Занятие посвящено обобщению и систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем». В ходе работы обобщим основные виды тригонометрических неравенств, систем неравенств и методы их решения, а также дополним наши знания применением тригонометрических неравенств в нестандартных ситуациях.

1. 
   Обобщение решения простейших тригонометрических неравенств.

1. Актуализация знаний

1. Какие неравенства называются простейшими?

2. Приведите примеры простейших тригонометрических неравенств.
3. Чем можно пользоваться при решении тригонометрических неравенств?

Задание 1. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности на конкретном примере.

Задание 2. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью графика функции на конкретном примере.

1. 
   

Образцы карточек.

Карточка 1.

а) б)
№2.Решите неравенство

№3. Решите неравенство
графически.

Карточка2.
№1. Запишите все решения, соответствующие дуге, изображённой на рисунке.
а) б)
№2.Решите неравенство
с помощью единичной окружности.

№3. Решите неравенство
графически.

1. 
   Обобщение решения неравенств, сводящихся к простейшим.

Следующий тип неравенств, о которых пойдёт речь- это неравенства, сводящиеся к простейшим разными способами.
1. Актуализация знаний

1. Какими способами можно привести неравенство к простейшему виду? Приведите примеры таких неравенств.

Вспомним суть данного метода в ходе выполнения задания.
Задание. Решить неравенство

Учитель следит за решением, пошагово демонстрирует его с помощью презентации.

Мы повторили первый способ сведения неравенств к простейшему виду. Как ещё можно привести неравенство к простейшему виду?
Ещё раз обратим внимание на решение неравенств с использованием основных тригонометрических формул.

Учитель обсуждает решение неравенства
с учениками, используя при этом презентацию.

* Вспомним, неравенства какого вида можно свести к простейшим введением вспомогательного угла?

* В чём состоит общий метод решения таких неравенств?
Задание. Решить неравенство
Учитель ведёт беседу с классом, на экране поэтапно появляется решение.

* Можно ли данное неравенство сразу решать введением вспомогательного угла?

* Можно ли каким-то образом преобразовать данное неравенство?

* Можно ли последнее неравенство решать введением вспомогательного угла?

* Что для этого нужно сделать?

* Какой вид имеет последнее неравенство?

* Ещё раз напомним решение данного типа неравенств.
* Решим данное неравенство.
2. Выполнение практических заданий.

(работа в группах)
Класс делится на 3-4 группы. Каждой группе даётся карточка заданий (на обороте указать фамилии участников группы). Группы выполняют задание, затем меняются решениями (I-II-III-IV-I) и проверяют работу друг друга (взаимоконтроль). Оценку заносят в рабочую карту с пометкой «в/к» (на обороте указать «Проверяли…»). Учитель затем перепроверяет решение и оценивание.

III. Обобщение методов решения неравенств с помощью замены переменной.
1. Актуализация знаний
1. В каком случае удобно использовать замену t=f(x), где f(x)- одна из тригонометрических функций?
2. В каком случае можно использовать замену t=sinx+cosx?

Повторим решение данного типа неравенств на конкретных примерах.

На доске записаны 3 неравенства. По желанию ученики поочерёдно выходят к доске и решают неравенства, комментируя каждый шаг. Остальные ученики записывают решения, стараясь делать самостоятельно.

cos2x-cos8x+cos6x Учитель ведёт беседу с классом, записывает решение на доске.

*Какие преобразования необходимо выполнить?

*Можно ли в данный момент ввести новую переменную?
*Как можно сделать аргументы одинаковыми?
*Далее введём новую переменную . В результате получим неравенство

Решите самостоятельно последнее неравенство и найдите значения переменной t, удовлетворяющие неравенству.

*Возвращаясь к замене, решим полученные простейшие тригонометрические неравенства и запишем ответ.

IV. Обобщение решения тригонометрических неравенств методом интервалов.
Перед учениками и на доске - алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Повторение данного метода проводим в ходе решения неравенства

Выполнение практических заданий.

Каждый ученик получает карточку с одним неравенством. Карточки разного уровня сложности. Например, сильные ученики решают неравенство методом интервалов, средние и слабые-введением новой переменной.

Работу оценивает учитель, оценку заносит в рабочую карту ученика.

V. Обобщение решения систем тригонометрических неравенств.
Задание. Необходимо напомнить алгоритм решения систем тригонометрических неравенств.

Далее работаем следующим образом: каждому ученику, в соответствии с вариантом, даются 3-4 карточки, на которых необходимо решить указанную систему неравенств. Выполнив задание первой карточки, необходимо отнести её на проверку (проверяет учитель или консультант (сильный ученик)). Если система решена верно, то её оставляют у проверяющего, приступают к решению задания следующей карточки. Если неверно, то карточка возвращается для исправления ошибки. Время работы ограничено-10 мин, поэтому ученики стараются выполнять задания быстро и по возможности правильно. По истечении времени работы, подводится итог:

4 верно выполненных задания-оценка «5»,

3 верно выполненных задания-оценка «4»,

2 верно выполненных задания-оценка «3»,
менее 2 выполненных заданий-оценка «2».
Оценка заносится в рабочую карту ученика.

1. 
   Углубление знаний по теме

Заранее две группы учеников провели дополнительную исследовательскую работу. Первая группа изучала использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функций, вторая группа занималась решением неравенств смешанного типа. На специальном стенде ученики разместили решения различных заданий. Желающие могут ознакомиться. Далее ребята демонстрируют примеры решений неравенств указанных типов, используя подготовленные презентации.

1. 
   Систематизация знаний

по теме

«Решение тригонометрических неравенств и их систем».

В ходе занятия мы обобщили знания о видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения.

Кратко материал нашего урока можно представить в виде таблицы (см. приложение), которая будет являться своеобразной памяткой о видах тригонометрических неравенств, их систем и способах их решения.

Используя таблицу, ещё раз быстро повторим материал темы «Решение тригонометрических неравенств и их систем».

5) Заключение.
В качестве домашнего задания предлагается индивидуальная контрольная работа, анализ выполнения которой покажет степень усвоения материала данной темы каждым учеником.

На практическом занятии мы повторим основные типы заданий из темы «Тригонометрия» , дополнительно разберем задачи повышенной сложности и рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и их систем .

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий В5, В7, С1 и С3 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности

Практика

Конспект урока

Повторение тригонометрии

Начнем с повторения основных типов заданий, которые мы рассмотрели в теме «Тригонометрия» и решим несколько нестандартных задач.

Задача №1 . Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а) ; б) .

а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы

Подставим в нее указанное значение .

б) Применим формулу перевода радиан в градусы

Выполним подстановку .

Ответ. а) ; б) .

Задача №2 . Вычислить: а) ; б) .

а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т. к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как .

б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как .

Полученный угол хоть и меньше периода, но больше , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:

Воспользовались нечетностью функции тангенс.

Ответ. а) 1; б) .

Задача №3 . Вычислить , если .

Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на . При этом, можем не бояться, что , т. к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.

Задача №4 . Упростить выражение .

Указанные выражения преобразовываются с помощью формул приведения. Просто они непривычно записаны с использованием градусов. Первое выражение вообще представляет собой число. Упростим все тригофункции по очереди:

Т. к. , то функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, и угол попадает во вторую четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.

По тем же причинам, что и предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т. е. на котангенс, а угол попадает в первую четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.

Подставим все в упрощаемое выражение:

Задача №5 . Упростить выражение .

Распишем тангенс двойного угла по соответствующей формуле и упростим выражение:

Последнее тождество является одной из формул универсальной замены для косинуса.

Задача №6 . Вычислить .

Главное, это не сделать стандартной ошибки и не дать ответ, что выражение равно . Воспользоваться основным свойством арктангенса нельзя пока возле него присутствует множитель в виде двойки. Чтобы от него избавиться распишем выражение по формуле тангенса двойного угла , при этом относимся к , как к обыкновенному аргументу.

Теперь уже можно применять основное свойство арктангенса, вспомним, что на его численный результат ограничений нет.

Задача №7 . Решить уравнение .

При решении дробного уравнения, которое приравнивается к нулю, всегда указывается, что числитель равен нулю, а знаменатель нет, т. к. на ноль делить нельзя.

Первое уравнение представляет собой частный случай простейшего уравнения, которое решается с помощью тригонометрической окружности. Вспомните самостоятельно этот способ решения. Второе неравенство решается как простейшее уравнение по общей формуле корней тангенса, но только с записью знака неравно.

Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т. е. корней нет.

Ответ. Корней нет.

Задача №8 . Решить уравнение .

Сразу заметим, что можно вынести общий множитель и проделаем это:

Уравнение свелось к одной из стандартных форм, когда произведение нескольких множителей равно нулю. Мы уже знаем, что в таком случае или один из них равен нулю или другой, или третий. Запишем это в виде совокупности уравнений:

Первые два уравнения являются частными случаями простейших, с подобными уравнениями мы уже многократно встречались, поэтому сразу укажем их решения. Третье уравнение приведем к одной функции с помощью формулы синуса двойного угла.

Решим отдельно последнее уравнение:

Данное уравнение не имеет корней, т. к. значение синуса не могут выходить за пределы .

Таким образом, решением является только два первых семейства корней, их можно объединить в одно, что легко показать на тригонометрической окружности:

Это семейство всех половин , т. е.

Тригонометрические неравенства

Перейдем к решению тригонометрических неравенств. Сначала разберем подход к решению примера без использования формул общих решений, а с помощью тригонометрической окружности.

Задача №9 . Решить неравенство .

Изобразим на тригонометрической окружности вспомогательную линию, соответствующую значению синуса равному , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.

Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т. е. что является его началом, а что концом. Началом промежутка будет угол, соответствующей точке, в которую мы войдем в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т. к. двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы наоборот выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.

Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Типичная ошибка - это указать сразу, что правой точке соответствует угол , левой и дать ответ . Это неверно! Обратите внимание, что мы только что указали промежуток, соответствующий верхней части окружности, хотя нас интересует нижняя, иными словами, мы перепутали начало и конец необходимого нам интервала решений.

Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т. е. по часовой стрелке и он будет равен . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла . Теперь начало промежутка углов меньше конца , и мы можем записать промежуток решений без учета периода:

Учитывая, что такие промежутки будут повторяться бесконечное количество раз после любого целого количества поворотов, получим общее решение с учетом периода синуса :

Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.

Сравните полученный ответ с формулой общего решения, которую мы приводили на лекции.

Ответ..

Указанный способ хорош для понимания того, откуда берутся формулы общих решений простейших тригонеравенств. Кроме того, он полезен для тех, кому лень учить все эти громоздкие формулы. Однако сам по себе способ тоже непростой, выберете, какой подход к решению вам наиболее удобен.

Для решения тригонометрических неравенств можно использовать и графики функций, на которых строится вспомогательная линия аналогично показанному способу с использованием единичной окружности. Если вам интересно, попробуйте самостоятельно разобраться с таким подходом к решению. В дальнейшем будем использовать общие формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.

Задача №10 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения с учетом того, что неравенство нестрогое:

Получаем в нашем случае:

Ответ.

Задача №11 . Решить неравенство .

Воспользуемся формулой общего решения для соответствующего строго неравенства:

Ответ..

Задача №12 . Решить неравенства: а) ; б) .

В указанных неравенствах не надо спешить использовать формулы общих решений или тригонометрическую окружность, достаточно просто вспомнить об области значений синуса и косинуса.

а) Поскольку , то неравенство не имеет смысла. Следовательно, решений нет.

б) Т. к. аналогично , то синус от любого аргумента всегда удовлетворяет указанному в условии неравенству . Следовательно неравенству удовлетворяют все действительные значения аргумента .

Ответ. а) решений нет; б) .

Задача 13 . Решить неравенство .

Это простейшее неравенство со сложным аргументом решается аналогично подобному уравнению. Сначала находим решение для всего указанного в скобках аргумента целиком, а потом преобразовываем его к виду «», работая с обоими концами промежутка, как с правой частью уравнения.

Учебная дисциплина: Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

Цели урока:

1) образовательные:

показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

2) развивающие:

развитие умения обобщать полученные знания;

развитие логического мышления;

развитие внимания;

развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

3) воспитательные:

учить высказывать свои идеи и мнения;

формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Методы обучения:

наглядно - иллюстративный;

Дидактическая цель урока: Создание условий:

для соединения новой информации с уже изученным материалом;

для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование:

учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

проектор, доска;

презентация MS PowerPoint.

План урока:

Организационный момент(1 мин) ;

Проверка домашнего задания(7 мин) ;

Изучение нового материала (31 мин) ;

Домашнее задание(3 мин);

Подведение итогов (3 мин)

Тема урока: Решение простейших тригонометрических неравенств.

Выполнила: преподаватель математики КГБОУ НПО «ПУ №44» Мозер О. С.

Этапы деятельности

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Примечание
I .Организационный момент. Взаимные приветствия преподавателя и учащихся, фиксация отсутствующих; проверка внешнего состояния кабинета; проверка готовности учащихся к уроку; организация внимания.	Преподаватель: Здравствуйте! Мы на прошлых уроках учились решать простейшие тригонометрические уравнения, а сегодня будем учиться решать простейшие тригонометрические неравенства. Открываем тетради, записывает число и тему урока: «Решение простейших тригонометрических неравенств»	1.Обучающиеся приветствуют преподавателя. 2. Открывают тетради и записывают число.	Презентация. Слайд №1
II . Проверка домашнего задания.	Преподаватель: - Для начала проверим домашнее задание. Преподаватель вызывает по журналу двоих учащихся к доске.	Двое учащихся выходят к доске записывают упражнения и объясняют решение. Первый учащийся записывает упражнения под буквой а) б), а второй – в) г) д).
II . Актуализация	Преподаватель проводит фронтальный опрос: Теперь вспомним понятия изученные ранее: 1. Дайте определение единичной окружности. 2. Дайте определение линии синуса; 3. Дайте определение линии косинуса; 4. Дайте определение линии тангенса; 5. Дайте определение линии котангенса;	Примерные ответы учащихся: 1) Единичной окружностью называется окружность с радиусом единица. 2) Отрезок [-1; 1]оси ординат- называют линией синуса; 3) Ось абсцисс называют линией косинуса; 4) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией тангенса; 5) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией тангенса;
III. Новый материал	Преподаватель: На прошлом уроке мы решали простейшие тригонометрические уравнения, сегодня узнаем, как с помощью единичной окружности решить простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x ≤ a , cos x > a , tg x ≥ a , ctg x a и т.д. Решение тригонометрических неравенств рассмотрим на конкретных примерах с помощью единичной окружности: Алгоритм решение данного неравенства: Аналогично по алгоритму, преподаватель и учащиеся решают следующие примеры:	Учащиеся записывают алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств в тетрадь.	Слайд №2 Слайд №3 Слайд №4 Слайд №5 Слайд№6 Слайд№7
IV. Домашнее задание	Записываем домашнее задание §3, п. 10, стр. 77, упр. №154 -156 в) д).	Учащиеся записывают задание в тетрадь.	Слайд №8
V . Подведение итогов	Преподаватель подводит итог урока: Итак, сегодня на уроке мы познакомились с алгоритмом решения простейших тригонометрических неравенств. Урок закончен! До свиданья!	Обучающиеся рассказывают алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.	Слайд №9

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Решение тригонометрических неравенств методом интервалов 10 А класс Учитель: Ускова Н.Н. МБОУ Лицей №60 Цели урока: Образовательные: расширение и углубление знаний по теме “Метод интервалов”; обретение практических навыков выполнения заданий, используя метод интервалов;повышение уровня математической подготовки школьников;Развивающие:развитие навыков исследовательской деятельности;Воспитательные:формирование наблюдательности, самостоятельности, способности к взаимодействию с другими людьмивоспитание культуры мышления, культуры речи, интереса к учебному предмету. Ход урока Проверка домашнего задания.Самостоятельная работа.Объяснение нового материала по теме «Решение тригонометрических неравенств методом интервалов»:алгоритм решения;примеры неравенств.Итоги урока.Домашнее задание. Проверка домашнего задания Решите неравенства: Самостоятельная работа Дополнительно: 1) 2) Проверка домашнего задания Решите неравенства:а) Решение. Ответ: б) Решение. Ответ: в) Решение. Ответ: г) Решение. Ответ: . Решить неравенство Решение. Ответ: Пример 1. Решить неравенство методом интервалов Решение. 1) 2) Нули функции: 3) Знаки функции на интервалах: + - + - + 4) Так как неравенство нестрогое, то корни включаются 5) Решение: Ответ: Пример 2. Решить неравенство: Решение. Ответ: I способ: II способ: Ответ: Решение тригонометрических неравенств методом интервалов Алгоритм:С помощью тригонометрических формул разложить на множители.Найти точки разрыва и нули функции, поставить их на окружность.Взять любую точку x0 (но не найденную ранее) и выяснить знак произведения. Если произведение положительно, то поставить «+» за единичной окружностью на луче, соответствующему углу. Иначе поставить знак «-» внутри окружности.Если точка встречается четное число раз, назовем ее точкой четной кратности, если нечетное число раз – точкой нечетной кратности. Провести дуги следующим образом: начать с точки x0 , если следующая точка нечетной кратности, то дуга пересекает окружность в этой точке, если же точка четной кратности, то не пересекает.Дуги за окружностью – положительные промежутки; внутри окружности – отрицательные промежутки. Решение примеров 1) 2) 3) 4) 5) Пример 1. Решение. Точки первой серии: Точки второй серии: - - - + + + Ответ: Пример 2. Решение. Точки первой серии: Точки второй серии: Точки третей серии: Точки четвертой серии: Точки четной кратности: + + + + - - - - Ответ: Пример 3. Решение. Итого: Точки первой серии: Точки второй серии: Точки третей серии: + + + + + + - - - - - - - - Ответ. Точки четной кратности: Пример 4. Решение. + + + + - - - - Ответ. Пример 5. Решение. 1) 2) Нули функции: 3) + - - + - нулей нет Итак, при Ответ: Графически: Домашнее задание: Решить тригонометрические неравенства методом интервалов:а)б) в) г)д) е)ж) Дополнительные задания:

Приложенные файлы