Малый математический факультет. Числа и цифры Метод «взвешенного» кодирования

Главная » Литература » Малый математический факультет. Числа и цифры Метод «взвешенного» кодирования

Доктор филологических наук Наталия Черникова

Понятие о числе зародилось в глубокой древности, когда человек научился считать предметы: два дерева, семь быков, пять рыб . Сначала счёт вели на пальцах. В разговорной речи мы до сих пор иногда слышим: «Дай пять!», то есть подай руку. А раньше говорили: «Дай пясть!» Пясть - это рука, а на руке пять пальцев. Когда-то слово пять имело конкретное значение - пять пальцев пясти, то есть руки.

Позднее вместо пальцев для счёта начали использовать зарубки на палочках. А когда возникла письменность, для обозначения чисел стали употреблять буквы. Например, у славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В - два, Г - три, Д - четыре, Е - пять.

Постепенно люди стали осознавать числа независимо от предметов и лиц, которые могли подвергаться счёту: просто число «два» или число «семь». В связи с этим у славян появилось слово число . В значении «счёт, величина, количество» его начали употреблять в русском языке с ХI века. Наши предки использовали слово число и для указания на дату, год. С ХIII века оно стало обозначать ещё и дань, подать.

В старину в книжном русском языке наряду со словом число имело хождение существительное чисмя , а также прилагательное чисменый . В ХVI веке появился глагол числити - «считать».

Во второй половине ХV века в европейских странах получили распространение специальные знаки, обозначающие числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Их изобрели индийцы, а в Европу они попали благодаря арабам, поэтому и получили название арабские цифры .

В нашей стране арабские цифры появились в Петровскую эпоху. В то же время в русский язык вошло слово цифра . Арабское по происхождению, оно тоже пришло к нам из европейских языков. У арабов первоначальное значение слова цифра - это нуль, пустое место. Именно в этом значении существительное цифра вошло во многие европейские языки, в том числе в русский. С середины ХVIII века слово цифра приобрело новое значение - знак числа.

Совокупность цифр в русском языке называлась цифирь (в старой орфографии цыфирь). Дети, изучавшие счёт, говорили: учу цифирь , пишу цифирь . (Вспомните учителя по фамилии Цыфиркин из комедии Дениса Ивановича Фонвизина «Недоросль», который обучал нерадивого Митрофанушку цифири , то есть арифметике.) При Петре I в России открыли цифирные школы - начальные государственные общеобразовательные учебные заведения для мальчиков. В них кроме других дисциплин детям преподавали цифирную науку - арифметику, математику.

Итак, слова число и цифра различаются и по значению и по происхождению. Число - единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т.д.). Цифра - знак (символ), обозначающий значение числа. Для записи чисел мы используем арабские цифры - 1, 2, 3… 9, 0, а в некоторых случаях и римские - I, II, III, IV, V и т.д.

В наши дни слова число и цифра употребляются и в других значениях. Например, когда мы спрашиваем «Какое сегодня число?», то имеем в виду день месяца. Сочетания «в том числе », «из числа кого-нибудь», «в числе кого-то» обозначают состав, совокупность людей или предметов. А если мы доказываем что-то с цифрами в руках , то обязательно используем числовые показатели. Словом цифра называют также денежную сумму (цифра дохода, цифра гонорара ).

В разговорной речи слова число и цифра часто заменяют друг друга. Например, числом мы называем не только величину, но и знак, который её выражает. Об очень больших в числовом отношении величинах говорят астрономические числа или астрономические цифры .

Слово количество появилось в русском языке в XI веке. Оно пришло из старославянского языка и образовано от слова колико - «сколько». Существительное количество употребляется в применении ко всему, что поддаётся счёту и измерению. Это могут быть люди или предметы (количество гостей, количество книг ), а также количество вещества, которое мы не считаем, а измеряем (количество воды, количество песка ).

Системы счисления:

- позиционная.

- непозиционная.

Непозиционные системы счисления – системы, в которых символы, использующиеся для представления числа, не меняют своего значения с изменением местоположения. Например, римская: I, V, X, C (правило: если цифра слева меньше цифры справа, то левая вычитается из правой. Если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются).

Позиционная система счисления – это упорядоченный набор символов, заданных алфавитом. Число символов или цифр алфавита называют основанием системы.

Эквивалентой 16-чной цифры явл. четырехразрядное 2-чное число-тетрада.

Перевод целых чисел.

Из 10-чной в q-ю. Выделяют 3 способа перевода:

1.деление на основание новой с.с. (q)-исходное число Х и последующие полученные частные делят на q до получ. частного, меньше q; получ. остатки явл. разрядами числа в q-й с.с.; последнее частное явл. старшим разрядом нов. числа, последний остаток-вторым, перв. ост.-последним:

2.метод подразрядного «взвешивания»;

Метод «взвешенного» кодирования.

Перевод дробных чисел.

Из 10-чной в q-ю.

При переводе дробных чисел говорят о переводе с заданной точностью и используют метод последовательного умножения на основание новой с.с.

Исх. число Х (дробное, дестичное) и получаемые дроби последовательно умножаем на q до получ. дробной части, равной 0 (при точном переводе) или до получ. нужного колич. цифр в q-й записи числа (при переводе с заданной точностью). Число Х в q с.с. образ. как последовательность целых частей произведений.

Х 10 =0,875; q=2.

-дробная часть без 1 равна 0.

При переводе дробных чисел, содерж. знаменатель, кратный степени двойки, числитель переводится по правилу для целых чисел, а затем точка переносится на n разрядов влево (n-степень двойки, кот. кратен знаменатель):

Перевод смешанных чисел.

При переводе смеш. чисел, его цел. и дробн. части переводятся раздельно по правилам выше; затем соединяются через точку.

Х 10 =15,875; q=2;

[Х 10 ]=15= =1111 2

0,875 10 = 2 X 2 =1111.111 2

Перевод из q-й в 10-ю с.с. выполн. по формуле полинома .

Перевод чисел из одной с.с. в др. с.с. с произвольными основаниями осущ. через десятеричн. с.с.

Информация и данные.

Данные – это конкретная реализация информации. Они могут быть представлены в числовом, графическом или символьном виде. Данные становятся информацией только при решении конкретной проблемы, то есть в ходе их потребления.

Информация – это лишь те данные, которые устраняют неопределенность в холе решения вопроса и позволяют принять соответствующее решение.

Превращение данных в информации осуществляется потребителем на основе собственной информационной модели. Информационная модель объекта – совокупность характеристик объекта вместе с числовым или иным значением.

Форма представления данных определяется время и усилия, которые необходимо затратить пользователю на получение информации, что влияет на потребительскую деятельность и стоимость информации.

Операции с данными:

Сбор данных – накопление информации с целью обеспечения достаточной полноты для принятия решения.

Формализация – приведение данных к одной форме.

Сортировка – упорядочение данных по заданному признаку.

Архивация -упорядочивание данных по заданному признаку с целью удобства.

Преобразование – переход данных из одной формы в другую.

Защита данных – комплекс мер, направленных на предотвращение утраты, воспроизведения и модификации данных.

Транспортировка -процесс передачи инф. от места её генерации к месту использования м хранения.

Общая схема передачи данных:

Процессы, связанные с операциями над данными называются информационными процессами, а символы, реализующие их – информационными системами.

Информационная система – организационно упорядоченная совокупность документов и информационных технологий, реализующих вопросы.

Различают информационные системы:

Информационно-справочные системы.

Информационно-поисковые системы.

Системы обработки и передачи данных.

Системы связи.

Системы управления.

Количественная оценка информации.

Такая оценка информации необходима, чтобы сравнить друг с другом массивы хранящейся или передаваемой информации, а также оценить размеры носителей.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Системой счисления (СС) называют совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемую для однозначного изображения чисел. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение каждой цифры не зависит от ее позиции в числе. В настоящее время непозиционные системы счисления применяются редко и в основном для целей нумерации.

Непозиционной системой счисления является римская система. В ней применяются следующие цифры:

десятичные числа: 1 5 10 50 100 500 1000 и т. д.;

римские цифры: I V X L C D M и т. д.

Десятичное число 32 изображается в римской системе счисления так:

XXXII = X+X+X+I+I=32,

то есть несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются. Если рядом стоят две разные цифры, то они могут либо суммироваться, либо вычитаться, например

ХХVI = X + X + V + I = 26 и IX = X – I = 9.

Арифметические действия с числами в непозиционных системах сложны.

В ЭВМ преимущественное применение получили позиционные системы счисления, в которых значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе.

Основанием системы счисления называют количество различных цифр, применяемых в данной позиционной системе счисления. Всем известна с детства десятичная система счисления, в которой применяется десять цифр.

Десятичная система счисления – не единственная позиционная система. Возможны позиционные системы счисления с любым основанием в виде целого числа. Примеры систем счисления приведены в таблице.

Особый интерес при изучении вычислительной техники представляют двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления (таблица 4.1).

Таблица 4.1

Основание	Система счисления	Цифровые символы
	двоичная	0, 1
	троичная	0, 1, 2
	четверичная	0, 1, 2, 3
	пятеричная	0, 1, 2, 3, 4
	восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	двенадцатиричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В общем случае в позиционной системе счисления по некоторому основанию число

X=a n– 1 a n– 2 … a 1 a 0 a – 1 a – 2 …a –m

X=a n– 1 b n –1 + a n– 2 b n –2 +…+ a 1 b 1 + a 0 b 0 + a –1 b –1 … +a –m b –m .

В этой общей форме a i – цифры, лежащие в диапазоне 0£a i <b ; n и m – количество разрядов в целой и дробной частях числа соответственно; b – основание системы счисления; b i – разрядный вес i -й цифры.

Запись числа в b -ичной системе счисления называют b -ичным кодом числа. Двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды десятичного числа, например, 19,375 выглядят следующим образом:

19,375 (10) =10011,011 (2) =23,3 (8) =13,6 (16) .

Десятичный индекс, сопровождающий число, указывает основание системы счисления. Индекс опускается, когда основание системы счисления известно из контекста.

В виде полиномов уже рассмотренное десятичное число 19,375 можно записать так:

19,375 (10) =10011,011 (2) =1×2 4 +0×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 +0×2 –1 +1×2 –2 +1×2 –3 =

16+0+0+2+1+0+1/4+1/8.

19,375 (10) =23,3 (8) =2×8 1 +3×8 0 +3×8 –1 =16+3+3/8.

19,375 (10) =13,6 (16) =1×16 1 +3×16 0 +6×16 –1 =16+3+6/16.

Таблица 4.2 – Коды чисел в различных позиционных системах счисления

Десятичные	Двоичные	Восьмеричные	Шестнадцатеричные

			A B C D E F
			1A 1B 1C 1D
			1E 1F

Числа, записанные в недесятичных системах счисления, следует произносить не так, как в десятичной системе. Например, восьмеричное число 23,3 рекомендуется читать так: "два–три–запятая–три" в отличие от привычного для нас чтения десятичного числа 23,3, а именно двадцать три целых и три десятых".

Для ЭВМ наилучшей системой счисления оказалась двоичная из-за простоты технической реализации, наибольшей помехоустойчивости кодирования цифр, минимума затрат оборудования, простоты арифметических действий, наибольшего быстродействия ивозможности применения формального математического аппарата для синтеза и анализа вычислительных устройств. Десятичная система счисления удобнее для человека с точки зрения удобства работы, но сильно проигрывает двоичной по остальным требованиям. Оценим, например, затраты оборудования для запоминания числа 5839 в десятичной системе. Нам потребуется четыре десятичных разряда по десять устойчивых состояний в каждом, то есть всего 40 устойчивых состояний. В двоичной системе счисления для этого же числа 5839, выраженного как 1 0110 1100 1111, достаточно иметь 13 разрядов на два устойчивых состояния в каждом – всего 26 устойчивых состояний, что примерно в 1,5 раза меньше.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления в вычислительной технике имеют вспомогательное значение. Запись чисел в этих системах получается более компактной и удобной для человека, чем в двоичной системе.

В машинах первого и второго поколений наибольшее распространение получила восьмеричная система. Этому способствовало то, что в ней можно было пользоваться цифрами десятичной системы, не прибегая к каким-либо новым символам, что нельзя сделать при использовании шестнадцатеричной системы.

В машинах третьего и более поздних поколений вместо восьмеричной чаще стала использоваться шестнадцатеричная система, так как это унифицирует форматы числовой и командной информации и обеспечивает более короткие записи.

В ЭВМ третьего и более поздних поколений за основную единицу информации принят байт. Один байт равен 8 битам, то есть описывается восемью двоичными разрядами. В шестнадцатеричной системе для записи информации, содержащейся в одном байте, требуется 2 символа, а в восьмеричной – 3, причем старший разряд восьмеричного числа недоиспользуется.

Лекция 1. Системы счисления

Система счисления - совокупность приемов и правил наименования и обозначения

совокупность некоторых символов (букв или цифр), с помощью которого в результате каких-либо операций можно представить любое их количество.

Изображение любого количества символов называется числом , а символы алфавита - буквами и цифрам и. Символы алфавита должны быть разными и значение каждого из

счисления является выработка наиболее удобного способа записи чисел, в частности для простого и быстрого решения логических задач. Для “удобства” использования система счисления должна обладать следующими свойствами:

- простота способа записи на физическом носителе;

- удобство выполнения арифметических операций;

- наглядность обучения основам работы с числами.

В современном мире наиболее распространенной является десятичная сист счисления, происхождение которой связано с пальцевым счетом. Она возникла в Индии

и в XIII в. была перенесена в Европу арабами. Поэтому десятичную систему счисления стали называть арабской, а используемые для записи чисел цифры, которыми мы теперь пользуемся, - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - арабскими.

С давних времен для подсчетов и вычислений применялись различные систе счисления. Например, на Древнем Востоке довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году- двенадцать. Эта система счисления сохранилась в английской системе мер(например, 1 фут = 12 дюймов) и в денежной системе (1 шиллинг =12 пенсов). В Древнем Вавилоне существовала весьма сложная 60ричная система. Она, как и 12ричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с). Первые цифры (знаки для обозначения чисел) появились у египтян и вавилонцев. У ряда народов (древние греки, сирийцы, финикийцы) цифрами служили буквы алфавита. Аналогичная система до16 в. применялась и в России. В Средние века в Европе

пользовались системой римских цифр, которые и				применяют дл
обозначения глав, частей, разделов в	различного		документах, книгах, для
обозначения месяцев и т. д.
Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.
Непозиционная система счисления - система, в которой символы, обозначающие то
или иное количество, не меняют своего	значения в	зависимости от		местоположения
(позиции) в изображении числа.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с о символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римские цифры, которые часто применяют для нумерации веков, томов и.т п. Здесь в качестве цифр используются латинские буквы

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложным способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций.

В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

Позиционные системы счисления.

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют позиционной .

Упорядоченный набор символов(букв и цифр) {а0 , a1 , ... , аn }, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом , число символов (цифр) алфавита p=n+1 - ее основанием , а саму систему

цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9., а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов(цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т. д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система

счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10.

Например, в изображении числа 222,22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен(ее вес равен102 ); вторая - количество десятков (ее вес равен 10), третья - количество единиц (ее вес равен 100 ), четвертая - количество десятых долей единицы (ее вес равен 101 ) и пятая цифра - количество сотых долей единицы (ее вес равен 102 ), т. е. число 222,22 может быть разложено по степеням числа 10:

Аналогично

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем разложения его по степеням числа 10:

последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную запись

числа А10 : Запятая, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных

значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например: материал намагничен или размагничен(магнитные ленты, диски), отверстие

применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразовани информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

Недостаток двоичной системы- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию, «вручную», например при составлении программы на машинном языке, то используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три(восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе(числа 8 и 16 - соответственно 3я и 4я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисления и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.

Литература

Русский язык

Сочинения

География

История

Разное

Биология

Физика