результат подтверждает правильность решения задачи, так как по условию сечение В заделано жестко. Таким образом, кроме чисто иллюстративного значения, построение эпюры углов поворота поперечных сечений можно рассматривать как метод контроля решения некоторых статически неопределимых задач.
Построенная по полученным значениям эпюра углов поворота представлена на рис. 23.6, ж.
При действии на брус нескольких внешних скручивающих моментов, а также для брусьев, имеющих на отдельных участках разные поперечные сечения, составление дополнительного уравнения производится способом, аналогичным показанному (см. пример 5.6).
При расчете цилиндрических пружин наряду со статически определимыми встречаются также и статически неопределимые задачи.
Если концы пружины не закреплены и могут свободно перемещаться вдоль оси пружины или если закреплен лишь один ее конец, то задача расчета такой пружины статически определима. Если же оба конца пружины неподвижно закреплены, то задача ее расчета статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Составление этого уравнения аналогично составлению уравнения, применяемого при решении задач расчета прямого стержня, закрепленного обоими концами, на внешние нагрузки, действующие вдоль его оси. Составление дополнительных уравнений для такого типа задач рассмотрено выше в § 9.2 (см. также пример 3.6).
Расчётная схема и эпюры
Решение
Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты M A и M B , которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:
M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)
Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные M A и M B . С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом M B , пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M 1 , M 2 , M B в виде моментов, в том числе и искомый – M B . Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. 
. Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M 1 , M 2 , M B .
По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):
При составлении этого уравнения учтено, что момент M 1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M 2 – участки 1 и 2, а момент M B – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на 
и G и получим
Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения M A и M B . Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J , J , J .
Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения
Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении
J
(5)
Здесь – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение 
берётся из таблицы.
Формула (5) даёт результат
J . (6)
Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому
(7)
Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)
Сокращаем во всех слагаемых b 4 , проводим несложные арифметические подсчёты и получаем
После преобразований уравнение принимает вид
14,89 M B = 17,78.
Отсюда имеем
M B = 
1,194кНм.
Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:
M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.
Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.
Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M . Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.
Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:
Отсюда имеем
Сечение 2–2
Сечение 3–3
кНм.
По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности
(8)
Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле
Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:
Ввторой формуле – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение 
взято из таблицы.
Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:
(9)
(10)
(11)
Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.
Допускаемое касательное напряжение
.
Статически неопределимые задачи на кручение
Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:
а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;
б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;
в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.
Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.
Пример № 1
Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (см. рис.), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.
Решение.
Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты М А и М В . Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия: , или
М А + М В + М = 0.(1)
Уравнение содержит две неизвестные величины: М А и М В . Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.
Рассматриваем картину деформации вала (рис. б ). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.
Согласно формуле , углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а для участка длиной b где T a и T b – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.
(2)
Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Т а и Т b :
Т а = М А ,Т b = М В .
Подставив эти значения моментов в уравнение (2), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель , получим
.(3)
Решая совместно уравнения (1) и (3), найдем
Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. в ).
Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с = const : суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.
Пример № 2
Построить эпюры крутящих моментов Т , абсолютных и относительных углов закручивания круглого сплошного ступенчатого стержня, защемленного с двух торцов и нагруженного внешним крутящим моментом М (см. рис.).
Решение.
Задача один раз статически неопределима. Решим задачу следующим способом. Отбросим мысленно правое защемление, т.е. рассмотрим статически определимый стержень, показанный на рис. б . Эпюра крутящих моментов для него от действия внешнего крутящего момента М имеет вид, показанный на рис. в . Определим угол закручивания правого торца В статически определимого стержня:
Ответ получился со знаком «+», следовательно, сечение В повернется вокруг оси х в направлении внешнего момента М . Но на самом деле сечение 4 статически неопределимого стержня (рис. а ) не поворачивается . Приложим к статически определимому стержню крутящий момент М В (рис. г ) и определим угол поворота правого торца только от действия момента М В , используя эпюру крутящего момента (рис. д ),
Теперь можно записать деформационное условие, показывающее, что угол поворота в сечении 4 статически неопределимого стержня должен быть равен нулю:
Из этого условия находимМ В = М /6. Крутящий момент М В будет являться опорной реакцией для статически неопределимого стержня,
М В = М 4 .
Окончательная эпюра крутящих моментов получается сложением двух эпюр и (рис. е ).
Приступаем к построению эпюры углов закручивания , для чего вычисляем по формуле углы закручивания для каждого участка
а затем находим значения углов закручивания в характерных сечениях:
Последний результат подтверждает правильность проведенных вычислений. Введя для сокращения новое обозначение , окончательно получаем:
Затем строим эпюру абсолютных углов закручивания (рис.ж ).
Для построения эпюры относительных углов закручивания (рис.з ) необходимо предварительно вычислить
где принято
следовательно, 
Определим
необходимые диаметры стержня. Примем, что внешний крутящий момент М
= 20 кНм,
расчетное сопротивление материала стержня на срез
R s
= 100 МПа, допустимый относительный угол закручивания 
, а модуль сдвига
G
= 8·10 4 МПа.
Диаметр стержня в пределах I и II участков будем обозначать d 1 , а в пределах участка III – d 4 . Согласно условию задачи между d 1 и d 4 , существует соотношение (рис. а ):
и , тогда откуда 
Кроме
того,
Необходимый диаметр d 1 при условии обеспечения прочности стержня определяем по формуле , взяв значение крутящего момента из эпюры Т , представленной на рис. е :
Определим максимальное касательное напряжение, которое возникнет в стержне на участке III :
Необходимый
диаметр при условии обеспечения жесткости стержня находим по формуле 
:
Сравнивая результаты, принимаем окончательно d 1 =13 см, d 4 =11 см, определенные из условия жесткости.
Диаметр d 4,жестк можно определить также, используя эпюру (рис. з ), из которой видно, что на участке I , поэтому приравнивая
находим 
и, наконец, определяем
Пример № 3
Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. а). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил M 1 и M 2 , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков l 1 , l 2 , l 3 .
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;
3) построить эпюру углов закручивания.
Решение.
Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала
Убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.
Для раскрытия
статической неопределимости составим условие совместности деформаций.
Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не
поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на
участке А–В
равен нулю: , или
.
Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:
, 
,
.
Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. б .
Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений на каждом участке вала:
; 
;.
Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .
Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:
где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :
Тогда полярный момент сопротивления второго участка
,
то есть . Аналогично .
Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записатьусловие прочности . Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу , радиусы вала на каждом участке.
;;.
Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле . Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце валаВид эпюры углов закручивания показан на рис. в .
4.4. Статически неопределимые задачи кручения
Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, (рис. 4.9), когда его концы защемлены. В
одно уравнение равновесия: : 
входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала..gif" width="99" height="27 src=">.
https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.
Так как сечение вала защемлено, то , откуда: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">
Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:
Так как при кручении τ = (МК / IР) r, то
Сокращая на IР, получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении
4.6 . Кручение стержней некруглого поперечного сечения
https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется (рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27 src=">- момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.
https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.12)
https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.
Здесь и - зависят от отношения .
Коэффиценты. | Отношение большей стороны сечения к меньшей . |
||||||||
Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.
4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней
Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого (рис. 4.14) и замкнутого (рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный (рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.
Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,..gif" width="22" height="25"> прямоугольников, то
..gif" width="42" height="26">
.