Разделы: Математика

Цели.

• Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
• Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
• Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.

Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.

Ход урока

По картам у учащихся повторение теоретического материала.

1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?

(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение

Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)

2. Сформулируйте правила нахождения производной.

(1. Производная суммы (u + v)"=u"+v";
2. О постоянном множителе (Cu)"=Cu";
3. Производная произведения (uv)"=u"v+uv";
4. Производная дроби (u/v)"=(u"v-uv")/v 2 ;
5. Производная степенной функции (x n)"=nx n+1 .)

3. Чему равны производные следующих функций:

4. Как найти производную сложной функции?

(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).

5. Чему равны производные следующих функций:

6. В чем заключается геометрический смысл производной?

(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x 0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f "(x 0)).

7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x 0 ,f(x 0))?

(Уравнение касательной имеет вид у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))

8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.

(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)

9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.

(1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)

10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?

Индивидуальная работа.

Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).

Уровень А.

Вариант 1.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 параллельной прямой у=5-24х.

2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e х+1 .

Вариант 2.

1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x 2 +x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.

2. Как в В. 1.

3. Найдите производную функции:

Уровень Б.

1. Найдите производную функции:

а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e -х, х 0 = 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e 2х.

Итог урока.

Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.

Домашнее задание дается индивидуально:

а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.

2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).

3. Возмите производную функций:

а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назовите схему исследования функции.

Класс: 10

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
2. Развивать логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

План урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

1. Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
2. Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
3. Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
4. Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если:

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; ., т.е.

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

VII. Комментарии к домашней работе

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Литература. (Слайд 23)

1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.

Дата: _____________________

Тема урока: Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Учащиеся должны знать :

что называется угловым коэффициентом прямой;

углом между прямой и осью Ох;

в чем состоит геометрический смысл производной;

уравнение касательной к графику функции;

способ построения касательной к параболе;

уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока :

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

наглядные;

практические;

по мыслительной деятельности: индуктивный;

по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;

стимулирующие: поощрения;

контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

Устные упражнения (найти производную)

Изучение нового материала

Решение заданий.

Подведение итогов урока.

Оборудование : карточки

Ход урока

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Устный счет

1. Найдите производные:

", ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

5х 3 -6х	15х 2 -6
	2cosx …

II. Изучение нового материала.

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х – 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .

III. Решение заданий.

Показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№ 159, № 161 – у доски.

Вопросы к классу:

Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).

Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).

Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).

Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

IV. Подведение итогов урока

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?

Слайд 2

Верно ли определение?

Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.

Слайд 3

Пусть дана и две прямые и, имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).

Слайд 4

На данном уроке:

выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной; рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной. Для этого: вспомним общий вид уравнения прямой условия параллельности прямых определение производной правила дифференцирования Формулы дифференцирования

Слайд 5

Определение производной

Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку. Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение.Если существует предел отношения при, то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают.

Слайд 6

Правила дифференцирования

Производная суммы равна сумме производных. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Производная частного

Слайд 7

Основные формулы дифференцирования

Слайд 8

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны

Параллельны ли прямые:

Слайд 9

Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Слайд 10

Геометрический смысл производной

Если к графику функции y = f (x)в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной

Слайд 11

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е. Причем, если: .

Слайд 12

Вывод уравнения касательной

Пусть прямая задана уравнением: уравнение касательной к графику функции

Слайд 13

Составить уравнение касательной:

к графику функции в точке

Слайд 14

к графику функции в точке

Слайд 15

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a. Вычислим. Найдем и. Подставим найденные числа a , в формулу

Слайд 16

Составить уравнение касательной к графику функции в точке.

Слайд 17

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой.

Слайд 18

Слайд 19

Самостоятельная работа

Слайд 20

Номера из учебника

№ 29.3 (а,в) № 29.12 (б,г) № 29.18 № 29.23 (а)

Слайд 21

Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Слайд 22

Домашняя работа

№ 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б)

Слайд 23

Литература

Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010

Посмотреть все слайды

Открытый урок алгебры в 11 классе 19.10. 2011 г.

Учитель: Горбунова С. В.

Тема урока: Уравнение касательной к графику функции.

Цели урока

1. 
   Уточнить понятие «касательной».
2. 
   Вывести уравнение касательной.
3. 
   Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

у = f (x)».

1. 
   Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.
2. 
   Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.

Оборудование: компьютер, презентация, проектор, интерактивная доска, карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Структура урока:

1. 
   О.Н. У.
2. 
   Сообщение темы урока
3. 
   Повторение изученного материала
4. 
   Постановка проблемы.
5. 
   Объяснение нового материала.
6. 
   Создание алгоритма «составления уравнения касательной».
7. 
   Историческая справка.
8. 
   Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.
9. 
   Домашнее задание.
10. 
    Самостоятельная работа с самопроверкой
11. 
    Подведение итогов урока.
12. 
    Рефлексия

Ход урока

1. О.Н.У.

2. Сообщение темы урока

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (слайд 1)

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.(слайд 2)

• 
  Плохих идей не бывает
• 
  Мыслите творчески
• 
  Рискуйте
• 
  Не критикуйте

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран. Решение запишите в тетрадь.

2. Повторение изученного материала (слайд 3).

Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x 2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

^ 4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: (слайд 6)

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач
^ 5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.(у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(x). (слайд 8)

Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а)) и пусть существует производная f "(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? (да, k = f "(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f "(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f "(а)x + f(a) – f "(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f "(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)

1. 
   (а, f (а)) – точка касания
2. 
   f "(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
3. 
   (х,у) – любая точка касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

6. Составление алгоритма (слайд 11).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. 
   Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. 
   Вычислим f(a).
3. 
   Найдем f "(х) и вычислим f "(а).
4. 
   Подставим найденные значения числа а, f(а), f "(а) в уравнение касательной.
5. 
   y = f(a) + f "(а) · (x-a).

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

1. 
   Историческая справка (слайд 12).

Внимание на экран. Расшифруйте слово

1	4/3	9	-4	-1	-3	5

Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 13).

Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

8. Закрепление (слайд 16-18).

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. 
   а = -1;
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. 
   f "(x) = 2х – 3,
   f "(a) = f "(-1) = -2 – 3 = -5;
4. 
   y = 9 – 5 · (x + 1),

y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f"(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x 1 ;у 1), (х 2 ; у 2)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1), значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f"(x) в точке а = -2.

Решение: график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Домашнее задание (слайд 19).

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

^ 9.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

• 
  Что называется касательной к графику функции в точке?
• 
  В чём заключается геометрический смысл производной?
• 
  Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

11. Рефлексия:

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.