Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника .

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

треугольник прямоугольный.

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений ).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H .

Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения:

получаем:

,

что соответствует -

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

справа.

Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

​

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

треугольников):

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим:

Цели урока:

общеобразовательные:

• проверить теоретические знания учащихся (свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора), умение использовать их при решении задач;
• создав проблемную ситуацию, подвести учащихся к “открытию” обратной теоремы Пифагора.

развивающие:

• развитие умений применять теоретические знания на практике;
• развитие умения формулировать выводы при наблюдениях;
• развитие памяти, внимания, наблюдательности:
• развитие мотивации учения через эмоциональное удовлетворение от открытий, через введение элементов истории развития математических понятий.

воспитательные:

• воспитывать устойчивый интерес к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора;
• воспитание взаимопомощи и объективного оценивания знаний одноклассников через взаимопроверку.

Форма урока: классно-урочная.

План урока:

• Организационный момент.
• Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.
• Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.
• Новая тема.
• Первичное закрепление знаний.
• Домашнее задание.
• Итоги урока.
• Самостоятельная работа (по индивидуальным карточкам с отгадыванием афоризмов Пифагора).

Ход урока.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.

Учитель: Какое задание вы выполняли дома?

Ученики: По двум данным сторонам прямоугольного треугольника найти третью сторону, ответы оформить в виде таблицы. Повторить свойства ромба и прямоугольника. Повторить, что называется условием, а что заключением теоремы. Подготовить сообщения о жизни и деятельности Пифагора. Принести веревку с 12-ю завязанными на ней узлами.

Учитель: Ответы к домашнему заданию проверьте по таблице

(черным цветом выделены данные, красным – ответы).

Учитель: На доске записаны утверждения. Если вы согласны с ними на листочках напротив соответствующего номера вопроса поставьте “+”, если не согласны, то поставьте “–”.

На доске заранее написаны утверждения.

1. Гипотенуза больше катета.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180 0 .
3. Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и в вычисляется по формуле S=ab/2 .
4. Теорема Пифагора верна для всех равнобедренных треугольников.
5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.
6. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
7. Квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и второго катета.
8. Сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

Проверяются работы с помощью взаимопроверки. Утверждения, вызвавшие споры, – обсуждаются.

Ключ к теоретическим вопросам.

Учащиеся ставят друг другу оценки по следующей системе:

8 правильных ответов “5”;
6-7 правильных ответов “4”;
4-5 правильных ответов “3”;
меньше 4 правильных ответов “2”.

Учитель: О чем мы говорили на прошлом уроке?

Ученик: О Пифагоре и его теореме.

Учитель: Сформулируйте теорему Пифагора. (Несколько учеников читают формулировку, в это время 2-3 ученика доказывают ее у доски, 6 учеников – за первыми партами на листочках).

На магнитной доске на карточках написаны математические формулы. Выберите те из них, которые отражают смысл теоремы Пифагора, где а и в – катеты, с – гипотенуза.

1) с 2 = а 2 + в 2	2) с = а + в	3) а 2 = с 2 – в 2
4) с 2 = а 2 – в 2	5) в 2 = с 2 – а 2	6) а 2 = с 2 + в 2

Пока учащиеся, доказывающие теорему у доски и на местах, не готовы, слово предоставляется тем, кто подготовил сообщения о жизни и деятельности Пифагора.

Школьники, работающие на местах, сдают листочки и слушают доказательства тех, кто работал у доски.

Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.

Учитель: предлагаю вам практические задачи с применением изучаемой теоремы. Побываем сначала в лесу, после бури, потом на загородном участке.

Задача 1 . После бури сломалась ель. Высота оставшейся части 4,2 м. Расстояние от основания до упавшей макушки 5,6 м. Найти высоту ели до бури.

Задача 2 . Высота дома 4,4 м Ширина газона вокруг дома 1,4 м. Какой длины надо изготовить лестницу, чтобы она не заступала на газон и доставала до крыши дома?

Новая тема.

Учитель: (звучит музыка) Закройте глаза, на несколько минут мы окунемся в историю. Мы с вами в Древнем Египте. Вот на верфях египтяне строят свои знаменитые корабли. А вот землемеры, они измеряют участки земли, границы которых смылись после разлива Нила. Строители строят грандиозные пирамиды, которые до сих пор поражают нас своим великолепием. Во всех этих видах деятельности египтянам необходимо было использовать прямые углы. Они умели строить их с помощью веревки с 12 ю завязанными на одинаковом расстоянии друг от друга узелками. Попробуйте и вы, рассуждая как древние египтяне, построить с помощью своих веревок прямоугольные треугольники. (Решая эту проблему, ребята работают в группах по 4 человека. Через некоторое время на планшете у доски кто-то показывает построение треугольника).

Стороны полученного треугольника 3, 4 и 5. Если между этими узлами завязать еще по одному узлу, то его стороны станут 6, 8 и 10. Если по два – 9, 12 и 15. Все эти треугольники являются прямоугольными т. к.

5 2 = 3 2 + 4 2 , 10 2 = 6 2 + 8 2 , 15 2 = 9 2 + 12 2 и т.д.

Каким свойством должен обладать треугольник, чтобы быть прямоугольным? (Учащиеся пытаются сами сформулировать обратную теорему Пифагора, наконец, у кого-то это получается).

Чем эта теорема отличается от теоремы Пифагора?

Ученик: Условие и заключение поменялись местами.

Учитель: Дома вы повторяли, как называются такие теоремы. Так с чем мы сейчас познакомились?

Ученик: С обратной теоремой Пифагора.

Учитель: Запишем в тетради тему урока. Откройте учебники на стр. 127 прочитайте еще раз это утверждение, запишите его себе в тетрадь и разберите доказательство.

(После нескольких минут самостоятельной работы с учебником по желанию один человек у доски приводит доказательство теоремы).

1. Как называется треугольник со сторонами 3, 4 и 5? Почему?
2. Какие треугольники называются пифагоровыми?
3. С какими треугольниками вы работали в домашнем задании? А в задачах с сосной и лестницей?

Первичное закрепление знаний

.

Эта теорема помогает решать задачи, в которых надо выяснить, будут ли треугольники прямоугольными.

Задания:

1) Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны:

а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.

2) Вычислите высоты треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Домашнее задание

.

Стр.127:обратная теорема Пифагора. № 498(а,б,в) № 497.

Итоги урока.

Что нового узнали на уроке?

Как в Египте использовали обратную теорему Пифагора?

При решении каких задач она применяется?

C какими треугольниками познакомились?

Что больше всего запомнилось и понравилось?

Самостоятельная работа (проводится по индивидуальным карточкам).

Учитель: Дома вы повторяли свойства ромба и прямоугольника. Перечислите их (идет беседа с классом). На прошлом уроке мы говорили о том, что Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был спортсменом и участвовал в олимпийских играх. А еще Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас. Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу. К каждому заданию дано несколько вариантов ответов, рядом с которыми записаны фрагменты афоризмов Пифагора. Ваша задача – решив все задания, составить из полученных фрагментов высказывание и записать его.

Тема: Теорема, обратная теореме Пифагора.

Цели урока: 1) рассмотреть теорему, обратную теореме Пифагора; ее применение в процессе решения задач; закрепить теорему Пифагора и совершенствовать навыки решения задач на ее применение;

2) развивать логическое мышление, творческий поиск, познавательный интерес;

3) воспитывать у учащихся ответственного отношения к учению, культуры математической речи.

Тип урока. Урок усвоения новых знаний.

Ход урока

І. Организационный момент

ІІ. Актуализация знаний

Урок мне бы хотелось начать с четверостишья.

Да, путь познания не гладок

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет!

Итак, на прошлом уроке вы выучили теорему Пифагора. Вопросы:

Теорема Пифагора справедлива для какой фигуры?

Какой треугольник называют прямоугольным?

Сформулируйте теорему Пифагора.

Как запишется теорема Пифагора для каждого треугольника?

Какие треугольники называются равными?

Сформулируйте признаки равенства треугольников?

А теперь проведем небольшую самостоятельную работу:

Решение задач по чертежам.

№1

(1 б.) Найти: АВ.

№2

(1 б.) Найти: ВС.

№3

( 2 б.) Найти: АС

№4

(1 б.) Найти: АС

№5 Дано: АВС D ромб

(2 б.) АВ = 13 см

АС = 10 см

Найти: В D

Самопроверка №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Изучение нового материала.

Древние египтяне строили прямые углы на местности таким образом: делили узлами веревку на 12 равных частей, связывали ее концы, после чего веревку растягивали так на земле, чтобы образовался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, который лежал против стороны с 5 делениями, был прямой.

Можете ли вы объяснить правильность этого суждения?

В результате поиска ответа на вопрос учащиеся должны понять, что с математической точки зрения вопрос ставится: будет ли треугольник прямоугольным.

Ставим проблему: как, не делая измерений, определить, будет ли треугольник с заданными сторонами прямоугольным. Решение этой проблемы и есть цель урока.

Запишите тему урока.

Теорема. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.

Самостоятельно доказывают теорему (составляют план доказательства по учебнику).

Из этой теоремы следует, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный (египетский).

Вообще, числа, для которых выполняется равенство , называют пифагоровыми тройками. А треугольники, длины сторон которых выражаются пифагоровыми тройками (6, 8, 10), - пифагоровы треугольники.

Закрепление.

Т.к. , то треугольник со сторонами 12, 13, 5 не является прямоугольным.

Т.к. , то треугольник со сторонами 1, 5, 6 является прямоугольным.

№ 430 (а, б, в)

( - не является)

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a 2 + b 2 = c 2 ,

• a и b – катеты, образующие прямой угол.
• с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

• a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
• b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
• c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

• p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c) ,
• r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c , такой, что

a 2 + b 2 = c 2 ,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

Дополнительный материал:

Цели урока:

Образовательная: сформулировать и доказать теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора. Показать их историческое и практическое значение.

Развивающая: развивать внимание, память, логическое мышление учащихся, умение рассуждать, сравнивать, делать выводы.

Воспитывающая: воспитывать интерес и любовь к предмету, аккуратность, умение слушать товарищей и учителя.

Оборудование: Портрет Пифагора, плакаты с задачами для закрепления, учебник “Геометрия” 7-9 классы (И.Ф. Шарыгин).

План урока:

I. Организационный момент – 1 мин.

II. Проверка домашнего задания – 7 мин.

III. Вступительное слово учителя, историческая справка – 4-5 мин.

IV. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора – 7 мин.

V. Формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора – 5 мин.

Закрепление нового материала:

а) устное – 5-6 мин.
б) письменное – 7-10 мин.

VII. Домашнее задание – 1 мин.

VIII. Подведение итогов урока – 3 мин.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

п.7.1, № 3 (у доски по готовому чертежу).

Условие: Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 1 и 2. Найдите катеты этого треугольника.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = h C

Дополнительный вопрос: записать соотношения в прямоугольном треугольнике.

п.7.1, № 5. Разрежьте прямоугольный треугольник на три подобных между собой треугольника.

Объясните.

АСН ~ АВС ~ СВН

(обратить внимание учащихся на правильность записи соответственных вершин подобных треугольников)

III. Вступительное слово учителя, историческая справка.

Пребудет вечной истина, как скоро её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далекий век.

Не случайно я начала свой урок со слов немецкого писателя-романиста Шамиссо. Наш урок сегодня посвящен теореме Пифагора. Запишем тему урока.

Перед вами портрет великого Пифагора. Родился в 576 году до нашей эры. Прожив 80 лет, умер в 496 году до нашей эры. Известен как древнегреческий философ и педагог. Был сыном торговца Мнесарха, который брал его часто в свои поездки, благодаря которым у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Пифагор – это прозвище, данное ему за красноречие (“Пифагор” - значит “убеждающий речью”). Сам он ничего не писал. Все его мысли записывали его ученики. В результате первой же прочитанной лекции, Пифагор приобрел 2000 учеников, которые вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное “Великая Греция”, в основу которого положены законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди. Он был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием). Был склонен к мистификации и демонстративности в поведении. Однажды Пифагор спрятался под землей, а обо всем происходящем узнавал от матери. Потом, иссохший как скелет, он заявил в народном собрании, что был в Аиде, и показал удивительную осведомленность о земных событиях. За это растроганные жители признали его Богом. Пифагор никогда не плакал и вообще был недоступен страстям и волнению. Считал, что он происходит из семени, лучшего сравнительно с человеческим. Вся жизнь Пифагора – легенда, дошедшая до нашего времени и рассказавшая нам о талантливейшем человеке древнего мира.

IV. Формулировка и доказательство теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы Пифагора известна вам с курса алгебры. Давайте вспомним её.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Однако эту теорему знали за много лет до Пифагора. За 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружении зданий. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении “Чжиу-би”, написанным за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Ещё раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора. Их известно более полутора сотен. Давайте вспомним алгебраическое доказательство теоремы Пифагора, известное нам из курса алгебры. (“Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных” Г.В. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000 г).

Предложить учащимся вспомнить доказательство к чертежу и записать его на доске.

(а + b) 2 = 4· 1/2 а * b + с 2 b а

а 2 + 2а * b + b 2 = 2а * b + с 2

а 2 + b 2 = с 2 а а b

Древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: “Смотри”.

Рассмотрим в современном изложении одно из доказательств, принадлежащих Пифагору. Вначале урока мы вспомнили теорему о соотношениях в прямоугольном треугольнике:

h 2 = а 1* b 1 а 2 = а 1* с b 2 = b 1* с

Сложим почленно последних два равенства:

b 2 + а 2 = b 1* с + а 1* с = (b 1 + а 1) * с 1 = с * с = с 2 ; а 2 + b 2 = с 2

Несмотря на кажущуюся простоту этого доказательства, оно далеко не самое простое. Ведь для этого нужно было провести высоту в прямоугольном треугольнике и рассмотреть подобные треугольники. Запишите, пожалуйста, это доказательство в тетради.

V. Формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора.

А какая теорема называется обратной к данной? (…если условие и заключение меняются местами.)

Давайте теперь попробуем сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

Если в треугольнике со сторонами а, b и с выполняется равенство с 2 = а 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне с.

(Доказательство обратной теоремы на плакате)

АВС, ВС = а,

АС = b, ВА = с.

а 2 + b 2 = с 2

Доказать:

АВС – прямоугольный,

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник А 1 В 1 С 1,

где С 1 = 90° , А 1 С 1 = а, А 1 С 1 = b.

Тогда по теореме Пифагора В 1 А 1 2 = а 2 + b 2 = с 2 .

То есть В 1 А 1 = с А 1 В 1 С 1 = АВС по трем сторонам АВС - прямоугольный

С = 90° , что и требовалось доказать.

VI. Закрепление изученного материала (устно).

1. По плакату с готовыми чертежами.

Рис.1: найдите АD, если ВD = 8, ВDА = 30°.

Рис.2: найдите CD, если ВЕ = 5, ВАЕ = 45°.

Рис.3: найдите ВD, если ВС = 17, АD = 16.

2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (нет)	9 2 + 12 2 = 15 2 (да)	15 2 + 20 2 = 25 2 (да)

Как называются тройки чисел в двух последних случаях? (Пифагоровы).

VI. Решение задач (письменно).

№ 9. Сторона равностороннего треугольника равна а. Найдите высоту этого треугольника, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности.

№ 14. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен медиане, проведенной к гипотенузе, и равен половине гипотенузы.

VII. Домашнее задание.

Пункт 7.1, стр. 175-177, разобрать теорему 7.4 (обобщенная теорема Пифагора), № 1(устно), № 2, № 4.

VIII. Итоги урока.

Что нового вы узнали сегодня на уроке? …………

Пифагор прежде всего был философом. Вот сейчас хочу вам прочитать несколько его изречений, актуальных и в наше время для нас с вами.

• Не поднимай пыли на жизненном пути.
• Делай лишь то, что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
• Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
• Приучайся жить просто и без роскоши.