В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.

При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений.

Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым.

Прямые (непосредственные) измерения – это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины.

Однако далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно. В большинстве случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой величины. Такое измерение называется косвенным.

Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины.

В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: однозначность и воспроизводимость результата. эти два условия всегда выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения содержит наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения .

Современный инженер должен уметь оценить погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей – одна из главных задач лабораторного практикума.

Почему возникают погрешности?

Существует много причин для возникновения погрешностей измерений. Перечислим некоторые из них.

· процессы, происходящие при взаимодействии прибора с объектом измерений, неизбежно изменяют измеряемую величину. Например, измерение размеров детали с помощью штангенциркуля, приводит к сжатию детали, то есть к изменению ее размеров. Иногда влияние прибора на измеряемую величину можно сделать относительно малым, иногда же оно сравнимо или даже превышает саму измеряемую величину.

· Любой прибор имеет ограниченные возможности однозначного определения измеряемой величины вследствие конструктивной неидеальности. Например, трение между различными деталями в стрелочном блоке амперметра приводит к тому, что изменение тока на некоторую малую, но конечную, величину не вызовет изменения угла отклонения стрелки.

· Во всех процессах взаимодействия прибора с объектом измерения всегда участвует внешняя среда, параметры которой могут изменяться и, зачастую, непредсказуемым образом. Это ограничивает возможность воспроизводимости условий измерения, а, следовательно, и результата измерения.

· При визуальном снятии показаний прибора возможна неоднозначность в считывании показаний прибора вследствие ограниченных возможностей нашего глазомера.

· Большинство величин определяется косвенным образом на основании наших знаний о связи искомой величины с другими величинами, непосредственно измеряемыми приборами. Очевидно, что погрешность косвенного измерения зависит от погрешностей всех прямых измерений. Кроме того, в ошибки косвенного измерения свой вклад вносят и ограниченность наших познаний об измеряемом объекте, и упрощенность математического описания связей между величинами, и игнорирование влияния тех величин, воздействие которых в процессе измерения считается несущественным.

Классификация погрешностей

Значение погрешности измерения некоторой величины принято характеризовать:

1. Абсолютной погрешностью – разностью между найденным на опыте (измеренным) и истинным значением некоторой величины

. (1)

Абсолютная погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при измерении некоторой величины Х.

2. Относительной погрешностью равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины Х

Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы ошибаемся.

Качество результатов измерений какой-то величины характеризуется относительной погрешностью . Величина может быть выражена в процентах.

Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. Поэтому формулы (1) и (2), определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов. Наша задача: научиться строить методику эксперимента и правильно использовать полученные на опыте данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значения измеряемых величин, разумно оценивать погрешности измерений.

Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах) , возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические.

с лучайные погрешности. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего (рис.1). Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности непроизвольно вносятся экспериментатором вследствие несовершенства органов чувств, случайных внешних факторов и т. д. Если погрешность каждого отдельного измерения принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют значение измеряемой величины. Эти погрешности можно оценить только при помощи статистической обработки многократных измерений искомой величины.

Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи весов и т. д.) и с самой постановкой опыта. Они сохраняют свою величину (и знак!) во время эксперимента. В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных погрешностей результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения (рис.2). погрешность каждого измерения искомой величины можно предсказать заранее, зная характеристики прибора.

Расчет погрешностей прямых измерений

Систематические погрешности . Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности.

Класс точности прибора – это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы ).

.

Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением:

.

Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т. е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу.

Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами:

· Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса.

· Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления.

· Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда.

· Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.

Случайные погрешности . Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии «Ошибки измерений физических величин»).

Как же оценить истинное значение измеряемой величины?

Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: . Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм.

1). Вычисляется среднее арифметическое серии из N прямых измерений:

2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения – это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:

.

3). Вычисляется средняя квадратичная абсолютная погрешность :

.

4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность . При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента:

,

Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности (в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности ).

Коэффициент надежности – это вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал.

Доверительный интервал – это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.

Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата.

Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1

Число измерений N

Коэффициент Стъюдента

5). Вычисляется полная абсолютная погрешность. При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы.

Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности

.

Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она более чем на порядок (в 10 раз) меньше другой.

6). Округляется погрешность и результат . Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности.

Округление начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений (например, астрономических), в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности . Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.

Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю.

7). Вычисляется относительная погрешность .

При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры.

р езультат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде:

Здесь – полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и – округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: см и см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т. е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности см. Вычисляем относительную погрешность

.

см; ; .

2. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: и . Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру . Затем округляем среднее значение с точностью до целых . Вычисляем относительную погрешность

.

Результат измерений записываем так:

; ; .

3. Пусть при расчете массы груза мы получили следующий результат: кг и кг. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру кг. Затем округляем среднее значение с точностью до десятков кг. Вычисляем относительную погрешность

. .

Вопросы и задачи по теории погрешностей

1. Что значит измерить физическую величину? Приведите примеры.

2. Почему возникают погрешности измерений?

3. Что такое абсолютная погрешность?

4. Что такое относительная погрешность?

5. Какая погрешность характеризует качество измерения? Приведите примеры.

6. Что такое доверительный интервал?

7. Дайте определение понятию «систематическая погрешность».

8. Каковы причины возникновения систематических погрешностей?

9. Что такое класс точности измерительного прибора?

10. Как определяются абсолютные погрешности различных физических приборов?

11. Какие погрешности называются случайными и как они возникают?

12. Опишите процедуру вычисления средней квадратичной погрешности.

13. Опишите процедуру расчета абсолютной случайной погрешности прямых измерений.

14. Что такое «коэффициент надежности»?

15. От каких параметров и как зависит коэффициент Стьюдента?

16. Как рассчитывается полная абсолютная погрешность прямых измерений?

17. Напишите формулы для определения относительной и абсолютной погрешностей косвенных измерений.

18. Сформулируйте правила округления результата с погрешностью.

19. Найдите относительную погрешность измерения длины стены при помощи рулетки с ценой деления 0,5см. Измеренная величина составила 4,66м.

20. При измерении длины сторон А и В прямоугольника были допущены абсолютные погрешности ΔА и ΔВ соответственно. Напишите формулу для расчета абсолютной погрешности ΔS, полученной при определении площади по результатам этих измерений.

21. Измерение длины ребра куба L имело погрешность ΔL. Напишите формулу для определения относительной погрешности объема куба по результатам этих измерений.

22. Тело двигалось равноускоренно из состояния покоя. Для расчета ускорения измерили путь S, пройденный телом, и время его движения t. Абсолютные погрешности этих прямых измерений составили соответственно ΔS и Δt. Выведите формулу для расчета относительной погрешности ускорения по этим данным.

23. При расчете мощности нагревательного прибора по данным измерений получены значения Рср = 2361,7893735 Вт и ΔР = 35,4822 Вт. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

24. При расчете величины сопротивления по данным измерений получены следующие значения: Rср = 123,7893735 Ом, ΔR = 0,348 Ом. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

25. При расчете величины коэффициента трения по данным измерений получены значения μср = 0,7823735 и Δμ = 0,03348. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

26. Ток силой 16,6 А определялся по прибору с классом точности 1,5 и номиналом шкалы 50 А. Найдите абсолютную приборную и относительную погрешности этого измерения.

27. В серии из 5 измерений периода колебаний маятника получились следующие значения: 2,12 с, 2,10 с, 2,11 с, 2,14 с, 2,13 с. Найдите абсолютную случайную погрешность определения периода по этим данным.

28. Опыт падения груза с некоторой высоты повторяли 6 раз. При этом получались следующие величины времени падения груза: 38,0 с, 37,6 с, 37,9 с, 37,4 с, 37,5 с, 37,7 с. Найдите относительную погрешность определения времени падения.

Цена деления – это измеряемая величина, вызывающая отклонение указателя на одно деление. Цена деления определяется как отношение верхнего предела измерения прибора к числу делений шкалы.

В предыдущем разделе сформулировано определение измерения как результата сопоставления измеряемой физической величины с известной величиной, принятой за единицу.

В этой главе мы более подробно остановимся на конкретных причинах, влияющих на перечисленные категории, опираясь на основные выводы теории погрешностей.

Любой процесс сопоставления меры с измеряемым объектом никогда не может быть идеальным в том смысле, что процедура, повторенная несколько раз, обязательно даст различные результаты. Поэтому, с одной стороны, невозможно в процессе измерения сразу получить истинное значение измеряемой величины, и, с другой стороны, результаты любых двух повторных измерений будут отличаться друг от друга. Причины расхождений могут быть самыми разнообразными, но условно их можно разделить на две группы.

Первая группа расхождений результатов измерения - возможные изменения свойств самого измеряемого объекта. Например, при измерении длины размер предмета может измениться под действием температуры - хорошо известное свойство тел расширяться или уменьшаться при изменении температуры. В других видах измерения встречается та же самая ситуация, т. е. под влиянием температуры может измениться давление в замкнутом объеме газа, может измениться сопротивление проводника, коэффициент отражения поверхности и т. д.

Вторая группа расхождений - несовершенство средств измерений, несовершенство методики измерений или недостаточная квалификация и тщательность работы оператора. Этот тезис достаточно очевиден, тем не менее, оценивая погрешности измерений, нередко забывают о том, что эти факторы нужно учитывать в комплексе. Измерительная практика показывает, что грубым прибором можно получить достаточно близкие к истинным значениям результаты за счет совершенствования методики или искусства оператора. И наоборот, самый точный прибор даст ошибочные результаты, если в процессе измерения не соблюдаются предпосылки реализации метода.

В качестве примера можно привести взвешивание на безмене -двухплечевом рычаге с грузом на одном конце и с измеряемой массой на другом конце. Это средство измерения само по себе весьма примитивно, но если его тщательно отградуировать и выполнить многоразовые измерения желаемой величины, то результат может оказаться достаточно точным. Примером противоположного плана является измерения состава какого-либо вещества. Если мы захотим измерить содержание хлора в воде или двуокиси серы в дымовом газе и не будем следовать установленной опытом методике, то самый точный анализатор даст неверный результат, т. к. состав пробы за время транспортировки может сильно измениться.

Учитывая факторы обеих групп, невозможно получить абсолютно точно значение измеряемой физической величины. Во всех реальных ситуациях этого и ненужно. В измерительной технике существует критерий достаточности, то есть расхождение между результатом измерения и истинным значением всегда определяется конкретной задачей. Нет смысла, например, измерять климатические параметры в помещении с точностью лучше 1%. С другой стороны, при воспроизведении единиц длины такая точность явно не обеспечит необходимых требований.

Нужно в такого рода оценках учитывать более высокую стоимость более точного прибора, большую громоздкость, более высокое энергопотребление, меньшую экспрессность измерений и т.д. и т.п. И, естественно, нужно всегда помнить, что измерения сами по себе никогда не проводят ради самих измерений. Они всегда имеют подчиненный характер, т. е. выполняются для того чтобы затем совершить какие-либо действия. Даже если прибор фиксирует отсутствие необходимости что-либо делать, это само по себе является целью измерения. Например, с установлением температуры тела человека в 36,6°С достигнута определенная цель - никаких действий к изменению температуры принимать не надо.

Подчиненный характер измерений не умаляет их важность во всей жизнедеятельности человека. Достаточно сказать, что великие открытия современности, такие как термоядерные реакции или лазеры, в основе своей имели тщательные измерения свойств атомов и характеристик их взаимодействия. В технике деятельность вообще немыслима без измерений.

Разброс результатов однократных измерений одной и той же величины, связанных либо с изменениями свойств измеряемого объекта, либо с неидеальностью процедуры измерения, заставляет относиться к получению каждого конкретного результата как к процессу вероятностному. Соответственно, к описанию и расчету погрешностей становится применима теория вероятности, а статистика становится неотъемлемым элементом процедуры оценки точности измерений при оценке погрешностей.

Рассматривая последовательно виды погрешностей и способы их минимизации, повторим определение погрешности.

«Погрешность измерения есть разница Д между результатом измерения Х и действительным значением этой величины, под которым подразумевается ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному Q, что для данной цели оно может быть использовано вместо него», т. е.

Погрешности измерения, связанные с непостоянством размера измеряемого объекта и с несовершенством средств измерения, можно объединить в две группы.

Погрешности, связанные с факторами, которые изменяются при повторных измерениях хаотически, носят нерегулярный характер и их трудно предвидеть. Такие погрешности называются случайными. Иногда подобные изменения могут проявиться очень сильно, например при резком однократном изменении напряжения питания прибора. В этом случае погрешность значительно превышает границы, определяемые ходом процесса измерений в целом и ее называют грубой погрешностью или промахом.

Погрешности, определяемые факторами либо постоянно искажающими результат измерения, либо постоянно изменяющимися в процессе измерения называются систематическими погрешностями. Эти погрешности непросто определить, если их значение меньше или сопоставимо со случайными погрешностями.

Для выявления и учета систематических погрешностей существует определенный набор приемов и методов, которые будут рассмотрены в специальном разделе.

Обозначим случайные погрешности как σ, систематические как Θ. Суммарную погрешность Δ можно представить как

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величины, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной и затем проводят математическую обработку массива данных. В большинстве случаев проводят анализ результатов путем построения графика зависимости погрешности Δ от номера наблюдения, выстраивая такие номера как функцию времени наблюдения, или в порядке возрастания погрешности. Рассмотрим подробнее зависимость результата измерения от времени.

В этом случае погрешность Δ является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя точно сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятность появления ее значений в том или ином временном интервале. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции (рис. 3.1)
.

При повторении серии измерений, мы получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Реализации отличаются из-за влияния факторов появления случайной погрешности, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для каждого момента времени t, для всех реализации. Погрешность измерений, соответствующая каждому моменту времени t i , называется сечением случайной функции Δ(t). В каждом сечении можно найти среднее значение, одинаковое для всех реализации. Очевидно, что эта составляющая и определит систематическую погрешность Θ. Если через значения Θ для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную тенденцию изменения погрешности.

Отклонения значений конкретных реализации от среднего значения для момента времени t дадут значения случайной погрешности σ i . Эти отклонения оказываются разными для разных реализации. Последние являются уже представителями случайных величин, т. е. объектов изучения теории вероятности. Таким образом, имеет место равенство: Δ = σ + Θ.

Здесь индекс i означает принадлежность к измерениям в i момент времени, а индекс j - принадлежность k j реализации.

Систематические погрешности не изменяются при увеличении числа измерений, поскольку согласно определению остаются постоянными или изменяются по определенному закону в процессе измерения. Систематические погрешности могут быть выявлены на основе теоретических оценок результатов, путем сопоставления результатов, полученных разными методами, на разных приборах. Имеются возможности определить систематические погрешности путем тщательного исследования средства или метода измерений путем построения зависимости результатов от какого-либо изменяющегося параметра, например времени, климатических условий, электромагнитных полей, напряжения питания и т.д. В ряде случаев необходимо выполнить большой объем исследовательской работы для того, чтобы выявить условия, создающие систематические погрешности и, соответственно, представить либо график, либо таблицу поправок, либо определить аналитическую зависимость систематической погрешности от какого-либо параметра.

На результат измерения влияют несколько факторов, каждый из которых вызывает свою систематическую погрешность. В этом случае выявление аналитического вида погрешности значительно усложняется, приходится проводить трудоемкие тщательные исследования, которые иногда оканчиваются неудачей. Тем не менее, необнаруженная систематическая погрешность опаснее случайной, т.к. последняя может быть минимизирована соответствующей методикой измерения, а систематическая невыявленная погрешность исказит результат непредсказуемо.

Особую категорию систематических погрешностей составляют измеренные с недостаточной точностью фундаментальные и физические константы, используемые в процессе измерения. То же самое относится к неточностям в стандартных справочных данных, или к недостаточно точной аттестации стандартных образцов. Появление более точных справочных данных требует пересчета результатов всех измерений с их использованием, или переградуировки шкал приборов. Например, получение более точных данных о давлении насыщающих паров индивидуальных веществ может привести к необходимости переградуировки термометров, манометров, приборов для измерения концентраций и т. д.

Уточнения постоянной Авогадро приводят к переградуировке шкал всех приборов в физико-химических измерениях. Новые исследования свойств воды могут изменить результаты измерения огромного числа приборов, т. к. на этих постоянных строится температурная шкала, шкала плотности, шкала вязкости.

Рассмотрим группы систематических погрешностей, отличающихся одна от другой причиной возникновения. В основном различают следующие группы:

Инструментальная погрешность

Инструментальная погрешность - это составляющая погрешности, зависящая от погрешности (класса точности) средства измерения. Такие погрешности могут быть выявлены либо теоретически на основании механического, электрического, теплового, оптического расчета конструкции прибора, либо опытным путем на основе контроля его показаний по образцовым мерам, по стандартным образцам, а также компарированием показаний прибора с аналогичными измерениями на других приборах.

Инструментальные погрешности, присущие конструкции прибора, могут быть легко выявлены из рассмотрения кинематической, электрической или оптической схемы. Например, взвешивание на весах с коромыслом обязательно содержит погрешность, связанную с неравенством длин коромысла от точек подвеса чашек до средней точки опоры коромысла. В электрических измерениях на переменном токе обязательно будут погрешности от сдвига фаз, который появляется в любой электрической цепи. В оптических приборах наиболее частыми источниками систематической погрешности являются аберрации оптических систем и явления параллакса. Общим источником погрешностей в большинстве приборов является трение и связанные с ним наличие люфтов, мертвого хода, свободного хода, проскальзывания.

Способы устранения или учета инструментальных погрешностей достаточно хорошо известны для каждого типа прибора. В метрологии процедуры аттестации или испытаний часто включают в себя исследования инструментальных погрешностей. В ряде случаев инструментальную погрешность можно учесть и устранить за счет методики измерений. Например, неравноплечесть весов можно установить, поменяв местами объект и гири. Аналогичные приемы существуют практически во всех видах измерения.

Инструментальные погрешности, часто связанные с несовершенством технологии изготовления измерительного прибора. Особенно это касается серийных приборов, выпускаемых большими партиями. При сборке может иметь место отличие в сигналах с датчиков, отличие в установке шкал. Подвижные части приборов могут собираться с разным натягом, механические детали могут иметь разные значения допусков и посадок даже в пределах установленной нормы. В оптических приборах огромное значение имеет качество сборки или юстировка оптической измерительной системы. Современные оптические приборы могут иметь десятки и сотни сборочных единиц, а допуски при сборке составляют дол и длины волны оптического излучения (λ = 0,4 - 0,7 мкм).

Методы выявления таких погрешностей чаще всего состоят в индивидуальной градуировке измерительного прибора по образцовым мерам или по образцовым приборам. В современных приборах коррекция показаний может быть выполнена не только переградуировкой шкалы, но и коррекцией электрического сигнала или компьютерной обработкой результата. Естественно, что во всех случаях коррекции должно предшествовать исследование показаний прибора.

Инструментальные погрешности, связанные с износом или старением средства измерения, имеют определенные характерные особенности. Процесс износа, как правило, проявляется в погрешностях измерения постепенно. Изменяются зазоры в сопрягаемых деталях, соприкасающиеся поверхности покрываются коррозией, изменяются упругости пружин и т. д. Изменяется масса гирь, уменьшаются размеры образцовых мер, изменяются электрические и физико-химические свойства узлов и деталей приборов, и все это приводит к изменению показаний приборов. Старение приборов - это, как правило, следствие изменений структуры материалов, из которых сделан прибор. Изменяются не только механические характеристики, но и электрические, оптические, физико-химические. Стареют металлы и сплавы, изменяя исходную намагниченность, стареет оптика, приобретая дополнительное светорассеяние или центры окраски, стареют датчики состава веществ. Последнее хорошо известно тем, кто профессионально работал с химреактивами, которые могут сорбировать воду, реагировать с окружающей средой и с примесями. Использование химических веществ в измерительной технике всегда необходимо с учетом срока годности реактива.

Устранение погрешностей приборов от старения или износа, как правило, проводится по результатам поверки, когда устанавливается погрешность по истечении какого-либо длительного времени хранения или эксплуатации. В ряде случаев достаточно почистить прибор, но иногда требуется ремонт или перекалибровка шкалы. Например, при появлении систематических погрешностей во взвешивании на весах удается вернуть им работоспособность обычным техническим обслуживанием - регулировкой и смазкой. При более серьезном старении приходится переполировывать трущиеся детали или заменять сопрягаемые детали.

Особенно важно выявить систематическую погрешность у приборов, предназначенных для поверки средств измерений - у образцовых приборов. Как правило, на образцовых приборах выполняется меньший объем работы, чем на рабочих приборах, и по этой причине систематический временной «уход» показаний может не так наглядно проявляться. Вместе с тем невыявленная в образцовых приборах погрешность передается другим приборам, которые по данному образцовому прибору поверяются.

С целью уменьшения влияния процессов старения на измерительную технику в ряде случаев прибегают к искусственному старению наиболее ответственных узлов. У оптических приборов - рефрактометров, интерферометров, гониометров - старение проявляется часто в том, что несущие конструкции «ведет», т. е. они изменяют форму, особенно в тех местах, где есть сварка или обработка металла резанием. Для того чтобы свести к минимуму влияние такого старения, готовые узлы выдерживаются какое-то время в жестких климатических условиях или в специальных камерах, где процесс старения можно ускорить, изменив температуру, давление или влажность.

Отдельное место в инструментальных погрешностях занимает неправильная установка и исходная регулировка средства измерения. Многие приборы имеют встроенные указатели уровня. Это значит, что перед измерением нужно отгоризонтировать прибор. Причем, такие требования предъявляются не только к средствам измерений высокой точности, но и к рутинным приборам массового использования. Например, неправильно установленные весы будут систематически «обвешивать» покупателя, на гониометре невозможно работать без тщательного горизонтирования отсчетного устройства. В приборах для измерения магнитного поля весьма существенным может оказаться ориентация его относительно силовых линий поля Земли. Озонометры нужно очень тщательно ориентировать по Солнцу. Многие приборы требуют установки по уровню или по отвесу. Если двухплечие весы не установлены горизонтально, нарушаются соотношения длин между коромыслами. Если маятниковые механизмы или грузопоршневые манометры установлены не по отвесу, то показания таких приборов будут сильно отличаться от истинных.

Погрешности, возникающие вследствие внешних влияний

Под категорией погрешностей, возникающих вследствие внешних влияний, обычно понимают изменение показаний приборов под воздействием температуры, влажности и давления. Тем не менее, это лишь часть причин, приводящих к появлению систематических погрешностей. Сюда же следует отнести влияние вибраций, постоянных и переменных ускорений, влияние электромагнитного поля и различных излучений: рентгеновского, ультрафиолетового, ионизирующих излучений, гамма-излучения. По мере развития техники и науки появилась возможность и необходимость проводить измерения в нестандартных условиях, например в Космосе или внутри подводной лодки. Специфичность условий измерения может доходить до высших категорий, если ставить задачу измерения погодных условий на Марсе или на Венере. Такие же особенности могут иметь место в реальных жизненно важных для нас ситуациях. Если речь идет о контроле параметров ядерного реактора, то условия, в которых работает измерительный прибор, могут значительно отличаться от стандартных.

Влияние температуры - наиболее распространенный источник погрешности при измерениях. Поскольку от температуры зависит длина тел, сопротивление проводников, объем определенного количества газа, давление насыщенного пара индивидуальных веществ, то сигналы со всех видов датчиков, где используются упомянутые физические явления, будут изменяться с изменением температуры. Существенно, что сигнал сдатчика не только зависит от абсолютного значения температуры, но от градиента температуры в том месте, где расположен датчик. Еще одна из причин появления «температурной» систематической погрешности - это изменение температуры в процессе измерения. Указанные причины существенны при косвенных измерениях, т. е. в тех случаях, когда нет необходимости измерять температуру как физическую величину. Тем не менее в собственно температурных измерениях необходимо тщательно исследовать показания приборов в различных температурных интервалах. Например, результаты измерения теплоемкости, теплопроводности, теплотворной способности топлива могут сильно искажаться от различного рода температурных воздействий.

Учитывая большое влияние температуры на физические свойства материалов и, соответственно, на показания приборов, особое внимание следует обращать на температурные условия в тех комнатах, лабораториях и зданиях, где проводятся градуировочнные или поверочные работы. Здесь необходимо тщательно следить за отсутствием тепловых потоков, градиентов температуры, однородностью температуры окружающей среды и измерительного прибора. Для того чтобы избежать влияния этих факторов на измерения, приборы длительное время выдерживают в термостатированном помещении, прежде чем начинать какие-либо работы. Для особо точных измерений иногда используют дистанционные манипуляторы, чтобы исключить тепловые помехи, создаваемые операторами.

Для большинства приборов при испытаниях на право серийного выпуска программа испытаний обязательно содержит исследование показаний прибора (одного или нескольких образцов) в зависимости от температуры.

Влияние магнитных или электрических полей сказывается не только на средствах измерения электромагнитных величин. В зависимости от принципа действия прибора наведенная ЭДС или токи Фуко могут исказить показания любого датчика, выходным сигналом которого служит напряжение, ток, сопротивление или электрическая емкость. Таких приборов существует великое множество, особенно в тех случаях, когда приборы имеют цифровой выход. Аналогово-цифровые преобразователи иногда начинают регистрировать сигналы радиочастотных или еще каких-либо электрических полей. Очень часто электромагнитные помехи попадают в прибор по сети питания. Выяснить причины появления таких ложных сигналов, научиться вводить поправки в измерения при наличии электромагнитных помех - это одна из важных проблем метрологии и измерительной техники.

Особенно важен рассматриваемый фактор появления систематических погрешностей в больших городах, где хорошо поставлена связь, телевидение, радиовещание и т.п. Уровень электромагнитного излучения бывает настолько высоким, что, например, вблизи мощного телецентра может загореться низковольтная лампочка, если ее соединить с проволочным контуром без источника питания. Тот же эффект можно наблюдать в зоне действия радиолокаторов вблизи какого-либо аэропорта. О том, что этот фактор может существенно влиять на показания измерительных приборов, свидетельствует тот факт, что буквально за последние несколько лет появились возможности уверенной радиотелефонной связи, а также уверенного приема спутникового телевидения. Это означает, что уровень сигнала в окружающем нас пространстве достаточно высок и легко регистрируется соответствующей техникой. Этот же сигнал будет накладываться на сигналы, поступающие с датчиков измерительных приборов.

Еще один интересный случай появления систематических погрешностей при измерениях связан с измерительными приборами на кораблях. Много лет назад опытными мореплавателями было установлено, что если корабль идет долгое время курсом «норд» или «зюйд» некоторые приборы начинают показывать неверные результаты, т. е. приобретают какую-то систематическую погрешность. Причина этого была выяснена довольно точно: корабль намагничивается от магнитного поля Земли и при дальнейшем изменении курса сохраняет остаточную намагниченность. В наше время это хорошо исследованный эффект. Во время мировой войны суда специально размагничивали, чтобы избежать срабатывания магнитных мин. Сейчас в ряде стран, в том числе и у нас, созданы корабли науки, которые либо делаются из немагнитных материалов, либо персонал тщательно следит за намагниченностью корпуса. Такие суда осуществляют дальнюю и космическую связь, занимаются экологическими измерениями, исследуют озоновый слой Земли, исследуют прохождения радиоволн и выполняют еще целый ряд необходимых функций.

Влияние второго климатического фактора - давления - распространяется на несколько более узкий круг измерений, чем температура, но существует целый ряд очень важных видов измерения, где данные об атмосферном или внешнем давлении практически определяют уровень точности измерений. Так же, как в предыдущем случае, имеет смысл отдельно рассматривать собственно показания датчиков в других видах измерения. Многие типы манометров по сути своей являются дифференциальными, т. е. измеряют разность давлений между двумя различными точками какой-либо системы. В этом случае любая погрешность определения абсолютной величины давления в той точке, относительно которой измеряется давление, аддитивно накладывается на результат измерения.

Влияние давления на сигналы датчиков очень существенны в рефрактометрии - измерении показателя преломления - воздуха и газов. Это относится собственно к измерениям рефракции, а также к измерениям с использованием соответствующих датчиков, например при измерении концентрации газов и газовых смесей. От изменения давления меняется не только показатель преломления газа, но и другие характеристики, такие как диэлектрическая постоянная. Соответственно, может измениться сигнал с любого емкостного датчика.

В измерении массы информация о давлении весьма существенна в связи с тем, что при точных измерениях массы основной вклад в систематическую погрешность дает архимедова сила, выталкивающая гирю. Силы Архимеда зависят от плотности среды (плотности воздуха) и, следовательно, непосредственно зависят от давления, поскольку число молекул газа в единице объема

(3.6)

где n 0 - постоянная, называемая числом Лошмита; р - давление; Т - температура; a p 0 и T 0 - нормальные значения давления и температуры.

(3.7)

В метрологических справочниках всегда можно найти данные о поправках, которые необходимо ввести при взвешивании для учета силы Архимеда. Нетрудно показать, что выталкивающая сила, действующая на гирю, выражается формулой

(3.8)

где ρ - плотность воздуха; ρ T - плотность материала взвешиваемого тела; m T - масса тела. Масса взвешиваемого тела будет равна:

(3.9)

где ρ Г - плотность материала гири. Если плотность воздуха считать много меньшей плотности материалов тела и гири, то массу взвешиваемого тела можно выразить через действительную массу гири плюс некоторая поправка на силу Архимеда

(3.10)

Из приведенныхформул следует, что при взвешивании гирями из материала большой плотности систематическая погрешность от силы Архимеда меньше, чем при взвешивании гирями из легкого материала. В табл. 3.1 представлены поправки на силы Архимеда, которые необходимо учитывать при взвешивании для тела массой 100 г.

Таблица 3.1

Поправки на силы Архимеда, которые нужно делать
при взвешивании гирями для тела массой 100 г.

Отдельно следует рассматривать систематические погрешности при измерении давления в условиях вакуума. Здесь наиболее существенным источником погрешностей является селективность процесса откачивания воздуха насосами с различными принципами действия. Этот вопрос очень сложен с точки зрения анализа физической сущности процесса вакуумирования. Насосы ротационные, сорбционные, магниторазрядные, турбо-молекулярные создают совершенно разный состав остаточных газов. В итоге в каждом отдельном случае при оценке погрешностей измерения вакуума нужно анализировать совместные искажения, вносимые в состав остаточного газа насосом, и искажения, вносимые тем или иным датчиком давления. В ряде случаев для прояснения картины недостаточна даже дополнительная калибровка, т. к. создать достаточно точно ту среду по составу, в которой будет работать датчик, очень трудно.

Проблема создания вакуума и измерения давления остаточного вакуума является одной из ключевых проблем современной техники и науки. Уверенно можно утверждать, что уровень вакуумной техники определяет уровень многих технологий, например технологии изготовления микросхем и микросборок.

То же самое относится к наукоемким видам измерения - масс-спектометрии или ЯМР спектометрии. Все метрологические категории этих видов измерения напрямую зависят от того, насколько «чистый» вакуум удается создать и с какой точностью удается этот вакуум измерить.

Третий климатический фактор, вносящий систематические погрешности во многие измерения, - это влажность, т. е. содержание молекул воды в том или ином месте расположения измерительного прибора. При оценке такой погрешности можно рассматривать гигрометрию как вид измерения, т. е. возможные систематические погрешности в измерении влагосодержания (абсолютная влажность) и Благосостояния (относительная влажность). Можно также оценивать погрешность как следствие влияния влаги на показания других типов приборов. Например, наличие влаги изменяет проводимость или емкость электрических элементов датчиков. Влага ухудшает изоляционные свойства материалов, вызывая токи утечки. Влага изменяет структуру многих химических соединений, трансформируясь из свободной влаги в кристаллизационную и обратно.

С учетом этого становится очевидным всеобъемлющий характер учета влажности при оценке систематических погрешностей.

На эти трудности накладываются еще неоднозначности в выражении измеряемых в гигрометрии величин и единиц. По одной из версий исходным моментом в гигрометрии является упругость насыщенного водяного пара при фиксированной температуре. В этом случае любое уточнение термодинамических свойств воды должно привести к пересчету всех результатов измерений. По другой версии исходным моментом в гигрометрии должно являться число молекул воды в единице объема. Эти измерения наиболее точно выполняются радиочастотными методами, возможности которых и определяют погрешности гигрометрии.

Вся проблема влияния влажности на систематические погрешности в измерениях обозначена во многих странах и международных организациях как одна из наиболее существенных. По этой причине влияние влажности на показания любого прибора являются обязательным элементом любых испытаний и исследований на предмет выявления систематической погрешности.

Погрешности метода измерения или теоретические погрешности

Любое измерение имеет предел точности. Какой бы мы не создали измерительный инструмент, всегда будут существовать рамки возможной точности, превзойти которые созданием совершенных измерительных устройств невозможно. Всегда при измерениях идут на допущения, отклонения от идеальных ситуаций, от функциональных зависимостей, ограничивая трудоемкость процесса на основании принципа достаточности точности измерения для решения практической задачи. Такие допущения приходится делать во всех видах измерений.

В механических измерениях на практике постоянно присутствующей систематической погрешностью является сила Архимеда, по разному действующая на взвешиваемый предмет и на гири. Учет силы Архимеда делается только при взвешивании на высшем уровне точности при аттестации мер высшего разряда. Во всех практических измерениях массы такие поправки не делаются, ограничивая тем самым точность определения массы.

В электрических измерениях постоянным источником систематической погрешности являются собственные сопротивления приборов, собственная распределенная емкость и индуктивность проводников. При использовании законов для цепей постоянного и переменного тока как правило собственные электрические параметры не учитываются. Не учитываются в большинстве случаев и возможные термоЭДС в цепи или образования гальванических пар. Можно свести эти погрешности к минимуму тщательным исследованием цепей, но в реальных случаях стремятся работать в таких ситуациях, когда влияние перечисленных причин ничтожно в сравнении с необходимой и достаточной точностью измерений.

Измерения физико-химических величин в каждой конкретной задаче имеет определенные систематические погрешности, специфические для данного вида измерения. Прежде всего это порог чувствительности датчика концентрации какого-либо вещества. Детектирование отдельных атомов, т. е. отсутствие порога чувствительности, имеет место только для весьма специфических методов и для очень узкого класса веществ. Второй фактор - вещество, например вода, может входить как в виде собственно молекул воды, так и в виде кристаллизационной воды. Особенно сложно выявить фактор многообразия различных форм существования измеряемого компонента в случае элементного анализа. Так, водород может встречаться в газе или в воздухе в виде молекул водорода Н^, может входить в состав паров воды, в состав углеводородов и т. д. Если при измерениях используется метод с предварительной атомизацией пробы, то информацию о содержании водорода в составе какого-либо соединения можно получить только с использованием дополнительных усилий, например с использованием хроматографической колонки, которая разделит компоненты пробы по массам.

В температурных измерениях всегда существуют погрешности, связанные с температурными градиентами, т. е. с неоднородностью температурного поля. Практически невозможно реализовать такую ситуацию, когда все части термометра будут находиться в одинаковых температурных условиях, а это приведет к тому, что в жидкостных термометрах не весь объем жидкости примет измеряемую температуру, а термопарный термометр кроме полезного сигнала зарегистрирует все влияния температурных градиентов на ЭДС термопары.

В приборах для измерения показателей преломления - рефрактометрах - систематическая погрешность обычно связана с влиянием показателя преломления воздуха. Чтобы исключить эту погрешность, рефрактометры высокой точности иногда вакуумируют, т. е. откачивают из объема прибора воздух. Эта процедура делает прибор громоздким и дорогим, поэтому по такому пути идут только при крайней необходимости. Чаще просто вносят поправки на преломление воздуха, используя таблицы показателя преломления при различных температурах и давлениях.

В магнитных измерениях источником систематической погрешности служит, как уже указывалось, магнитное поле Земли, а также электромагнитные поля, создаваемые теле- и радиопередатчиками, системами связи, линиями электропередач. В зависимости от расстояния между измерительным прибором и источником помех такого рода влияние может быть очень сильным. Методы борьбы с такими погрешностями достаточно хорошо освоены: это либо защита измерительных приборов экранами, либо измерение уровня помех другими, более чувствительными и более точными специальными приборами.

К систематическим погрешностям метода измерения относятся не только перечисленные погрешности, которые можно назвать инструментальными, поскольку они есть следствие влияния каких-либо причин на измерительный прибор, но и систематические погрешности метода или процедуры приготовления объекта к измерениям. Особенно наглядно это видно в измерениях состава веществ и материалов. Например, существует распространенный метод определения влажности зерна путем взвешивания определенного его количества до и после сушки. При этом полагается, во-первых, что испаряется вся влага и, во-вторых, что ничего, кроме воды, не испаряется. Понятно, что и то и другое справедливо только с какими-то допущениями. Другой пример - измерение содержания двуокиси серы в дымовых газах. Если в пробозаборном тракте есть следы влаги, а сам зонд находится при комнатной температуре, то сернистый газ по пути транспортировки от трубы до измерительного прибора прореагирует с парами воды с образованием серной кислоты. Естественно, что прибор покажет неверное, заниженное значение концентрации двуокиси серы.

Еще один источник систематической погрешности, связанный с несовершенством методов измерения, имеет место в тех случаях, когда приходится пользоваться при измерениях какими-либо таблицами или справочными данными. Любые данные в справочниках получены с определенной погрешностью, которая переносится на объект измерения автоматически. Такого же рода погрешности появляются при использовании стандартных образцов. Погрешности в аттестации стандартного образца непосредственно ограничиваютточность измерения в любом методе, когда используются при калибровке и градуировке стандартные образцы.

После перечисления многочисленных причин появления систематических погрешностей, заключенных в методе измерения, может показаться, что точно вообще ничего измерить невозможно. На самом деле в большинстве случаев обеспечивается достаточный запас точности, или проводятся специальные исследования по выявлению причин систематических погрешностей. После этого вносятся поправки либо в показания шкал приборов, либо в методику измерений.

Субъективные систематические погрешности

На результаты измерений непосредственное влияние оказывает квалификация персонала и индивидуальные особенности человека, работающего на приборе. Для полной реализации возможностей измерительного прибора или метода предела для совершенствования не существует. В главе, посвященной эталонам, изложена история совершенствования эталона длины. На таком уровне обычных инженерных знаний недостаточно, по этой причине процесс измерения ставят рядом с искусством. Понятно, что получить информацию о результатах измерений состава атмосферы на Венере, расшифровать ее и оценить погрешность может только очень квалифицированный человек. С другой стороны, некоторые измерения, например температуры тела человека, может выполнить любой, даже неграмотный человек.

На субъективные погрешности измерений влияют самые разнообразные особенности человека. Известно, что время реакции на звук, на свет, на запах, на тепло у каждого человека разное. Хорошо известно, что дискретные кадры в кино или в телевизоре, следующие 25 раз в секунду, воспринимаются наблюдателем как непрерывная картина. Из этого следует, что между откликом прибора и реакцией человека временной интервал в 1/25 секунды не может быть зарегистрирован.

Еще одним наглядным примером влияния оператора на результат измерения служат измерения цвета. Человеческий глаз имеет два аппарата зрения - дневной и сумеречный. Дневной аппарат представляет собой комбинацию из красных, зеленых и синих рецепторов. У большой части людей наблюдаются отклонения от средних статистических характеристик - хорошо известный дефект, называемый в обиходе дальтонизмом. У человека может ненормально функционировать либо какой-нибудь рецептор, либо какой-нибудь аппарат зрения. Принято проверять на правильность цветовосприятия только водителей транспорта. Обычный персонал, занимающийся измерениями, никто на цветовосприятие не проверяет. Это может привести к неверным измерениям координат цвета или температуры пирометром, т. е. в тех случаях, когда используются визуальные методы оценки яркости или цвета. Известно также, что у человека цветовосприятие может измениться с возрастом. Это связано с тем, что стекловидное тело глаза с возрастом желтеет, в результате чего цвет одним и тем же человеком воспринимается с годами по-разному. Некоторые художники, восстанавливавшие свои собственные картины через десятки лет, изображали все в синих тонах.

Субъективное восприятие человеком результата измерения в большой степени определяется также опытом работы. Например, при измерении состава сплавов визуальным стилометром опыт работы является определяющим в получении достоверного и точного результата. Опытный оператор по появлению спектральных линий в поле зрения прибора может определить не только тип сплава, но и количественное содержание в нем многих элементов.

Погрешность результата измерений - это разница между результатом измерений Х и истинным (или действительным) значением Q измеряемой величины

Она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины.

Погрешность средства измерения - разность между показанием средства измерения и истинным (действительным) значением физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством. Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам. Погрешности измерений определяются главным образом погрешностями средств измерений, но они не тождественны им. Так, погрешности измерений, связанные с методом измерений, и личные ошибки экспериментатора следует относить только к погрешностям измерений, но не к погрешностям средств измерений.

Погрешности измерений могут быть вызваны различными причинами и по-разному проявляться в эксперименте. В связи с этим существенно отличаются и пути уменьшения тех или иных составляющих погрешности. Все это делает целесообразным классификацию погрешностей по тому или иному признаку.

В зависимости от характера и причин появления погрешности измерений и средств измерений делят на систематические (детерминированные), случайные (стохастические) и прогрессирующие . Различают ещё грубые погрешности и промахи.

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, которая при повторении измерений изменяется случайным образом. Случайные погрешности могут быть обнаружены при повторных измерениях одной и той же величины, когда получаются неодинаковые результаты. Их нельзя исключить (так как неизвестны причины, их вызвавшие), но их влияние на результат измерения может быть теоретически учтено при обработке результатов измерений методами теории вероятностей и математической статистики.

Для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей математической обработкой экспериментальных данных.

Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, которая при повторении равноточных измерений неизменного размера остается постоянной или закономерно изменяется. Систематические погрешности могут быть изучены, при этом результат измерения может быть уточнен или путем внесения поправок, если числовые значения этих погрешностей определены, или путем применения таких способов измерения, которые дают возможность исключить влияние систематических погрешностей без их определения. Числовые значения систематических погрешностей определяются путем поверки средств измерений.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Впервые это понятие введено в 1949 г. М.Ф.Маликовым в монографии “Основы метрологии”. Отличительными особенностями такой погрешности являются:

Возможность коррекции поправками только в данный момент времени, а далее они вновь непредсказуемо изменяются;

Изменение этой погрешности во времени - нестационарный случайный процесс, и поэтому в рамках теории случайных процессов может быть описан лишь с определенными оговорками.

Прогрессирующая погрешность может возникнуть вследствие как непостоянства во времени текущего математического ожидания нестационарного случайного процесса, так и изменения во времени его дисперсии или формы закона распределения.

Грубая погрешность - случайная погрешность, существенно превышающая ожидаемую.

Результаты с грубыми погрешностями обнаруживают и исключают из рассмотрения. Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора (его психофизиологического состояния, неверного отсчета, ошибок в записях или вычислениях, неправильного включения приборов или сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов также могут быть кратковременные резкие изменения условий проведения измерений. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще промахи выявляют при окончательной обработке результатов.

В зависимости от формы числового выражения погрешности независимо от вида (систематические или случайные) различают: абсолютные и относительные- для измерений; абсолютные, относительные и приведенные - для средств измерений.

Абсолютная погрешность Δx - это разность между измеренной величиной x ном (показанием прибора x п ) и действительным значением Q измеряемой величины, т.е. для измерений

Δx=x ном-Q (3.1)

a для прибора Δx=x п-Q (3.2).

Абсолютная погрешность не может в полной мере служить показателем точности измерений, т.к. одно и то же значение, например Δx= 0,05 мм при Х=100 мм соответствует достаточно высокой точности измерений, а при Х=1 мм - низкой. Поэтому вводится понятие относительной погрешности.

относительная погрешность является более информативной (в %), которая с учетом выражений (3.1) и (3.2) определяется как

δx=(Δx/Q )·100 (3.3)

Удобно использовать выражение

δx= Δx/x ном илиδx= Δx/x п , (3.4)

Так как значения x ном или x п известны, а разница между (3.3) и (3.4) является величиной высшего порядка малости.

Эта наглядная характеристика точности результата измерения не годится для нормирования погрешности средства измерений, т.к. при измерении Q принимает различные значения вплоть до бесконечности при Q =0. В связи с этим для указания и нормирования погрешности средств измерений используется ещё одна разновидность погрешности - приведенная.

Приведенная погрешность (в %) выражается как отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению QN :

γ= (Δx/QN )·100 (3.5)

При этом QN выбирают равным:

большему из пределов измерений, если нулевое значение х является началом шкалы или находится вне диапазона измерений;

большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерений (для электроизмерительных приборов -- сумме модулей пределов измерений);

модулю разности пределов измерений, если шкала принята с условным нулем (шкала в ºС);

номинальному значению для средств измерений с номинальным значением измеряемой величины (частотомер с диапазоном измерений 45…55 Гц с f ном =50 Гц);

всей длине шкалы или её части, соответствующей диапазону измерений (при этом абсолютную погрешность выражают также в единицах длины).

В зависимости от причин возникновения погрешности делятся на инструментальные, методические, и субъективные (личные).

Инструментальная погрешность измерения - погрешность из-за несовершенства средств измерений. Эта погрешность в свою очередь обычно подразделяется на основную погрешность средств измерения и дополнительную.

Основная погрешность средства измерений - это погрешность в условиях, принятых за нормальные, т.е. нормальных значениях всех величин, влияющих на результат измерения (температуры, влажности, напряжения питания и др.). Дополнительная погрешность возникает при отличии значений влияющих величин от нормальных. Обычно различают отдельные составляющие дополнительной погрешности, например, температурную погрешность, погрешность из-за изменения напряжения питания и т.п.

Методическая погрешность - погрешность измерения, происходящая из-за несовершенства метода измерений. Эта погрешность может возникать из-за принципиальных недостатков используемого метода, из-за неполноты знаний о происходящих при измерении процессах, из-за неточности применяемых расчетных формул. Если предел допускаемой инструментальной погрешности средств измерений нормируется соответствующими документами, то методическая погрешность может и должна быть оценена только самим экспериментатором с учетом конкретных условий эксперимента, что во многих случаях представляет собой достаточно сложную задачу.

Пример 1 .

Iа - ток, измеряемый амперметром;

Iн - ток, протекающий через сопротивление нагрузки;

Iv - ток, протекающий через вольтметр;

Рн - действительное значение измеряемой мощности.

Измеренное значение в случае а):

Р=IUн=(Iн +Iv)Uн=IнUн+IvUн=Pн+IvUн.

Абсолютная погрешность Dр=Р-Рн= Pн+IvUн -Pн= IvUн.

Относительная погрешность

dр1=Dр/Рн = IvUн/ IнUн= Iv/ Iн=(Uн/Rv)/(Uн/Rн)= Rн/ Rv.

dр1® 0 при Rн ® 0 или Rv® ¥.

Измеренное значение в случае б)

Р=IнU=Iн (Uн+Uа) =IнUн+IнUа=Pн+IнUа.

Абсолютная погрешность Dр=Р-Рн= Pн+IнUа -Pн= IнUа.

Относительная погрешность

dр2=Dр/Рн = IнUа/ IнUн= Uа/ Uн =(IнRа)/(IнRн)= Rа/ Rн.

dр2 ® 0 при Rа ® 0 или Rн® ¥.

dр1=dр2 Þ Rн/ Rv= Rа/ Rн Þ Rн=Ö Rа Rv.

При Rа=0,002 Ом; Rv=1000 Ом; Rн =1,41 Ом; dр=0,14%.

Субъективная, или личная, погрешность обусловлена индивидуальными особенностями лица, выполняющего измерения. Примерами таких погрешностей являются погрешности из-за неправильного отсчитывания десятых долей деления шкалы прибора, асимметричной установки штриха оптического индикатора между двумя рисками, запаздывание реакции человека на сигнал. Автоматизация средств измерений и совершенствование конструкций отсчетных устройств и органов регулировки и управления привели к тому, что субъективные погрешности обычно незначительны, например, в цифровых приборах они практически отсутствуют.

Пример 2.

Пусть цена деления равномерной шкалы равна хд единиц измеряемой физической величины, длина деления L мм. Определить наибольшее значение личной погрешности.

При условии, что средний оператор может интерполировать в пределах деления шагами по 0,2 деления, т.е. по 0,2L, то наибольшее значение личной погрешности: Dл=(хд·0,2L)/L=0,2хд.

Если произвести поверку средства измерения, т.е. определить его основную погрешность в ряде точек шкалы, и построить зависимость абсолютной погрешности от показаний прибора, то эта зависимость может иметь двоякий характер: все значения погрешности могут оказаться в пределах прямых 1 (рис.1), параллельных оси абсцисс, или значения погрешности закономерно изменяются в пределах прямых 2.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины. Чем меньше погрешность, тем выше точность. Виды погрешностей представлены на рис. 11.

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. К систематическим относятся, например, погрешности от несоответствия действительного значения меры, с помощью которой выполнялись измерения, ее номинальному значению (погрешности показания прибора при неправильной градуировке шкалы).

Систематические погрешности могут быть изучены опытным путем и исключены из результатов измерений путем введения соответствующих поправок.

Поправка – значение величины, одноименной с измеряемой, прибавляемое к полученному при измерениях значению с целью исключения систематической погрешности.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Например, погрешности вследствие вариации показаний измерительного прибора, погрешности округления или отсчитывания показаний прибора, колебаний температуры в процессе измерения и т.д. Их нельзя установить заранее, но их влияние можно уменьшить путем многократных повторных измерений одной величины и обработкой опытных данных на основе теории вероятности и математической статистики.

К грубым погрешностям (промахам) относятся случайные погрешности, значительно превосходящие погрешности, ожидаемые при данных условиях измерения. Например, неправильный отсчет по шкале прибора, неправильная установка измеряемой детали в процессе измерения и т.д. Грубые погрешности не принимаются во внимание и исключаются из результатов измерения, т.к. являются результатом просчета.

Рис.11. Классификация погрешностей

Абсолютная погрешность – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Абсолютную погрешность определяют по формуле.

= изм. – , (1.5)

где изм. - измеренное значение; - истинное (действительное) значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения – отношение абсолютной погрешности к истинному значению физической величины (ФВ):

= или 100% (1.6)

На практике вместо истинного значения ФВ используют действительное значение ФВ, под которым подразумевают значение, отличающееся от истинного так мало, что для данной конкретной цели этим отличием можно пренебречь.

Приведенная погрешность – определяется как отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению измеряемой физической величины, то есть:

, (1.7)

где X N – нормирующее значение измеряемой величины.

Нормирующее значение X N выбирают в зависимости от вида и характера шкалы прибора. Это значение принимают равным:

Конечному значению рабочей части шкалы. X N = X К , если нулевая отметка – на краю или вне рабочей части шкалы (равномерная шкала рис.12, а - X N = 50; рис. 12, б - X N = 55; степенная шкала - X N = 4 на рис.12, е );

Сумме конечных значений шкалы (без учета знака), если нулевая отметка – внутри шкалы (рис.12, в - X N = 20 + 20 = 40; рис.12, г - X N = 20 + 40 = 60);

Длине шкалы, если она существенно неравномерна (рис.12, д ). В этом случае, поскольку длина выражается в миллиметрах, то абсолютная погрешность выражается также в миллиметрах.

Рис. 12. Виды шкал

Погрешность измерения является результатом наложения элементарных ошибок, вызываемых различными причинами. Рассмотрим отдельные составляющие суммарной погрешности измерений.

Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерения, например, неправильно выбранной схемой базирования (установки) изделия, неправильно выбранной последовательностью проведения измерений и т.п. Примерами методической погрешности являются:

- Погрешность отсчитывания – возникает из-за недостаточно точного отсчитывания показаний прибора и зависит от индивидуальных способностей наблюдателя.

- Погрешность интерполяции при отсчитывании – происходит от недостаточно точной оценки на глаз доли деления шкалы, соответствующей положению указателя.

- Погрешность от параллакса возникает вследствие визирования (наблюдения) стрелки, расположенной на некотором расстоянии от поверхности шкалы в направлении не перпендикулярном поверхности шкалы (рис. 13).

- Погрешность от измерительного усилия возникают из-за контактных деформаций поверхностей в месте соприкосновения поверхностей измерительного средства и изделия; тонкостенных деталей; упругих деформаций установочного оборудования, например, скоб, стоек или штативов.

Рис.13. Схема возникновения погрешности от параллакса.

Погрешность от параллакса n прямопропорциональна расстоянию h указателя 1 от шкалы 2 и тангенсу угла φ линии зрения наблюдателя к поверхности шкалы n = h × tg φ (рис. 13).

Инструментальная погрешность – определяется погрешностью применяемых средств измерения, т.е. качеством их изготовления. Примером инструментальной погрешности является погрешность от перекоса.

Погрешность от перекоса возникает в приборах, в конструкции которых не соблюден принцип Аббе, состоящий в том, что линия измерения должная являться продолжением линии шкалы, например перекос рамки штангенциркуля, изменяет расстояние между губками 1 и 2 (рис. 14).

Погрешность определения измеряемого размера из-за перекоса пер. = l × cosφ . При выполнении принципа Аббе l × cosφ = 0 соответственно пер . = 0.

Субъективные погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний и неопытности оператора.

Рассмотренные выше разновидности инструментальной, методической и субъективной погрешностей вызывают появление систематических и случайных погрешностей, из которых складывается суммарная погрешность измерения. Они также могут приводить к грубым погрешностям измерений. В суммарную погрешность измерения могут входить погрешности, обусловленные влиянием условий измерений. К ним относятся основные и дополнительные погрешности.

Рис.14. Погрешность измерения от перекоса губок штангенциркуля.

Основная погрешность – это погрешность средства измерения при нормальных условиях эксплуатации. Как правило, нормальными условиями эксплуатации являются: температура 293 ± 5 К или 20 ± 5°С, относительная влажность воздуха 65 ± 15% при 20°С, напряжение в сети питания 220 В ± 10% с частотой 50 Гц ± 1%, атмосферное давление от 97,4 до 104 КПа, отсутствие электрических и магнитных полей.

В рабочих условиях, зачастую отличающихся от нормальных более широким диапазоном влияющих величин, появляется дополнительная погрешность средств измерений.

Дополнительная погрешность возникает в результате нестабильности режима работы объекта, электромагнитных наводок, колебания параметров источников питания, наличия влаги, ударов и вибраций, температуры и т.п.

Например, отклонение температуры от нормального значения +20°С приводит к изменению длины деталей измерительных средств и изделий. Если невозможно выполнить требования к нормальным условиям, то в результат линейных измерений следует вводить температурную поправку DХ t , определяемую по формуле:

DХ t = Х ИЗМ .. [α 1 (t 1 -20)- α 2 (t 2 -20)] (1.8)

где Х ИЗМ . - измеряемый размер; α 1 и α 2 - коэффициенты линейного расширения материалов измерительного средства и изделия; t 1 и t 2 - температуры измерительных средств и изделия.

Дополнительную погрешность нормируют в виде коэффициента, указывающего «на сколько» или «во сколько» изменяется погрешность при отклонении номинального значения. Например, указание, что температурная погрешность вольтметра составляет ±1% на 10°С, означает, что при изменении среды на каждые 10°С добавляется дополнительная погрешность 1%.

Таким образом, повышение точности измерения размеров добиваются за счет уменьшения влияния отдельных погрешностей на результат измерения. Например, нужно выбирать наиболее точные приборы, устанавливать их на ноль (размер) по концевым мерам длины высокого разряда, поручать измерения опытным специалистам и т.д.

Статические погрешности являются постоянными, не изменяющимися в процессе измерения, например неправильная установка начала отсчета, неправильная настройка СИ.

Динамические погрешности являются переменными в процессе измерения; они могут монотонно убывать, возрастать или изменяться периодически.

На каждое средство измерений погрешность приводится только в какой-то одной форме.

Если погрешность СИ при неизменных внешних условиях постоянна во всем диапазоне измерений (задается одним числом), то

D = ± а . (1.9)

Если погрешность меняется в указанном диапазоне (задается линейной зависимостью), то

D = ± (а + bx) (1.10)

При D = ± а погрешность называется аддитивной , а при D =± (а+bx) – мультипликативной .

Если погрешность выражается в виде функции D = f(x) , то она называется нелинейной .

При измерениях может быть несколько источников погрешностей, поэтому важным является вопрос о правилах нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. В теории вероятностей показывается, что если погрешность измерений вызвана несколькими независимыми друг от друга случайными причинами, то полная абсолютная погрешность Δх измеряемой величины определяется путем суммирования квадратов складываемых погрешностей по формуле

где ∆х сл – случайная погрешность (2) прямых измерений, ∆х пр – приборная погрешность.

Полная относительная погрешность измерения

, (7)

где ε сл , ε пр – случайная и приборная относительные погрешности.

При выполнении расчетов для всех составляющих полной погрешности выбирается одинаковое значение доверительной вероятности. Такая же вероятность будет и для полной абсолютной погрешности Δх . Из простых расчетов по формуле (7) следует, что если какая-либо из складываемых погрешностей в три и более раза меньше другой, то ее вклад в полную погрешность оказывается незначительным и такой погрешностью можно пренебречь.

Иногда при многократных измерениях получается одно и то же значение измеряемой физической величины. В этом случае случайная погрешность не превышает наименьшего значения, которое может быть измерено данным прибором, а именно – цены деления прибора, т.е. полная погрешность целиком определяется допустимой приборной погрешностью.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций.

1. Вычисляется среднее арифметическое значение из n результатов измерений

2. Определяются случайные отклонения

.

3. Предварительно определив по табл. 1 коэффициент Стьюдента для числа измерений n и доверительной вероятности Р = 0,95, рассчитывается случайная погрешность

.

4. Определяется приборная погрешность

.

5. Находится полная абсолютная погрешность результата измерений

.

6. Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

7. Записывается окончательный результат в виде:

, .

Поскольку значения физических величин, полученные в результате измерений и обработки результатов измерений, имеют погрешности, они являются приближенными числами. Перед окончательной записью результата полученные при расчете числа следует округлить, т. е. уменьшить количество их значащих цифр. Так как найденные значения погрешностей также являются числами приближенными, то в соответствии с точностью методов обработки результатов измерений абсолютная погрешность определяется не более чем до двух первых значащих цифр. При простейших методах обработки в вычисленной абсолютной погрешности вторая цифра, как правило, неверна. Поэтому абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. Например, ΔL = 0,467569 мм ≈ 0,5 мм;
ΔR = 7,679 Ом ≈ 8 Ом.

Исключением из этого правила являются погрешности, первая цифра в значении которых единица. Тогда во избежание грубой ошибки при округлении в абсолютной погрешности следует оставить две значащие цифры, а в относительной – одну. Например, ΔL = 0,167569 мм ≈ 0,17 мм; ΔR = 1,3791 Ом ≈ 1,4 Ом.

Знание погрешности измерений позволяет правильно записать окончательный ответ, оставив в нем только верные и одну или две сомнительные цифры. Последняя цифра результата и последняя значащая цифра его абсолютной погрешности должны принадлежать к одному и тому же десятичному разряду.

Окончательный результат измерений записывается вместе с погрешностью и доверительной вероятностью и должен иметь, например, следующий вид:

L = (1,12 ± 0,17) мм, Р = 0,95

при округлении погрешности до двух цифр, и

L = (1,12 ± 0,04) мм, Р = 0,95

при округлении погрешности до одной значащей цифры.