Не любишь математику? Ты просто не умеешь ею пользоваться! На самом деле, это увлекательная наука. И наша подборка необычных методов умножения подтверждает это.

Умножай на пальцах, как купец

Этот метод позволяет умножать числа от 6 до 9 . Для начала согни обе руки в кулаки. Затем на левой руке отогни столько пальцев, на сколько первый множитель больше числа 5. На правой проделай то же самое для второго множителя. Посчитай количество разогнутых пальцев и умножь сумму на десять. А теперь перемножь сумму загнутых пальцев левой и правой руки. Сложив обе суммы, получишь результат.

Пример. Умножим 6 на 7. Шесть больше пяти на один, значит на левой руке отгибаем один палец. А семь - на два, значит на правой - два пальца. В сумме - это три, а после умножения на 10 - 30. Теперь перемножим четыре загнутых пальца левой руки и три - правой. Получим 12. Сумма 30 и 12 даст 42.

Вообще-то здесь речь идет о простой таблице умножения, которую хорошо бы знать наизусть. Но этот метод хорош для самопроверки, да и пальцы размять полезно.

Умножай, как Ферроль

Этот способ получил название по фамилии немецкого инженера, который им пользовался. Метод позволяет быстро перемножить числа от 10 до 20 . Если потренируешься, то сможешь делать это даже в уме.

Суть простая. В итоге всегда будет получаться трехзначное число. Так что сначала считаем единицы, потом - десятки, затем - сотни.

Пример. Умножим 17 на 16. Чтобы получить единицы, умножаем 7 на 6, десятки - складываем произведение 1 и 6 с произведением 7 и 1, сотни - умножаем 1 на 1. В итоге получим 42, 13 и 1. Для удобства запишем их в столбик и сложим. Вот и итог!

Умножай, как японец

Этот графический способ, которым пользуются японские школьники, позволяет легко перемножить двух- и даже трехзначные числа. Чтобы опробовать его, приготовь бумагу и ручку.

Пример. Умножим 32 на 143. Для этого нарисуем сетку: первое число отразим тремя и двумя линиями с отступом по горизонтали, а второе - одной, четырьмя и тремя линиями по вертикали. В местах пересечения линий поставим точки. В итоге у нас должно получиться четырехзначное число, поэтому условно разделим таблицу на 4 сектора. И пересчитаем точки, попавшие в каждый из них. Получаем 3, 14, 17 и 6. Чтобы получить ответ, лишние единички у 14 и 17 прибавим к предыдущему числу. Получим 4, 5 и 76 - 4576.

Умножай, как итальянец

Еще один интересный графический способ используется в Италии. Пожалуй, он проще японского: точно не запутаешься при переносе десятков. Чтобы перемножить большие числа с его помощью, нужно начертить сетку . По горизонтали сверху записываем первый множитель, а по вертикали справа - второй. При этом на каждую цифру должна приходиться одна клетка.

Теперь перемножим цифры каждого ряда на цифры каждой колонки. Результат запишем в клетку (разделенную надвое) на их пересечении. Если получилось однозначное число, то в верхнюю часть клетки пишем 0, а в нижнюю - полученный результат.

Осталось сложить все числа, оказавшиеся в диагональных полосках. Начинаем с нижней правой клетки. Десятки при этом прибавляем к единицам в соседнем столбике.

Вот как мы умножили 639 на 12.

Весело, правда? Нескучной тебе математики! И помни, что гуманитарии в ИТ тоже нужны!

Индийский способ умножения

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:

Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК»

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.

Агафуров Максим

Рецензия на научно-исследовательскую работу учащегося.

1. Исследовательская работа выполнена учеником 7 «А» класса МБОУ «СОШ № 2» Агафуровым Максимом.
2. Руководитель исследования: учитель математики – Лукьянова О.А.
3. Тема работы: «Необычные способы умножения». Вид работы: реферативная. Данная работа является актуальной на сегодняшний день, т.к. знание упрощенных приемов устных вычислений ос­тается необходимым даже при полной механизации всех наибо­лее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькуля­тора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
4. Выполнена исследовательская часть работы. Изложены объяснения данных примеров и сделаны соответствующие выводы.
5. Цели и задачи научно-исследовательской работы сформулированы грамотно, соответствуют заявленной теме.
6. Специальная литература изучена качественно с достаточной глубиной.
7. Выводы научно-исследовательской работы логичны, теоретически обоснованы.
8. В работе представлена исследовательская часть на достаточном уровне. Ее описание соответствует выводам. Большая часть работы выполнялась в основном самостоятельно, с небольшими направляющими советами и действиями руководителя.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Введение
Способы умножения многозначных чисел
1.1.«Ревность, или решётчатое умножение»……………………………..4
1.2.«Русский крестьянский способ»………………………………………5 1.3. «Китайский способ умножения»……………………………………...6
Исследовательская часть.
2.1. Возведение в квадрат любого двузначного числа…………………...6 2.2. Квадрат числа, близкого к «круглому»………………………………7
2.4. Новый способ возведения в квадрат чисел от 40 до 60………………7 2.5. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5…………………8 2.6 Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1…………………8 2.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6…………………8 2.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9…………………8 2.9. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4…………………8 Заключение. Список литературы.

Введение « Счет и вычисления –

Основы порядка в голове».

Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.

Актуальность: Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений? Оказалось, что можно умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики, но и по-другому. Используя интернет-ресурсы, я узнал много необычных способов умножений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Цель исследования :

• Найти как можно больше необычных способов вычислений.
• Научиться их применять.
• Выбрать для себя самые интересные, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Задачи исследования:

1. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ», «Линейный способ».

2. Исследовать приемы устного возведения чисел в квадрат и применять их на практике.

Немного истории.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство было недоступно.

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

1.1. «Ревность, или решётчатое умножение»

Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и «маленький замок».

Умножим 347 на 29.

Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.

Вверху таблицы запишем число 347, а справа сверху вниз – 29

В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в верхнем треугольнике, а единицы – в нижнем. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются слева и справа от таблицы.

Ответ – 10063.

Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.2. «Русский крестьянский способ»

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Ответ – 1972026.

1.3.Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.

Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже - 2 синие. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем - 1 малиновую . ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый, второго числа - из нижнего левого, в верхний правый . Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области (область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно, ответ: 672.

2. Исследовательская часть

Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе.

Также хочется добавить в работу способы устного возведения чисел в квадрат без использования калькулятора и, что является необходимым при решении задач ГИА и ЕГЭ, а так же является хорошей тренировкой ума.

А теперь перейдем к некоторым интересным и мне понравившимся способам устного возведения чисел в квадрат, применяемых на уроках алгебры и геометрии.

2.1. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2 =100M-2500+2500–100M+M 2 =M 2 .

2.2.Квадрат числа, близкого к «круглому».

Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле

А ² = (а + в ) (а – в ) + в ²,

В которой удачный подбор числа в сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число в должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а , близких к «круглым».

192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3. Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

2.4. Возведение в квадрат чисел от 50 до60.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 или (1*2 и приписываем справа 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 и приписываем справа 25)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 и приписываем справа 25)

2.6. Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

Пример № 6. 71 2 = ?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Пример №7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

Пример №8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Пример № 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а b) 2 =а 2 +b 2 2аb.

Пример № 10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

1. В ходе моей работы я нашел и освоил различные способы умножения многозначных чисел и могу констатировать следующее - большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения

Способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;

-«русский крестьянский» способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов. Но он также очень громоздкий.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.

Самым простым мне показался китайский способ умножения, который использовали китайцы, так как он не требует знаний таблицы умножения. Научившись считать всеми представленными способами, я пришел к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

2. Я узнал некоторые приемы устного счета, которые помогут мне в жизни. Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучил новые для меня способы умножения, рассмотрел различные приемы возведения чисел в квадрат. Многие вычисления связаны с формулами сокращенного умножения, которые я изучил на уроках алгебры. Используя упрощенные приёмы устных вычислений, я теперь могу производить наиболее трудоёмкие арифметические действия без применения калькулятора и компьютера. Заинтересовался не только я, но и мои родители. Я показал приемы устного умножения своим друзьям и одноклассникам. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда не имеешь в своем распоряжении таблиц или калькулятора. У меня появилось желание продолжить эту работу и узнать ещё приемы устного счёта. Я думаю, что моя работа не пройдет для меня зря, все полученные знания я смогу использовать при сдаче ГИА и ЕГЭ.

Донской, 2013 г.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

Минчева Анна, ученица 6 класса МАОУ СОШ №37 г. Улан-Удэ

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Актуальность темы исследования состоит в том, что знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

Научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»

Секция: Арифметика

«Различные способы умножения: от древности до нашего времени»

Выполнила:

Минчева Анна,

ученица 6«бкласса

Руководитель:

Конева Галина Михайловна,

Учитель математики,

«Отличник просвещения РФ»,

Победитель Конкурса лучших учителей России(2009 г)

Улан-Удэ

2017

Рецензия.

Я считаю, что ученица проделала большую работу, и этот доклад будет интересен учащимся, увлекающимся математикой, будущим экономистам.

Учитель высшей категории: Конева Г.М.

План.

1.Введение

2.Основная часть. Способы умножения натуральных чисел

2.1. Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами

2.2. Умножение способом «Ревность, или решётчатое умножение»

2.3. Умножение способом «Маленький замок»

2.4. Крестьянский способ умножения

2.5. Индийский способ умножения

2.6.Геометрический способ умножения

2.7.Оригинальный способ умножения на 9 на пальцах

2.8.Способ Оконешникова

3.Заключение

«Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев делать
его немного занимательным». Б. Паскаль

1. Введение.

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

На одном из уроков учитель математики показала, как можно умножить, например число 23 на 11. Для этого нужно мысленно раздвинуть цифры 2 и 3, а на это место поставить цифру 5, то есть сумму цифр 2 и 3. Получилось число 253. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Актуальность темы исследования состоит в том, что знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Цель работы:

Исследовать и изучить необычные способы умножения.

Задачи исследования:

1.Найти как можно больше необычных способов вычислений.

2.Научиться их применять.

3.Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

4.Обучить своих одноклассников различным методам умножения, организовать соревнование – математический бой на занятиях внеурочной деятельности.

Методы исследования:

Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

Исследовательский метод при определении способов умножения;

Практический метод при решении примеров.

II. Из истории вычислительной практики

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Я начала изучать и исследовать некоторые из указанных способов и выбрала наиболее интересные.

III. Различные способы умножения.

3.1.Способ перекрестного умножения при действии с двузначными числами

Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».

Пример: 52 х 23 = 1173 5 1

Последовательно производим следующие действия:

1. 1 х 3 = 3 – это последняя цифра результата.

2. 5 х 3 = 15; 1х 2 = 2; 15 + 2 = 17.

7 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 5 х 2 = 10, 10 + 1 = 11 – это первые цифры в ответе.

Ответ: 1173.

3.2. Древний способ Луки Пачоли: «Ревность, или решётчатое умножение»

За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.

Умножим число 987 на число 1998.

Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.

Вверху таблицы запишем число 987, а слева снизу вверх – 1998 (рис. 1).

В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы – в верхнем. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и слева от таблицы .

Рис. 1 «Ревность, или решётчатое умножение».

Ответ: 1972026.

3.3.Еще один способ Луки Пачоли: «Маленький замок»

Одно число записывается под другим как при умножении столбиком (рис. 2). Затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.

Полученные числа складывают между собой.

Рис. 2 «Маленький замок»

Ответ:1972026.

Вывод:

Сравним результаты, полученные при умножении чисел 987 и 1998 этими двумя способами. Ответы равны 1972026.

Очевидно, что данные старинные способы умножения действительно очень сложны и требуют обязательного знания таблицы умножения.

3.4. Русский крестьянский способ умножения

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке (рис. 3). Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.

Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Рис. 3 «Русский крестьянским способом»

Ответ: 1972026.

Вывод: Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения Луки Пачоли. Но он также очень громоздкий.

3.5. Индийский способ умножения

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222. Ответ: 3222

3.6. Геометрический способ умножения

В данном способе используется геометрическая фигура – круг.

Сначала рассмотрим этот способ на примере. Умножим, например, число 13 на 24.

1)Чертим круги. Так как первый множитель двузначное число, то две строки; второй множитель тоже двузначное число, то и два столбца. Так число десятков в первом множителе равно 1, то в первой строке чертим по одному кругу, то есть ничего не меняем. Так как число единиц первого множителя равно 3, то во второй строке чертим по три круга. (рис. 4).

Рис. 4

2)Второй множитель число 24, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части

(рис. 5).

Рис. 5

3)Проводим прямые и считаем точки (рис. 6).

Рис. 6 Рис. 7

Ответ записывается следующим образом (рис. 7), смотрим снизу вверх количество точек 12, 2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, того 11, 1 пишем и один в уме, количество точек в третьей области 2 и +1, итого 3. Ответ: 312.

Этим способом я решила много примеров. Затем обобщила частные примеры и сделала вывод-правило :

1.Чертим круги. Количество цифр в первом множителе означает количество строк, а количество цифр второго множителя означает количество столбцов.

Если число содержит 0, круг, обозначающий ноль, чертим пунктирной линией. Это воображаемая линия, точек на ней не существует.

2.Первая цифра первого множителя означает количество концентрических кругов в первой строке, вторая цифра первого множителя означает количество кругов во второй строке

3.Цифры второго множителя означают, на сколько частей нужно делить круги: первая цифра – для первого столбца, вторая цифра – для второго, и т.д.

4.Получим круги, поделенные на части. В каждой части ставим точку.

6.Записываем ответ по принципу, рассмотренному в примере.

3.6. Оригинальный способ умножения на 9 на пальцах

Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 … 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

3.7.Современный способ Оконешникова

Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

III. Заключение.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.

Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

Заинтересовал меня новый способ умножения, потому что он позволяет в уме «ворочать» огромными числами.

Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.

Литература.

Литература.

Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 - 12 с.

Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994-205с.

Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.

Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.

Кандидат педагогических наук Наталья Карпушина.

Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

Джон Непер (1550-1617).

Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

Вильгельм Шиккард (1592-1635).

Наследие индусов — способ решётки

Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, - умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения - в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского - «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, - по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально - число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй - десятки, в третьей - сотни и т.д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Палочки Непера

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора - палочек Непера. Его изобретатель Джон Непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней - число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие - с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296). Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке). Цифры в ней образуют уже знакомый нам набор.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, рассмотрев седьмую строку, найдём, что 296 x 7 = 2072, тогда 296 x 70 = 20 720. Таким образом,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Палочки Непера применялись и для более сложных операций - деления и извлечения квадратного корня. Этот счётный прибор не раз пытались усовершенствовать и сделать более удобным и эффективным в работе. Ведь в ряде случаев для умножения чисел, например с повторяющимися цифрами, нужны были несколько комплектов палочек. Но такая проблема решалась заменой линеек вращающимися цилиндрами с нанесённой на поверхность каждого из них таблицей умножения в том же виде, как её представил Непер. Вместо одного набора палочек получалось сразу девять.

Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

Машина Шиккарда

Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.