Презентацию выполнил

Презентацию выполнил учащийся 6 «А» класса МОУ СОШ № 5 г. Кстово Красильников Владимир Учитель Гущина Т.Л. 2011г.

Золотое сечение (золотая пропорция)

Деление непрерывной величины на две части

в таком отношении, при котором

большая часть так относится к меньшей, как вся величина к большей.

Термин «золотое сечение»

(goldener Schnitt)

был введён в обиход

Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD.

Отрезав квадрат от прямоугольника,

построенного по принципу золотого сечения,

мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник

с тем же отношением сторон

Каждый конец пятиугольной звезды

представляет собой золотой треугольник.

Его стороны образуют угол 36° при вершине,

а основание, отложенное на боковую сторону,

делит ее в пропорции золотого сечения.

Пифагор – древнегреческий философ и математик

Vl в. до н. э.

Первый ввёл понятие золотого сечения

Пирамида Хеопса

площадь боковой поверхности Пирамиды относится к площади основания, как площадь полной поверхности Пирамиды к площади боковой поверхности.

Гробница Тутанхамона

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.

Применил золотое сечение

создавая геометрию

Рассказывал, что Вселенная устроена согласно золотому сечению

Аристотель

Нашёл соответствие золотого сечения этическому закону

Лука Пачоли

1509 издал книгу

«Божественная пропорция»

1 побег- 100ед.

Размер грудной и брюшной части тела отвечает

золотой пропорции

Яйцо птицы имеет

золотые пропорции

Длинна хвоста ящерицы относится к длиннее остального тела как 62 к 38

Подчёркивал тенденцию природы к спиральности

Спирали в

Живой природе

Пропорция тела человека

имеет золотое сечение

Золотое сечение

в скульптуре

Знаменитая статуя

Аполлона Бельведерского

Скульптор Фидий

Использовал золотое сечение в статуях

Афины Парфенос и Зевса Олимпийского

Золотое сечение

в архитектуре

Парфенон V в. до н. э.

Здание сената в Кремле

Архитектор М. Казаков

Первая клиническая больница

Пирогова

Архитектор М. Казаков

Дом Пашкова

Архитектор Бажов

Золотое сечение

в живописи

Леонардо да Винчи

Портрет Монны Лизы

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Золотое сечение

Л.Л. Сабанеев

Аренский Бетховен Бородин Гайдн

Моцарт Скрябин Шопен Шуберт

90% всех их произведений - Золотое сечение

"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем". "В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

астроном Иоганн Кеплер

Слайд 1

Презентация по математике «Золотое сечение» Бухарина Е.В. учитель математики Гимназия №1 г. Краснознаменск Московской области 2011 год.

Слайд 2

План проекта: ввести понятие «золотое сечение» геометрическое построение «золотого сечения» построение правильного пятиугольника пентаграмма – символ «золотого сечения» «золотое сечение» в: - природе - искусстве - архитектуре «золотое сечение» и мода

Слайд 3

Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ=а сводится к решению уравнения a:x=x:(a-x), где x=b, откуда x= =0,62a. Отношение x к а может быть так же выражено дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21,…, где 2, 3, 5, 8, 13, 21,… - числа Фибоначчи.

«Золотое сечение» деления в крайнем и среднем отношении – деление отрезка с на две части таким образом, что большая часть b является средней пропорциональной между всем отрезком c и меньшей его частью a.

Слайд 4

Геометрическое построение «золотого сечения»

Слайд 5

Построение правильного пятиугольника

Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем точки.

Слайд 6

Построение пентаграммы

Соединяем углы полученного выше пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Слайд 7

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Слайд 8

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спиралью Архимеда.

Золотая спираль

Слайд 9

В расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Слайд 10

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как золотая пропорция.

Слайд 11

Портрет «Мона Лиза» (Джоконда) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Слайд 12

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль.

Золотое сечение.Золотое сечение - это такое пропорциональное
деление отрезка на неравные части, при котором
весь отрезок так относится к большей части, как
сама большая часть относится к меньшей; или
другими словами, меньший отрезок так относится к
большему, как больший ко всему.
В геометрии прямоугольник с таким отношением
сторон стали называть золотым прямоугольником.
Его длинные стороны соотносятся с короткими
сторонами в соотношении 1,168: 1.

Чему же равно золотое сечение?

Чему же равно золотое сечение? Если высоту картины взять за
1,а расстояние от верхнего края до линии горизонта обозначить
за x , то по условию золотого сечения (отношение высоты
картины к расстоянию от верхнего края до линии горизонта
равно отношению расстояния от верхнего края до горизонта к
расстоянию от линии горизонта до нижнего края) получаем
1: x = x: (1: x) , преобразовав это уравнение получаем, что
x = 0,62 (или часто это число обозначают буквой φ).

Золотой прямоугольник

Прямоугольник стороны, которого находятся в
золотом отношении, т.е. отношение длины к ширине
даёт число 0,62; называется золотым
прямоугольником. KL/KN=0,62
L
M
K
N

Золотое сечение в живописи.

После того как мы рассмотрели что такое золотое сечение, то
теперь рассмотрим где же оно применяется в жизни.
На знаменитой картине И.И.Шишкина «Сосновая роща» с
очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко
освященная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит
длину картины по золотому сечению. Справа от сосны
освященный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению
правую часть картины по горизонтали. Слева от сосны
находиться множество сосен- при желании можно с успехом
продолжать деление картины по золотому сечению и дальше.

Золотое сечение в природе.

Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда
обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение
хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке,
есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию
провести через его наиболее широкую часть. Белорусский
ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений
в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять
свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого
сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это
закручивание по спирали. Еще Архимед, уделяя внимание
спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и
сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение
природы к спиральным формам, называя спираль «кривой
жизни». Современными учеными было установлено, что такие
проявления спиральных форм в природе как раковина улитки,
расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение
урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в
себе ряд Фибоначчи.

Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают,
исходя из пропорций золотого сечения. Человек – это
универсальная форма для проверки законов золотого
сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей
пропорции идеальны, что создает определенные
сложности с подбором одежды. В дневнике Леонардо
да Винчи есть рисунок вписанного в окружность
обнаженного человека, находящегося в двух
наложенных друг на друга позициях. Опираясь на
исследования римского архитектора Витрувия,
Леонардо подобным образом пытался установить
пропорции человеческого тела. Позднее французский
архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского
человека» Леонардо, создал собственную шкалу
«гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику
архитектуры XX века.

Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность
человека, проделал колоссальную работу. Он измерил
порядка двух тысяч человеческих тел, а также
множество античных статуй и вывел, что золотое
сечение выражает среднестатистический закон. В
человеке ему подчинены практически все части тела,
но главный показатель золотого сечения это деление
тела точкой пупка. В результате измерений
исследователь установил, что пропорции мужского тела
13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции
женского тела – 8:5.

Золотое сечение в пропорциях человеческого тела.

Человек- венец творения природы... Установлено что золотые
отношения можно найти в пропорциях человеческого тела.
Оказывается что у большинства людей, верхняя точка уха на рисунке –
это точка B, делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок AC, в
золотом отношении. Нижняя точка уха, точка D,делит в золотом
отношении расстояние BC, т.е. расстояние от верхней части уха до
основания шеи. Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до
основания шеи в золотом отношении, т.е. точка E делит в золотом
отношении отрезок DC.

Золотое сечение в ухе человека.
Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"),
который исполняет функцию передачи звуковой вибрации.
Эта костевидная структура
наполнена жидкостью и также
сотворена в форме улитки,
содержащую в себе стабильную
логарифмическую форму
спирали = 73º 43’.

Золотая пропорция в строении легких человека.
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во
время физико-анатомических исследований установили, что в
строении легких человека также существует золотое сечение.
Особенность бронхов, составляющих легкие человека,
заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух
основных дыхательных путей,
один из которых (левый) длиннее,
а другой (правый) короче.
Было установлено, что эта
Асимметричность продолжается
и в ответвлениях бронхов,
во всех более
мелких дыхательных путях.
Причем соотношение длины
Коротких и длинных бронхов
также составляет золотое
сечение и равно 1:1,618.

Золотое сечение в строении Земли.

В красивом (гармоничном) сочетании звуков
заложена «золотая» пропорция(звукоряд Пифагора).
По закону золотого сечения построена Солнечная
система. Пятиконечную симметрию имеет планета
Земля, кора которой выложена из пятиугольных
плит. Есть основание думать, что весь мир построен
по принципу золотой пропорции. В этом смысле
Вселенная в целом является грандиозным живым
организмом, подобие с которым дает на право
самими называться живыми организмами.

Cлайд 1

«Золотое сечение» (виртуальный факультатив) Составитель - Процко Т.М. – учитель математики МГМЛ при МГТУ им. Г.И.Носова

Cлайд 2

содержание Основатели учения о золотом сечении Понятие золотого сечения Золотое сечение в архитектуре Золотое сечение в живописи Золотое сечение в живых организмах Пентаграмма Самый «правильный» многогранник Золотое сечение вокруг нас Список используемой литературы

Cлайд 3

«Довольно почестей Александрам! Да здравствуют Архимеды!» Сен-Симон А. Пропорции, т.е. равенства отношений изучались пифагорейцами. Евдокс развил учение о пропорциях–одно из величайших достижений греческой математики. Термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи. Евдокс (408 – ок.355 г.г.до н.э.) Пифагор (580-500 г.г.до н.э.) Леонардо да Винчи (1452-1519 г.г.)

Cлайд 4

«Сравнение математических фигур и величин служит материалом для игр и обучения мудрости» Песталоцци И.Г. Определение золотого сечения: целое относится к его большей части так же, как большая часть относится к меньшей части. Отрезок АВ так относится к его большей части AD, как эта большая часть AD относится к его меньшей части DB. Иначе говоря, точка D делит отрезок AB в «золотой пропорции».

Cлайд 5

Есть предположение, что Пифагор понятие золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. И, действительно пропорции пирамиды Хеопса, барельефы предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношением золотого сечения при их создании. Пирамида Хеопса «Есть в математике нечто вызывающее восторг» Хаусдорф Ф.

Cлайд 6

«Гёте удачно назвал благородный собор «окаменелой музыкой», …» Юнг Д. Церковь Покрова Богородицы на Нерли 1165 год «Простая» красота пропорций золотого сечения.

Cлайд 7

«…, но, быть может, ещё лучше было бы назвать такой собор «окаменелой математикой» Юнг Д. Пропорции Покровского Собора на Красной площади в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: Многие члены ряда золотого сечения повторяются в затейливых элементах храма многократно:

Cлайд 8

Сандро Ботичелли «Рождение Венеры» (около 1485 г). Пропорции Венеры выполнены в золотом сечении. «Поистине живопись – наука и законная дочь природы…» Леонардо да Винчи

Cлайд 9

«Высшее назначение математики…состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». Винер Н. «Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны… все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка… Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия». Ле Корбюзье Пропорции идеальной фигуры человека, по Корбюзье, должны подчиняться золотому сечению. Модулор Ле Корбюзье

Cлайд 10

пропорции, близкие к золотому сечению. «Пристальное и глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики» Фурье Ж.

Cлайд 11

«Не знающий геометрии да не войдёт в Академию». Платон Пентаграмма – тайный знак пифагорейского братства – была выбрана ими в качестве символа жизни и здоровья. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживающим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звёздчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившимся у хозяина и щедро его вознаградил. «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в «золотом сечении». Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень» Иоганн Кеплер

Cлайд 12

«Ходить превыше звёзд влечёт меня охота, И облаком нестись, презрев земную низкость.» М.В.Ломоносов Пентаграмму изображали для того, чтобы спастись от проникновения в дом злых духов. Отрывок из «Фауста»: М е ф и с т о ф е л ь Трудновато выйти мне теперь. Тут кое – что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога. Ф а у с т Так пентаграмма этому виной? Но как же бес пробрался ты за мной? Каким путём впросак попался? М е ф и с т о ф е л ь Изволили её вы плохо начертить. И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.

Cлайд 13

«Тысячи путей ведут к заблуждению, к истине – только один» Жан Жак Руссо Пентаграмма пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Cлайд 14

«Мудрее всего – время, ибо оно раскрывает всё» Фалес Столь необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота её внутреннего математического содержания являются основой её внешней красоты.

Cлайд 15

«Ни тридцать лет ни тридцать столетий не оказывают никакого влияния на ясность или на красоту геометрических тел» Кэррол Л. (Додгсон) Раифский мужской монастырь – единственный в Татарии сохранившийся монастырский комплекс, построенный в XVII веке. Комплекс имеет форму пятиугольника. Пентагон в США. Комплекс имеет форму правильного пятиугольника, сотканного из золотых пропорций.

Cлайд 16

«Если бы мне пришлось начать вновь своё обучение то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику». Галилей Г. По Платону: пять правильных многогранников – пять стихий. Додекаэдр олицетворяет вселенную. Платон считал додекаэдр самым «правильным» из всех правильных многогранников, т. к. его грани – правильные пятиугольники – сотканы из золотых пропорций.

Cлайд 17

«…Мир Во всей его живой архитектуре – Орган поющий, море труб, клавир, Не умирающий ни в радости, ни в буре.» Н. Заболоцкий Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра – поверхности, составленной из 12 правильных пятиугольников. Как показывают раскопки в Италии, пирит был любимой игрушкой этрусских детей во времена Пифагора. Кристаллы пирита / Рисунок кристалла пирита

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Найдите верную пропорцию и запишите буквы

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV в. до н.э. в Древней Греции.

С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а.

Это отношение обозначают буквой ;

= 0,618 = 5/8

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотой прямоугольник обладает многими интересными свойствами. Если, например, от золотого прямоугольника АВС

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

В архитектуре

В архитектуре

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях.

Notr Dame de Paris

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа φ=0,618...

Одним из красивейших произведений

древнегреческой архитектуры является

Парфенон (V в. до н. э.).

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

В живописи

В живописи

Мотивы золотого сечения просматриваются в картинах И.И. Шишкина.

Ярко освещенная

солнцем сосна

делит картину по

золотому сечению.

Справа – освещенный солнцем пригорок также делит картину по горизонтали по золотому сечению.

“Корабельная роща“

Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках".

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Флора и фауна, человек

Флора и фауна, человек

При таком расположении листьев, как утверждают биологи, достигается максимальное восприятие солнечных лучей.

Убедитесь, что между третьей и первой парой вторая находится в месте «золотого сечения».

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Человеческого тела.

Измерьте размеры своей руки и убедитесь в правильности предыдущего высказывания

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

12,3 см

Золотое сечение заложено в пропорциях

Золотое сечение заложено в пропорциях