И очень понравилась. Стиллвелл показывает, как всего на 4-х страницах можно доказать знаменитую теорему о неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени и выше. Идея его подхода в том, что большая часть стандартного аппарата теории Галуа - нормальные расширения, сепарабельные расширения, и особенно "фундаментальная теорема теории Галуа" для этого применения практически не нужны; те их небольшие части, что нужны, можно в упрощенном виде вставить в текст доказательства.

Рекомендую эту статью тем, кто помнит основные начала высшей алгебры (что такое поле, группа, автоморфизм, нормальная подргруппа и фактор-группа), но ни разу не разбирал толком доказательство неразрешимости в радикалах.

Я посидел немного над ее текстом и повспоминал всякие вещи, и все-таки мне кажется, что кое-чего там не хватает, чтобы доказательство было полным и убедительным. Вот как, мне кажется, должен выглядеть план док-ва, в основном по Стиллвеллу, чтобы быть самодостаточным:

1. Надо прояснить, что значит "решить общее уравнение n-ной степени в радикалах". Берем n неизвестных u 1 ...u n , и строим поле Q 0 = Q(u 1 ...u n) рациональных функций от этих неизвестных. Теперь мы можем это поле расширять радикалами: каждый раз добавлять корень какой-то степени от какого-то элемента Q i и получать таким образом Q i+1 (формально говоря, Q i+1 это поле разложения многочлена x m -k, где k в Q i).

Возможно, что после какого-то числа таких расширений мы получим поле E, в котором "общее уравнение" x n + u 1 *x n-1 + u 2 *x n-2 ... будет раскладываться на линейные множители: (x-v 1)(x-v 2)....(x-v n). Иными словами, E будет включать в себя поле разложения "общего уравнения" (оно может быть больше этого поля). В таком случае мы скажем, что общее уравнение разрешимо в радикалах, потому что конструкция полей от Q 0 до E дает общую формулу решения уравнения n-й степени. Можно легко показать это на примерах n=2 или n=3.

2. Пусть есть расширение E над Q(u 1 ...u n), которое включает в себя поле разложения "общего уравнения", и его корни v 1 ...v n . Тогда можно доказать, что Q(v 1 ...v n) изоморфно Q(x 1 ...x n), полю рациональных функций от n неизвестных. Это та часть, которой не хватает в статье Стиллвелла, но есть в стандартных строгих доказательствах. Мы не знаем априори про v 1 ...v n , корни общего уравнения, что они трансцедентны и незасивимы друг от друга над Q. Это надо доказать, и легко доказывается сравнением расширения Q(v 1 ...v n) / Q(u 1 ...u n) с расширением Q(x 1 ...x n) / Q(a 1 ...a n), где a i - симметричные многочлены от x-ов, формализующие то, как коэффициенты уравнения зависят от корней (формулы Виета). Эти два расширения оказываются изоморфными друг другу. Из того, что мы доказали про v 1 ...v n , следует теперь, что любая перестановка v 1 ...v n порождает автоморфизм Q(v 1 ...v n), который таким образом перестанавливает корни.

3. Любое расширение Q(u 1 ...u n) в радикалах, которое включает в себя v 1 ...v n , можно расширить дальше в симметричное относительно v 1 ...v n расширение E". Это просто: каждый раз, когда мы добавляли корень от элемента, который выражается через u 1 ...u n , а значит и через v 1 ...v n (формулы Виета), мы добавляем вместе с ним корни всех элементов, которые получаются любыми перестановками v 1 ...v n . В итоге E" обладает следующим свойством: любая перестановка v 1 ...v n расширяется до автоморфизма Q(v 1 ...v n), который расширяется до автоморфизма E", который при этом фиксирует все элементы Q(u 1 ...u n) (из-за симметричности формул Виета).

4. Теперь мы смотрим на группы Галуа расширений G i = Gal(E"/Q i), т.е. автоморфизмы E", которые фиксируют все элементы Q i , где Q i - промежуточные поля в цепочке расширений радикалами от Q(u 1 ...u n) до E". Стиллвелл показывает, что если добавлять всегда радикалы простой степени, и корни единицы перед другими корнями (несущественные ограничения), то легко видеть, что каждая G i+1 является нормальной подргруппой G i , и их фактор-группа абелева. Цепочка начинается с G 0 = Gal(E"/Q(u 1 ...u n)), и сходит до 1 = Gal(E"/E"), потому что автоморфизм E", фиксирующий E" целиком, есть только один.

5. Мы знаем из пункта 3, что G 0 включает в себя много автоморфизмов - для любой перестановки v 1 ...v n есть автоморфизм в G 0 , расширяющий ее. Легко показать, что если n>4, и G i включает в себя все 3-циклы (т.е. автоморфизмы, расширяющие перестановки v 1 ...v n , которые циклично прокручивают 3 элемента), то и G i+1 включает в себя все 3-циклы. Это противоречит тому, что цепочка заканчивается на 1, и доказывает, что не может быть цепочки расширений радикалами, начинающейся с Q(u 1 ...u n), и включающей в себя в конце поле разложения "общего уравнения".

Однако и это было еще не все. Самое замечательное в теории алгебраического уравнения еще оставалось впереди. Дело в том, что есть сколько угодно частных видов уравнений всех степеней, которые решаются в радикалах, и как раз уравнений, важных во многих приложениях. Таковыми являются, например, двучленные уравнения

Абель нашел другой очень широкий класс таких уравнений, так называемые циклические уравнения и еще более общие «абелевы» уравнения. Гаусс по поводу задачи построения циркулем и линейкой правильных многоугольников подробно рассмотрел так называемое уравнение деления круга, т. е. уравнение вида

где - простое число, и показал, что оно всегда может быть сведено к решению цепи уравнений низших степеней, причем нашел условия, необходимые и достаточные для того, чтобы такое уравнение решалось в квадратных радикалах. (Необходимость этих условий была строго обоснована только Галуа.)

Итак, после работ Абеля положение было следующее: хотя, как это показал Абель, общее уравнение, степень которого выше четвертой, вообще говоря, не решается в радикалах, однако есть сколько угодно различных частных уравнений любых степеней, которые все же решаются в радикалах. Весь вопрос о решении уравнений в радикалах был поставлен этими открытиями на совсем новую почву. Стало ясно, что надо искать, каковы все те уравнения, которые решаются в радикалах, или, иначе говоря, каково условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение решалось в радикалах. Этот вопрос, ответ на который давал в некотором смысле окончательное выяснение всей задачи, решил гениальный французский математик Эварист Галуа.

Галуа (1811-1832) погиб в возрасте 20 лет на дуэли и в последние два года своей жизни не мог посвящать много времени занятиям математикой, так как был увлечен бурным вихрем политической жизни времен революции 1830 г., сидел в тюрьме за свои выступления против реакционного режима Людовика-Филиппа и т. п. Тем не менее за свою короткую жизнь Галуа сделал в разных частях математики открытия, далеко опередившие его время, и, в частности, дал самые замечательные из имеющихся результатов в теории алгебраических уравнений. В небольшой работе «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах», оставшейся в его рукописях после его смерти и впервые обнародованной Лиувиллем лишь в 1846 г., Галуа, исходя из самых простых, но глубоких соображений, наконец, распутал весь клубок трудностей, сосредоточенных вокруг теории решения уравнений в радикалах, - трудностей, над которыми безуспешно бились до того величайшие математики. Успех Галуа был основав на том, что он первый применил в теории уравнений ряд чрезвычайно важных новых общих понятий, впоследствии сыгравших большую роль во всей математике в целом.

Рассмотрим теорию Галуа для частного случая, а именно того, когда коэффициенты заданного уравнения степени

Рациональные числа. Случай этот особенно интересен и содержит

в себе по существу уже все трудности общей теории Галуа. Мы будем, кроме того, предполагать, что все корни рассматриваемого уравнения различны.

Галуа начинает с того, что, подобно Лагранжу, рассматривает некоторое выражение 1-й степени относительно

но он не требует, чтобы коэффициенты этого выражения были корнями из единицы, а берет за некоторые целые рациональные числа, такие, чтобы были численно различны все значений которые получаются, если в V переставить корни всеми возможными способами. Это всегда можно сделать. Далее, Галуа составляет то уравнение степени, корнями которого являются Нетрудно показать при помощи теоремы о симметрических многочленах, что коэффициенты этого уравнения степени будут рациональными числами.

До сих пор все довольно похоже на то, что делал Лагранж.

Далее Галуа вводит первое важное новое понятие - понятие неприводимости многочлена в данном поле чисел. Если задан некоторый многочлен от коэффициенты которого, например, рациональны, то многочлен называется приводимым в поле рациональных чисел, если он может быть представлен в виде произведения многочленов более низких степеней с рациональными коэффициентами. Если нет, то многочлен называется неприводимым в поле рациональных чисел. Многочлен приводим в поле рациональных чисел, так как он равен а, например, многочлен как это можно показать, неприводим в поле рациональных чисел.

Существуют способы, правда, требующие длинных вычислений, для того чтобы разложить любой заданный многочлен с рациональными коэффициентами на неприводимые множители в поле рациональных чисел;

Галуа предлагает разложить полученный им многочлен на неприводимые множители в поле рациональных чисел.

Пусть - один из таких неприводимых множителей (какой из них, для дальнейшего все равно) и пусть он степени.

Многочлен будет тогда произведением из множителей 1-й степени на которые разлагается многочлен степени Пусть этими множителями являются - Перенумеруем как-либо числами (номерами) корни заданного уравнения степени. Тогда входят все возможные перестановок нумеров корней, а в - только из них. Совокупность этих перестановок номеров называется группой Галуа заданного уравнения

Далее Галуа вводит еще некоторые новые понятия и проводит хотя и простые, но поистине замечательные рассуждения, из которых получается, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение (6) решалось в радикалах, заключается в том, чтобы группа перестановок номеров удовлетворяла некоторому определенному условию.

Таким образом, предвидение Лагранжа, что в основе всего вопроса лежит теория перестановок, оказалось правильным.

В частности, теорема Абеля о неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах может быть теперь доказана так. Можно показать, что существует сколько угодно уравнений 5-й степени, даже с целыми рациональными коэффициентами, таких, для которых соответственный многочлен 120-й степени неприводим, т. е. таких, группа Галуа которых есть группа всех перестановок номеров 1, 2, 3, 4, 5 их корней. Но группа эта, как это можно доказать, не удовлетворяет критерию (признаку) Галуа, и поэтому такие уравнения 5-й степени не решаются в радикалах.

Так, например, можно показать, что уравнение где а - положительное целое число, большей частью не решается в радикалах. Например, оно не решается в радикалах при

ГАЛУА ТЕОРИЯ

подгрупп группы , где . Последовательность (2) является нормальным рядом (т. е. каждая группа - нормальный делитель группы при ) тогда и только тогда, когда в последовательности (1) каждое поле есть Галуа поля , и в этом случае .

К задаче решения алгебраич. уравнений эти результаты применяются следующим образом. Пусть f- без кратных корней над полем k, а К - его поле разложения (оно будет расширением Галуа поля k). Группа Галуа этого расширения наз. группой Галуа уравнения f=0. Решение уравнения f=0 тогда и только тогда сводится к решению цепи уравнений когда Ксодержится в поле , являющемся последним членом возрастающей последовательности полей

где - поле разложения над полем , многочлена . Последнее условие равносильно тому, что группа является факторгруппой группы , обладающей нормальным рядом, факторы к-рого изоморфны группам Галуа уравнений .

Пусть поле kсодержит все корни из единицы степени п. Тогда для любого полем разложения многочлена служит поле , где - одно из значений радикала Группа является в этом случае циклич. группой порядка n, и обратно, если группа является циклич. группой порядка и, то , где - корень нек-рого.двучленного уравнения Таким образом, если поле kсодержит корни из единицы всех необходимых степеней, то уравнение f=0 решается в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (т. е. обладает нормальным рядом с циклич. факторами ). Найденное условие разрешимости в радикалах справедливо и в случае, когда поле kне содержит всех нужных корней из единицы, поскольку группа Галуа расширения , получающегося присоединением этих корней, всегда разрешима.

Для практического применения условия разрешимости весьма важно, что группу Галуа уравнения можно вычислить, не решая этого уравнения. Идея вычисления следующая. Каждый поля разложения многочлена f индуцирует нек-рую перестановку его корней, причем этой перестановкой он вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу группы подстановок его корней (а именно, подгруппу, состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебраич. зависимости между корнями). Зависимости между корнями многочлена дают нек-рые соотношения между его коэффициентами (в силу формул Виета); анализируя эти соотношения можно определить зависимости между корнями многочлена и тем самым вычислить группу Галуа уравнения. В общем случае группа Галуа алгебраич. уравнения может состоять из всех перестановок корней, т. е. являться симметрической группой n- йстепени. Поскольку при симметрическая группа неразрешима, то уравнение степени 5 и выше, вообще говоря, в радикалах не решается (теорема Абеля).

Соображения Г. т. позволяют, в частности, описать полностью задач на построение, разрешимых с помощью циркуля и линейки. Методами аналитической геометрии показывается, что любая такая задача на построение сводится к нек-рому алгебраич. уравнению над полем рациональных чисел, причем она разрешима с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение решается в квадратных радикалах. А для этого необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа уравнения обладала нормальным рядом, факторы к-рого являются группами 2-го порядка, что имеет место тогда и только тогда, когда ее является степенью двух. Итак, задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, сводится к решению уравнения, поле разложения к-рого имеет над полем рациональных чисел степень вида 2 s ;если степень уравнения не имеет вида 2 s , то такое построение невозможно. Так обстоит дело с задачей об удвоении куба (сводящейся к кубическому уравнению ) и с задачей о трисекции угла (также сводящейся к кубическому уравнению). Задача о построении правильного р-угольника сводится при простом рк уравнению обладающему тем свойством, что его поле разложения порождается любым из корней и поэтому имеет степень р -1, равную степени уравнения. В этом случае построение с помощью циркуля и линейки возможно, только если (напр., при р = 5 и р = 17 оно возможно, а при р = 7 и при р = 13 нет).

Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие алгебры в течении почти целого столетия. Г. т. развивалась и обобщалась во многих направлениях. В. Галуа теории обратная задача). Тем не менее в класснч. Г. т. осталось еще много нерешенных задач. Напр., неизвестно, для любой ли группы G существует уравнение над полем рациональных чисел с этой группой Галуа.

Лит. : Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 - 2, М.-Л., 1934-37; его же, Теория Галуа, М.- Л., 1936; Постников М. М., Основы теории Галуа, М., 1960; его же, Теория Галуа, М., 1963; = Z + Zi содержит Z , поэтому его поле частных К должно содержать всевоз-можные рациональные числа Q , а также мнимую

единицу i как дробь. Покажем, что К = Q(i) = Q + Qi. Действительно, частное = = +

имеет вид g + hi, где g, h — рациональные числа. Обратно, любое число вида g + hi с рациональ-ными g, h может быть представлено как частное элементов кольца Z[i]. Пусть g = , h = , где r, s, t, и Z. Тогда можно записать

g + hi = , где числитель и знаменатель являются элемента-ми кольца Z [ i ] . ■

Определение : Отображение φ: R → R ’ называется гомоморфизмом колец R и R’, если выполняется равенства φ(a + b ) = φ(a )+φ(b ) , φ(ab ) = φ(a ) φ(b ) для любых a , b .

Определение: Биективный гомоморфизм колец называется изоморфизмом колец .

Все гомоморфизмы полей инъективны (на-пример, гомоморфное вложение поля Q в поле R) или биективны (в противном случае в поле существовал бы собственный ненулевой идеал, что невозможно).

Если К — произвольное поле и его подмно-жество k тоже является полем, то k называется подполем поля К. Поскольку любое поле содер-жит не менее двух элементов (0 и е), каждый из которых единственный, то пересечение двух подполей поля К является полем. Очевидно, что пересечение любого числа подполей поля К вновь является полем.

Простым называется поле, не содержащее собственных подполей.

Теорема 1. Каждое поле содержит одно и только одно простое подполе.

Доказательство. Пересечение всех подпо-лей поля К является подполем, не имеющим соб-ственных подполей. Предположим, что сущест-вуют два различных простых подполя. В этом случае пересечение этих подполей было бы соб-ственным подполем в каждом из них. Следова-тельно, эти подполя— не простые. Противоре-чие доказывает теорему. ■

Теорема 2. Простое поле изоморфно кольцу Z/p Z, где — простое число, или полю Q рациональных чисел.

Доказательство. Пусть К — простое под-поле поля L. Поле К содержит нуль и единицу е и, следовательно, кратные единичного элемента пе = е + е + ... + е . Сложение и умножение этих кратных осуществляется по правилу пе + те =

=(п + т)е, (пе)(те) = = пте 2 = пте. Следователь-но, целочисленные кратные пе образуют комму-тативное кольцо Р. Отображение п —> пе задает гомоморфизм кольца Z на кольцо Р. По определению о гомоморфизмах колец Р = Z / I, где I — идеал, состоящий из тех целых чисел n, которые дают равенство пе = 0.

Кольцо Р целостное, так как поле К — цело-стное кольцо. Поэтому и Z/ I тоже целостное. Кроме того, идеал I не может быть единичным, так как иначе выполнялось бы 1 ∙ е = 0 . Следова-тельно, существуют только две возможности:

• I = (р), где р — простое число. В этом случае р является наименьшим положительным числом, для которого ре = 0. Ядро гомоморфизма содержит целые числа, кратные р — это идеал (р) или, в другой записи, р Z . Поэтому

Р = Z /(р) = Z /р Z явля-ется полем. В этом случае простое поле изоморфно полю Z /р Z .

Простейшее простое поле состоит из двух элементов, 0 и 1. Таблица сложения и умножения имеет вид:

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0=1, 1 + 1 = 0,

0 ∙ 0 = 0,0 ∙ 1 = 0, 1∙ 0 = 0, 1 ∙ 1 = 1.

2) I = (0). Тогда гомоморфизм Z → Р являет-ся изоморфизмом. Кратные пе все попарно раз-личны: если пе = 0, то п = 0. В этом случае коль-цо Р не является полем, так как Z не является полем. Простое поле К должно содержать не только элементы из Р , но и их частные. В этом случае целостные кольца Р и Z имеют изоморф-ные поля частных. Поэтому простое поле К изо-морфно полю Q рациональных чисел. ■

Таким образом, строение содержащегося в L простого поля К с точностью до изоморфизма определяется заданием простого числа р или числа 0, которые порождают идеал I, состоящий из целых чисел п со свойством пе = 0. Число п называется характеристикой поля L и обознача-ется char(L ). При этом char(L ) = char(K ).

Теорема 3. В полях характеристики р имеют место равенства

= а р + b р , (а - b ) р = а р - b р . (1)

Доказательство. По формуле бинома Нью-тона имеем

а р +( ) а р-1 b +…+( ) ab р-1 + b р .

Здесь все коэффициенты, кроме первого и по-следнего, делятся на р , так как числитель у них делится на р. Поскольку р — характеристика по-ля, то в рассматриваемом поле все эти слагаемые равны нулю, то есть

(а + b ) р = а р + b р .

Аналогично рассуждаем и в случае разности. Положим с = а + b . Тогда

а = с - b , с р = (с - b ) р + b р , (с - b ) р = с р - b р . ■

Если р — нечетное число, то число слагаемых в формуле бинома Ньютона четное и коэффици-ент при b р равен -1. Если р = 2, то коэффициент при b р равен 1. Отсюда заключаем, что в поле характеристики 2 выполняется равенство - 1 = 1 .

1.1 Расширения полей

Пусть К — подполе поля L . Тогда L называет-ся расширением поля К. Расширение L поля К будем обозначать L ⊂ K . Рассмотрим строение расширения L .

Пусть L — расширение поля К, S — произ-вольное множество элементов из L . Существует поле, содержащее в себе (как в множестве) поле К и множество S (таким полем является, например, L ). Пересечение всех полей, содержащих К и S , является полем, причем наименьшим из полей, содержащих в себе К и S , и обозначается K (S ). Говорят, что K (S ) получается присоединением множества S к полю К. Имеет место включение

К K (S ) L .

Полю K (S ) принадлежат все элементы из К, все элементы из S , а также все элементы, полу-ченные при сложении, вычитании, умножении и делении этих элементов, то есть K (S ) состоит из всех рациональных комбинаций, где . (Отсюда следует, что множество S можно выбирать различными способами.) Эти рациональные комбинации могут быть записаны как рациональные функции, то есть как отноше-ния полиномов, где переменные— элементы множества S , а коэффициенты полиномов — элементы поля К.

Таким образом, для любого поля можно построить расширение.

Расширение, полученное присоединением од-ного элемента, называется простым .

1.1.1 Конечные расширения

Поле L называется конечным расширением поля К, если L является конечномерным вектор-ным пространством над К . При этом все элемен-ты из L являются линейными комбинациями ко-нечного множества элементов u 1 ,…, u n с коэф-фициентами из К. Число элементов базиса век-торного пространства называется степенью рас-ширения L над К и обозначается (L : K ).

Например, если к полю К присоединяется ко-рень α полинома р(х), deg(p )=n, то элементы α 0 = е, α , α 2 , ..., α n -1 образуют базис поля L над К и (L : K ) =п.

Теорема 4. Если поле К конечно над k и поле L конечно над К, то L конечно над k и (L : k ) = (L : K )(K : k ).

Доказательство. Пусть { u 1 ,…, u n } — базис L над К и { v 1 ,…, v n } — базис К над k . Тогда ка-ждый элемент из L можно представить в виде a 1 u 1 +…+ a n u n , где а i ∊ К, и каждый элемент из К можно представить в виде b 1 v 1 +…+ b m v m где bj ∊ k . Подстановка второго выражения в первое показывает, что каждый элемент поля L линейно зависит от тп элементов u i v j . Следовательно, число (L : k ) конечно. Элементы u i v j линейно неза-висимы над k , так как и i линейно независимы над К и v j линейно независимы над k . Следовательно,

(L : k ) = (L : K )(K : k ). ■

Следствие: Если поле К конечно над k и (К: k ) = п, поле L конечно над k и (L : k ) = тп, то L конечно над К и (L : K ) = т.

Элемент w ∊ L называется алгебраическим над К, если он удовлетворяет алгебраическому уравне-нию f (w ) = 0 с коэффициентами из К. Расширение L поля К называется алгебраическим над К , если каж-дый элемент поля L является алгебраическим над К.

Теорема 5. Каждое конечное расширение L поля К получается присоединением к К конечного числа алгебраических над К элементов. Каждое расширение, полученное присоединением конеч-ного числа алгебраических элементов, конечно.

Доказательство. Пусть поле L является ко-нечным расширением поля К, и степень расши-рения равна п. Пусть w ∊ L ⊂ K . Тогда среди сте-пеней

w 0 =е, w , ..., w n не более n линейно неза-висимых. Значит, должно выполняться равенство а 0 + а 1 w + ... + a n w n = 0, при a i ∊ К, то есть каж-дый элемент поля L алгебраичен над К. Обратно, пусть w — алгебраический элемент степени r . Тогда элементы е, w , ...., w r -1 линейно независи-мы и образуют базис, то есть расширение явля-ется конечным. ■

1.1.2 Алгебраические расширения

Пусть K —подполе поля L . Элемент α из L называется алге-браическим над K , если в K существуют элементы а 0 ,…,а п (n≥1) не все равные 0 и такие, что

а 0 + а 1 α+ ... +а п α n = 0. (2)

Для алгебраического элемента α не равно нулю мы всегда можем найти такие элементы a i в предыдущем равенстве, что а 0 не равно нулю (сокращая на под-ходящую степень α).

Пусть X — переменная над K . Можно также сказать, что эле-мент α алгебраичен над K , если гомоморфизм K [ X ]→ L , тождественный на K и переводящий из X в α, имеет ненулевое ядро. В таком случае это ядро будет главным идеалом, порожденным одним многочленом р(Х), относительно которого мы можем предполагать, что его старший коэффициент равен 1. Имеет место изоморфизм

K [ X ]/(p (X ))≈ K [а], (3)

и так как кольцо K [ a ] целостное, то р(X) неприводим. Если р(Х) нормализован условием, что его старший коэффициент равен 1, то р(Х) однозначно определяется элементом α и будет называться не-приводимым многочленом элемента α над K . Иногда мы будем обо-значать его через Irr(α , K ,X).

Расширение Е поля K называется алгебраическим, если всякий элемент из Е алгебраичен над K .

Предложение 1. Всякое конечное расширение Е поля K алгебраично над K .

Доказательство. Пусть а Е, α≠ 0. Степени α

1, α, α 2 , ..., α n

не могут быть линейно независимы над K для всех целых положи-тельных п, иначе размерность Е над K была бы бесконечна. Линей-ное соотношение между этими степенями показывает, что элемент α алгебраичен над K .

Заметим, что утверждение, обратное предложению, не верно: существуют бесконечные алгебраические расширения. Позднее мы увидим, что подполе поля комплексных чисел, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, является бесконечным расширением Q. Если Е —расширение поля K , то мы обозначаем символом L ⊂ K , размерность Е как векторного пространства над K . Будем называть (Е: K ) степенью Е над K . Она может быть бесконечной.

• Пусть К= R . Для построения алгебраического рас-ширения присоединим к полю R корень неприво-димого над R квадратного полинома х 2 + 1 . Этот корень обычно обозначается через i и удовлетво-ряет уравнению i 2 =- 1 . Тогда элементы расши-ренного поля представляют собой комплексные числа а + bi , то есть полиномы от i с веществен-ными коэффициентами. Присоединение к полю R корня любого неприводимого полинома дает одно и то же поле С .
• Пусть К = { 0, 1}. Построим алгебраическое расширение K (α ) сте-пени 4. Выберем неприводимый полином вида р(х) = х 4 + х + 1. Обозначим корень этого поли-нома через α . Тогда K (α ) = K [ α ] ⊂ (p (α )). Циклическая группа, образованная элементом α , имеет вид: { α , α 2 , α 3 , α 4 = α + 1, α 2 + α , α 3 + α 2 , α 4 + α 3 = α 3 + α + 1, α 4 + α 2 + α = α 2 + 1, α 3 + α , α 4 + α 2 = = α 2 + α + 1, α 3 + α 2 + α , α 4 + α 3 + α 2 = α 3 + α 2 + α + 1, α 4 + α 3 + α 2 + α = = α 3 + α 2 + 1, α 4 + α 3 + α = α 3 + 1, α 4 + α = 1 }. Здесь все степени элемента α представлены классами вычетов по модулю р(α ). В частности,

α -1 = α 3 + 1. Действи-тельно, произведение α (α 3 + 1) дает единицу по модулю p (α ).

Степень неприводимого над К полинома р(х) с корнем α называется степенью элемента α . Если степень элемента α равна 1, то α является элемен-том поля К, то есть по существу расширения нет.

Назовем два расширения L и L " поля К изо-морфными (над К), если существует изоморфизм L L " , оставляющий неподвижными элементы поля К.

Простые алгебраические расширения можно строить и не прибегая к включающему K (α ) полю L . При этом алгебраическое расширение изоморфно кольцу классов вычетов K [ x ]/(р(х)). Следовательно, ал-гебраическое расширение однозначно определя-ется полиномом р(х).

1.2 Алгебраическое замыкание

Поле L называется алгебраически замкнутым, если каждый полином из L [ x ] раскладывается на линейные множители . Алгебраически замкнутое поле не допускает дальнейших алгебраических расширений. Поэтому можно говорить о макси-мальном алгебраическом расширении данного поля. Примером алгебраически замкнутого поля является поле С комплексных чисел.

Каждое поле К обладает единственным с точ-ностью до изоморфизма алгебраически замкну-тым алгебраическим расширением. Такое од-нозначно определенное алгебраическое расши-рение называется алгебраическим замыканием поля К.

Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий мно-гочлен из L [ X ] степени ≥ 1имеет в L корень.

Теорема 6. Для всякого поля K существует алгебраически замкнутое поле L , содержащее K в качестве подполя.

Доказательство. Сначала мы построим расширение Е 1 поля K , в котором всякий многочлен из K [X] степени ≥1 имеет корень. Можно действовать следующим образом, каждому много-члену f из K [X] степени ≥1 сопоставим символ X f . Пусть S—мно-жество всех таких символов X f (так что S находится в биективном соответствии с множеством многочленов из K [X] степени ≥1). Обра-зуем кольцо многочленов K [ S ]. Мы утверждаем, что идеал, поро-жденный всеми многочленами f ( X f ) в K [ S ], не является единичным. Если бы это было не так, то существовала бы конечная комбинация элементов из нашего идеала, равная 1:

g 1 f 1 ( X f )+…+ g n f n ( X fn ) = 1, (4)

где g i ∊ K [ S ]. Для простоты будем писать X i вместо X fi . Много-члены g i включают в действительности только конечное число пере-менных, скажем Х i ,…,X N (где N ≥ n ). Наше соотношение тогда гласит:

Пусть F — конечное расширение, в котором каждый многочлен

f 1 ,…, f n имеет корень, скажем α i есть корень f i в F при i = 1,…, п. Положим α i = 0 при i > п. Подставив α i вместо X i в наше соотношение, мы получим 0=1 — противоречие.

Пусть M — максимальный идеал, содержащий идеал, порожден-ный всеми многочленами f (X f ) в K [ S ]. Тогда K [ S ]/ M — поле и мы имеем каноническое отображение

σ : K [ S ]→ K [ S ]/ M . (6)

Для всякого многочлена f ∊ K [ X ] степени ≥1 многочлен имеет корень в поле K [ S ]/ M , которое является расширением поля σ K .

По индукции мы можем построить такую последовательность полей

E 1 ⊂ E 2 ⊂ E 3 ⊂ ... ⊂ E n ⊂ .., что каждый многочлен из Е п [ X ] степени ≥1 имеет корень в Е п+1 .

Пусть Е — объединение всех полей Е n , n = 1, 2,…Тогда Е , естественно, является полем, поскольку для любых х, у ∊ Е найдется номер n , такой, что х, у ∊ Е п, и мы можем взять произведение ху или сумму х+у в Е п. Эти операции, очевидно, не зависят от вы-бора того п , для которого х, у ∊ Е п, и определяют структуру поля на Е . Всякий многочлен из Е[X] имеет коэффициенты в некотором подполе Е п и, следовательно, обладает корнем в Е п+1 ,а тем самым и корнем в Е , что и требовалось доказать.

Следствие. Для всякого поля K существует расширение K , алгебраическое над K и алгебраически замкнутое.

Теорема 7. Пусть K — поле, Е—его алгебраическое расши-рение и

σ : K → L — вложение K в алгебраически замкнутое поле L . Тогда существует продолжение σ до вложения Е в L . Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над σ K , то любое такое продолжение σ будет изоморфизмом поля Е на L .

Доказательство. Пусть S — множество всех пар (F , τ ) , где F —подполе в Е, содержащее K , и τ — продолжение σ до вло-жения F в L . Мы пишем (F , τ)≤(F " ,τ") для таких пар (F , τ) и (F " , τ"), если

F ⊂ F " и τ"| F = τ . Отметим, что множество S не пусто, оно содержит (K ,σ ), и индуктивно упорядочено: если {(F i , τ i )} линейно упорядоченное подмножество, то положим F = F i и опре-делим τ на F , положив его равным τ i на каждом F i . Тогда (F , τ) служит верхней гранью для этого линейно упорядоченного подмно-жества. Находим (К, λ)— максимальный эле-мент в S . Тогда λ есть продолжение σ , и мы утверждаем, что К=Е . В противном случае существует α ∊ Е, α ∉ К; в силу предыдущего вложение λ имеет продолжение на К (α) вопреки максимальности (К, λ). Таким образом, существует продолжение σ на Е. Мы обо-значаем это продолжение снова через σ .

Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над σ K , то σ Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над σ (Е), следовательно, L = σ E .

В качестве следствия получаем некую теорему единственности для «алгебраического замыкания» поля K .

Следствие. Пусть K — поле и Е, Е"—алгебраические рас-ширения над K . Предположим, что Е, Е" алгебраически замкнуты. Тогда существует изоморфизм

τ: E → E " поля Е на Е", индуцирующий тождественное отображение на K .

1.3 Расширение Галуа

Расширения поля К, получаемые присоединением корней раз-личных неприводимых многочленов, могут оказаться изоморфными или, более общее, одно из них может изоморфно вкладываться в другое . Выяснить, когда это имеет место, не так просто. Изучением гомоморфизмов алгебраических расширений полей как раз и занимается теория Галуа.

Пусть L — конечное расширение степени п поля К. Автомор-физмы поля L над К образуют группу, которую мы обозначим через Aut α K L .

Пусть G Aut α K L — какая-то (конечная) группа автоморфизмов поля L над К. Обозначим через L G подполе G -инвариантных элементов поля L .

Определение: Расширение L поля К называется нормальным над полем К или расширением Галуа, если оно во-первых, алгебраично над К и, во-вторых, каждый неразложимый в К[x] многочлен g(x), обладающий в L хоть одним корнем α, разлагается в L[x] на линейные множители.

Если α - корень неразложимого в кольце К[x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то α называется сепарабельным элементом над К или элементом первого рода над К. При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент α и неразложимый многочлен g(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочлен) второго рода.

Определение: Алгебраическое расширение L , все элементы которого сепарабельны над К, называется сепарабельным над К, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

Группа Aut α K L называется группой Галуа расшире-ния L и обозначается через Gal L/ K.

Обозначим через f” формальную производную многочлена f.

Предложение 2.3.1: Многочлен f ∊ К[х] сепарабелен тогда и только тогда, когда (f , f ") = 1.

Доказательство. Заметим, прежде всего, что наибольший общий делитель любых двух многочленов f , g ∊ К[х] может быть найден с помощью алгоритма Евклида и потому не изменяется при любом расширении поля К .

С другой стороны, если над каким-либо расширением L поля К многочлен f имеет кратный неприводимый множитель h, то h | f " в L[x] и, значит, (f ,f’)≠1 . В частности, это будет иметь место, если f имеет кратный корень в L .

Обратно, если (f , f " ) ≠ 1 , то какой-то неприводимый множитель h многочлена f над К делит f ’. Это возможно только в двух случаях: если h — кратный неприводимый множитель и если h" = 0. В первом случае многочлен f имеет кратный корень в некотором расширении поля К (в частности, если h линеен, то в самом поле К). Второй случай имеет место, только если charК=р> 0 и многочлен h имеет вид

h = а 0 + а 1 х р + а 2 х 2р + ... + а n х n р (а 0 ,...,а n ∊ К) (7)

Пусть L — расширение поля К, содержащее такие элементы b 0 , b 1 ,..., b т, что b K p = а к. Тогда в L[х]

h = (b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ... + b m x m ) p (8)

и, следовательно, в некотором расширении поля L многочлен h, а значит, и f , имеет кратный корень.

Следствие 1: Всякий неприводимый многочлен над полем ну-левой характеристики сепарабелен.

Следствие 2: Всякий неприводимый многочлен f над полем характеристики p /degf сепарабелен.

Следствие 3: Всякий неприводимый многочлен над конечным полем сепарабелен.

Доказательство. Пусть h — несепарабельный неприводи-мый многочлен над конечным полем К . Тогда он имеет вид (7). Так как К р = К, то существуют такие b 0 , b l: ..., b m ∊ К, что b K p = а к и, значит, h представляется в виде (8) уже в К[х], что противоречит его неприводимости.

Примером несепарабельного неприводимого многочлена может служить многочлен

x p - α=(x- α) p над полем pZ (α). (9)

Теорема 7. Пусть f ∊ К[х] — многочлен, все неприводимые множители которого сепарабельны. Тогда его поле разложения над К является расширением Галуа.

Доказательство. Заметим, что если L — поле разложения многочлена f ∊ К[х], то любой автоморфизм φ поля L над К сохраняет множество {φ 1 ,...,φ n } корней многочлена f , каким-то образом их перестав-ляя. Так как

L = K(φ 1 ,..., φ n ), то автоморфизм φ однозначно определяется той перестановкой, которую он осуществляет на мно-жестве корней. Тем самым группа Aut α K L изоморфно вкладывается в S n .

Пример 3. Как следует из формулы для решения квадратного уравнения, всякое квадратичное расширение поля К характеристи-ки не равной 2 имеет вид K(d), где d ∊ К⊂К 2 . Всякое такое расшире-ние является расширением Галуа. Его группа Галуа порождается автоморфизмом а + b d → а — b d (а , b ∊ К).

2 Теория Галуа

2.1 Группа Галуа

Теория Галуа занимается конечными сепарабельными расши-рениями поля К и, в частности, их изоморфизмами и автомор-физмами . В ней устанавливается связь между расширениями дан-ного поля К , содержащимися в фиксированном нормальном рас-ширении этого поля, и подгруппами некоторой специальной конечной группы. Благодаря этой теории оказывается возможным ответить на различные вопросы о разрешимости алгебраических уравнений.

Все тела, рассматриваемые в этой главе, считаются коммута-тивными. После К будет называться основным.

Если задано основное поле К , то каждое ко-нечное сепарабельное расширение L этого поля порождается некоторым «примитивным элементом» Ѳ: L = К(Ѳ). Расширение L имеет в некотором подходяще выбранном расшире-ний столько же изоморфизмов над К , т. е. изоморфизмов, оставляющих все элементы из К на месте, какова степень n рас-ширения L поля К . В качестве такого расширения P можно взять поле разложения многочлена f (х), корнем которого явля-ется элемент Ѳ. Такое поле разложения является наименьшим над К нормальным расширением, содержащим поле L , или, как мы еще будем говорить, P является нормальным расширением, соответствующим полю L . Изоморфизмы расширения К /Ѳ над К могут быть определены благодаря тому обстоятельству, что эле-мент Ѳ переводится ими в сопряженные элементы Ѳ 1 , ..., Ѳ n поля P . Каждый элемент φ(θ) = ∑ a λ θ λ (a λ ϵ К ) переходит тогда в φ(θ V ) = ∑ a λ θ λ V и поэтому вместо того, чтобы говорить об изоморфизме,

можно говорить о подстановке θ → θ V .

Необходимо, однако, обратить внимание на то, что элементы θ и θ V являются лишь вспомогательным средством, де-лающим более удобным представление изоморфизмов, и что понятие изоморфизма совершенно не зависит от того или иного вы-бора элемента θ.

Теорема 8. Если L — нормальное расширение, то все сопряженные поля К (θ V ) совпадают с L .

Доказательство: Действительно, прежде всего, в этом случае все θ V cодержатся в К(θ) . Но К (θ V ) эквивалентно К (θ) , а потому является нормальным. Следовательно, и наоборот, элемент θ содержится в каждом поле К (θ V ).

Обратно: если L совпадает со всеми полями L (θ V ), то расши-рение L нормально.

Действительно, в этой ситуации расширение L равно полю разложения К (Ѳ 1 , ..., Ѳ n ) многочлена f (x ), а потому оно нор-мально.

Будем впредь считать, что L = К /θ — нормальное расширение. В этом случае изоморфизмы, переводящие L в сопряженное с ним поле К/ θ V , оказываются автоморфизмами поля L . Эти автоморфизмы поля L (оставляющие неподвижным каждый элемент из К ) составляют группу из n элементов, которая назы-вается группой Галуа поля L над полем К или относительно К . В наших последующих рассмотрениях эта группа играет главную роль. Будем обозначать ее через G . Порядок группы Галуа равен степени расширения п = (L : К ).

Когда в некоторых случаях речь заходит о группе Галуа ко-нечного сепарабельного расширения L ", не являющегося нормаль-ным, подразумевается группа Галуа соответствующего нормаль-ного расширения L ϶ L ".

Для отыскания автоморфизмов совсем нет необходимости искать примитивный элемент расширения L . Можно построить L путем нескольких последовательных присоединений: L = К (α 1 , ..., α m ), затем найти изоморфизмы поля К (α 1) , которые перево-дят α 1 в сопряженные с ним элементы, после этого продолжить полученные изоморфизмы до изоморфизмов поля К (α 1 , α 2) и т. д.

Важным частным случаем является такой, когда α 1 , ..., α m — это все корни некоторого уравнения f (x ) = 0, не имеющего крат-ных корней. Под группой уравнения f (x ) = 0 или многочлена f (x ) подразумевается группа Галуа поля разложения К(α 1 , ...,α m ) этого многочлена . Каждый автоморфизм над полем К переводит систему корней в себя, т. е. переставляет корни. Если такая пере-становка известна, то известен и автоморфизм, потому что если, например, α 1 , ..., α m переходят в ά1, ..., ά m , то каждый элемент из

К(α 1 , ... α m ) , как рациональная функция φ(α 1 , ...,α m ) , пе-реходит в соответствующую функцию φ (ά1, ..., ά m ) . Следовательно, группу уравнения можно рассматривать как группу некоторых подстановок корней. Именно эта группа подстановок будет всегда подразумеваться, когда речь зайдет о группе какого-либо урав-нения.

Пусть A — некоторое «промежуточное» поле: К A L . Каждый изоморфизм поля A над К , пере-водящий A в сопряженное с ним поле A " внутри L , можно про-должить до некоторого изоморфизма поля L , т. е. до некоторого элемента группы Галуа. Отсюда следует утверждение.

Два промежуточных поля A , A " сопряжены над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой подстановкой из группы Галуа.

Положим A = К(α) ; тогда точно так же получается утвержде-ние:

Два элемента α, α" поля L сопряжены друг с другом над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга неко-торой подстановкой из группы Галуа поля L .

Если уравнение f (x ) = 0 неразложимо, то все его корни со-пряжены, и наоборот. Следовательно,

Группа уравнения f (x ) = 0 транзитивна тогда и только тогда, когда уравнение неразложимо над основным полем.

Число различных сопряженных с α элементов поля L равно степени неразложимого уравнения, определяющего α . Если это число равно 1, то α является корнем линейного уравнения и поэтому содержится в К . Следовательно,

Теорема 9. Если элемент α поля L остается неподвижным при всех под-становках из группы Галуа поля L , т. е. переводится всеми под-становками в себя, то основное поле К содержит α .

Расширение L поля К называется абелевым, если его группа Галуа абелева, циклическим , если его группа Галуа циклична, и т. д. точно так же уравнение называется абелевым, циклическим, примитивным , если его группа Галуа абелева, циклическая или (как группа подстановок корней) примитивная.

Задача 1. Найти группу Галуа уравнения x 2 + px + q = 0 , если F, char F 2.

Решение: Пусть f (x ) = x 2 + px + q . Обозначим корни этого уравнения

Тогда F( ) = F( ) , (F(α ): F) = 2.

Минимальный многочлен x 2 + px + q не имеет кратных корней, char F 2. Следующее расширение F ⊂ F (α ) - расширение Галуа, тогда группа автоморфизмов | Aut F F (x )|= 2 . Пусть Aut F F (α ) , .

Две возможности:

На множестве корней f (x ), задаются подстановкой.

3 а д а ч а 2. С помощью квадратных и кубических корней решить урав-нения

• х 3 — 2 = 0,
• х 4 — 5 х 2 + 6 = 0

и построить их группы Галуа.

• Пусть f (x ) = х 3 — 2. Корни уравнения могут быть найдены по формуле Муавра.

Q()= Q() ⊂ R, многочлен х 2 — 2 не приводимый над Q

Минимальный многочлен х 3 — 2 ⇒ (K: Q)=(K: Q())(Q()= 3 2 = 9.

Базис расширения Q ⊂ K

Группа Aut Q K являются произведением двух циклических подгрупп порядка 3.

• Пусть f (x )= х 4 — 5 х 2 + 6, f (x ) - неприводимый над Q многочлен.

x 2 = t, t 2 = 5t+6 ⇒ 5t+6=0 ⇒ t 1 =2, t 2 =3

корни f (x ) :

(Q(): Q)=2 ; (Q(): Q)=2

() 2 - 3 = 0 многочлен х 2 — 3 является минимальным многочлена

(Q(): Q)= (Q(): Q) (Q(: Q))= 2

Базисом Q() над Q являются числа: 1,

Q ⊂ (Q()) - расширение Галуа. Число элементов группы автоморфизмов |Aut Q Q() |= 4. Обозначим элементы |Aut Q Q() | тождественно(id ) Этим автоморфизмам соответствует следующие подстановки корней f (x ):

id =

2.2 Основная теорема Галуа

Теорема 10 :

• Каждому промежуточному полю A , K ⊆ A ⊆ L , соответ-ствует некоторая подгруппа g группы Галуа G , а именно, сово-купность тех автоморфизмов из которые оставляют на месте все элементы из A .
• Поле A определяется подгруппой g одно-значно; именно, поле A является совокупностью тех элементов из L , которые «выдерживают» все подстановки из g , т. е. оста-ются инвариантными при этих подстановках.
• Для каждой подгруппы g группы G можно найти поле A , которое находится с подгруппой g в только что описанной связи.
• Порядок под-группы g равен степени поля L над полем A ; индекс подгруппы g в группе G равен степени поля A над полем К .

Доказательство. Совокупность автоморфизмов поля L , оставляющих на месте каждый элемент из A , является группой Галуа поля L над A , т. е. некоторой группой. Тем самым дока-зано утверждение 1. Утверждение 2 следует из тео-ремы 9, примененной к L как расширению и A как основ-ному полю.

Пусть опять L = К (θ) и пусть g — заданная подгруппа группы G . Обозначим через A совокупность элементов из L , которые при всевозможных подстановках σ из g переходят в себя. Очевидно, множество A является полем, потому что если α иβ остаются неподвижными при подстановке σ, то неподвижными при этой подстановке будут и α + β , α - β, α β , и, в случае β≠0, α/β .

Далее, имеет место включение K ⊆ A ⊆ ∑. Группа Галуа поля L над полем A содержит подгруппу g , так как подстановки из g оставляют неподвижными элементы из A . Если бы группа Галуа поля L над A содержала больше элементов, чем входит в g , то степень (L : A ) была бы больше, чем порядок подгруппы g. Эта степень равна степени элемента θ над полем A , так как L =A (θ ). Если σ 1 ..., σ h — подстановки из g , то θ является одним из кор-ней уравнения h - й степени

(х — σ 1 θ) (х — σ 2 θ) ... (х — σ h θ) = 0, (10)

коэффициенты которого остаются инвариантными при действии группы G , а потому принадлежат полю A . Следовательно, степень элемента θ над A не больше, чем порядок подгруппы g . Таким образом, остается лишь одна возможность: подгруппа g является в точности группой Галуа поля L над полем A . Тем самым утверждение 3 доказано.

Если n —порядок группы G , h —порядок подгруппы g и j — индекс этой подгруппы, то

n = (L : К ), h = (L: A ), n = h j, (L : К ) = (L : A ) (A: К ), (11)

откуда (A : К ) = j .

Утверждение 4 доказано.

Согласно только что доказанной теореме связь между под-группами g и промежуточными полями A является взаимно однозначным соответствием. Нахождение подгруппы g , когда известно A , и как найти A , когда известна подгруппа g . Предположим, что уже найдены сопря-женные с θ элементы θ 1 ,...,θ n , выраженные через θ : тогда у нас есть автоморфизмы θ → θ V , которые исчерпывают группу G . Если теперь задано подполе A = К(β 1 ,...,β k ) , где β 1 ,...,β k — известные выражения, зависящие от θ , то g состоит просто из тех подстановок группы G , которые оставляют инвариантными элементы β 1 ,...,β k , потому что такие подстановки оставляют инвариантными все рациональные функции от β 1 ,...,β k .

Обратно, если задана подгруппа g , то составим соответствую-щее произведение

(х — σ 1 θ) (х — σ 2 θ) ... (х — σ h θ) . (12)

Коэффициенты этого многочлена, согласно основной теореме, должны принадлежать полю A и даже порождать поле A , потому, что они порождают поле, относительно которого элемент θ, как корень уравнения (10), имеет степень h , а быть собственным расширением для A это поле не может. Следовательно, образую-щие поля A являются просто элементарными симметрическими функциями от σ 1 θ ,…, σ h θ .

Другой метод состоит в том, чтобы отыскивать элемент который при подстановках из g остается неподвижным, но ника-ких других подстановок из G не выдерживает. Тогда элемент x (θ) принадлежит полю A , но не принадлежит никакому собст-венному подполю поля A ; тем самым этот элемент порождает A .

С помощью основной теоремы теории Галуа получается пол-ное описание промежуточных между K и L полей, когда из-вестна группа Галуа. Число таких полей конечно, по-тому что конечная группа имеет лишь конечное число подгрупп. Об отношении включения между различными полями можно судить по соответствующим группам.

Теорема 11. Если A 1 — подполе поля A 2 , то группа g 1 , соответствующая полю A 1 , содержит группу соответствующую полю g 2 , и наоборот.

Доказательство. Пусть сначала A 1 ⊆ A 2 . Тогда каждая подстановка, оставляющая на месте элементы из A 2 , оставляет на месте и элементы из A 1 .

Определение: Нормальное расширение L поля K называется циклическим расширением, если его группа Галуа является циклической группой.

Задача 1. Если L — циклическое расширение поля К степени n , то для каждого делителя d числа п существует ровно одно промежуточное расшире-ние A степени d и два таких промежуточных поля содержатся друг в друге тогда и только тогда, когда степень одного из них делится на степень другого.

Решение. Циклическим называется расширение Галуа с циклической группой Галуа. По свойствам циклической группы для каждого d | n существует ровно одна подгруппа порядка d . Следовательно, согласно основной теореме теории Галуа, для каждого числа d делящего n существует ровно одно расширение порядка d .

Утверждение о том, что два таких расширения содержатся друг в друге тогда и только тогда, когда степень делит степень другого, также является следствием основной теоремы теории Галуа.

Задача 2. С помощью теории Галуа заново определить подполя в GF (2 6 ) .

Решение. Автоморфизм Фробелиуса α→α 2 порождает группу Галуа порядка 6 поля K. Циклическая группа порядка 6 имеет две подгруппы порядка 2 и 3. Им соответствуют подполя GF (2 3) и GF (2 2). Структура подполей имеет вид: GF(2 6)

GF(2)
3 Приложения теории Галуа

3.1 Решение уравнений в радикалах

Расширение Е поля F называется радикальным расширением, если существуют промежуточные поля F = В 0 , В 1 , В 2 , ..., B r = Е и

B i = B i -1 (α i ) , где каждый элемент α , — корень некоторого уравнения вида

-α i =0, α i ϵ B i -1 . Многочлен f(x) над полем F называется раз-решимым в радикалах, если его поле разложения лежит в некотором радикальном расширении. Мы предполагаем, если не оговорено против-ное, что характеристика основного поля равна нулю и что F содержит столько корней из единицы, сколько нам необходимо для справедливости наших дальнейших утверждений .

Заметим вначале, что любое радикальное расширение поля F все-гда можно продолжить до нормального радикального расширения над F. Действительно, В 1 — нормальное расширение поля В 0 , поскольку оно содержит не только α 1 но и εα 1 где ε — любой корень степени п 1 из едини-цы, откуда следует, что В 1 — поле разложения многочлена х п 1 — α 1 . Если f 1 (x)= , где принимает все значения в группе автоморфизмов поля В 1 над B 0 , то f 1 лежит в В 0 ; присоединяя последовательно корни уравнения), мы придем к расширению B 2 , нормальному над F. Продолжая действовать таким образом, мы придем к радикаль-ному расширению E , которое будет нормальным над F.

Определение: Конечную группу называют разрешимой, если существует такая последовательность вложенных групп { e }= G r ⊂ G r -1 ⊂ …⊂ G 0 что G i - нормальная подгруппа в G i -1 и факторгруппа G i -1 / G i абелева (при i =1,…, r )

Определение: Пусть F содержит примитивный корень степени n из единицы. Любое поле разложения E многочлена

(x n - a 1 )(x n - a 2 ) …(x n - a r ) , где a i F при i =1,2,… r , будут называться куммеровым расширением поля F .

Теорема 12. Многочлен f (x ) разрешим в радикалах, если и только если его группа разрешима.

Предположим, что f(x) разрешим в радикалах. Пусть Е — нор-мальное радикальное расширение поля F , содержащее поле разло-жения В многочлена f(x). Обозначим через G группу поля Е над F. Поскольку для каждого i поле В i , является куммеровым расширением поля B i -1 , группа поля B i над B i -1 абелева. В последовательности групп G = ... = 1 каждая подгруппа нормальна в преды-дущей, поскольку — группа поля Е над

B i -1 , а B i — нормальное расширение группы B i -1 . Но / — группа поля B i над B i -1 и потому она абелева. Следовательно, G разрешима. С другой стороны, G B — нормальная подгруппа группы G , a G/G B — группа поля В над F и, тем самым, группа многочлена f(x). Группа G/G B является гомоморфным образом разрешимой группы G и потому сама разрешима.

Теперь предположим, что группа G многочлена f(x) разрешима, и пусть Е — его поле разложения. Пусть G = ... = 1 — последовательность групп с абелевыми присоединенными факторами. Обозначим через В i неподвижное поле для группы G i . Поскольку G i -1 — группа поля Е над B i -1 и G i — нормальная подгруппа группы G i -1 по-ле B i нормально над B i -1 и группа G i -1 /G i абелева. Таким образом, B i является куммеровым расширением поля B i -1 , а значит, оно является полем разложения многочлена вида (х п — α 1)(х п — α 2)... (х п — α s). По-следовательно строя поля разложения многочленов х п — α k , мы видим, что B i — радикальное расширение поля B i -1 , откуда следует, что и само Е является радикальным расширением.

Предположение, что F содержит корни из единицы, не является необходимым в доказанной теореме. Действительно, если мно-гочлен f(x) обладает разрешимой группой G , то мы можем присоединить к F примитивный корень степени п из единицы, где n , скажем, равно порядку группы G . Группа многочлена f(x), рассматриваемого как много-член над полем, по теореме о естественных иррациональностях явля-ется подгруппой G" группы G , и поэтому она разрешима. Таким образом, поле разложения многочлена f(x) над F" можно получить с помощью присоединения радикалов. Обратно, если поле разложения Е многочле-на f(x) над F можно получить с помощью присоединения радикалов, то, присоединяя подходящий корень из единицы, мы получим расширение Е" поля E , которое все еще нормально над F. Но поле Е" можно было бы получить также присоединяя сперва к полю F корень из единицы, а затем радикалы; сначала бы мы получили расширение F" поля F, а затем от F" перешли бы к Е" . Обозначая через G группу поля Е" над F и че-рез G" — группу поля Е" над F", мы видим, что группа G" разрешима и что G /G" — группа поля F" над F , а потому она абелева. Поэтому группа G разрешима. Факторгруппа G/G E является группой многочлена f(x) и, будучи гомоморфным образом разрешимой группы, сама разрешима .

3.2 Построения с помощью циркуля и линейки

Предположим, что на плоскости задано конечное число элементар-ных геометрических фигур, т. е. точек, прямых и окружностей. Наша задача — найти способ построения других фигур, удовлетворяющих не-которым условиям относительно фигур, заданных изначально.

Допустимыми операциями в таких конструкциях являются выбор произвольной точки, лежащей внутри заданной области, проведение прямой, проходящей через две точки, построение окружности с данным центром и радиусом и, наконец, построение точек пересечения пары прямых, окружностей или прямой и окружности .

Поскольку прямая или отрезок определяются двумя своими точками, а окружность — тремя своими точками или центром и одной точкой, построение циркулем и линейкой можно рассматривать как нахожде-ние точек, удовлетворяющих некоторым условиям, по другим заданным точкам.

Если нам даны две точки, то мы можем соединить их прямой, восстановить перпендикуляр к этой прямой в одной из данных точек и, принимая расстояние между некоторыми двумя точками за единицу, с помощью циркуля отложить любое целое расстояние n на прямой . Более того, применяя стандартный прием, мы можем проводить параллельные прямые и строить частное т/п . Используя пару прямых в качестве осей декартовой системы координат, с помощью циркуля и линейки мы можем построить все точки с рациональными координатами.

Если а, b , с, ... — числа, являющиеся координатами точек, которые определяют заданные фигуры, то можно построить сумму, произведение, разность и частное любой пары этих чисел. Итак, можно построить лю-бой элемент поля Q(a , b , с , ...), которое порождают эти числа над полем рациональных чисел.

Мы можем выбрать произвольную точку заданной области. Если построение циркулем и линейкой возможно, то мы всегда можем выбрать наши произвольные точки так, чтобы их координаты были рациональ-ны. Если соединить прямой две точки, координаты которых принадлежат полю Q(a , b , с, ...), то коэффициенты уравнения этой прямой будут при-надлежать Q(a , b , с, ...), и координаты точки пересечения двух таких прямых также будут принадлежать полю Q (a , b , с, ...). Если окруж-ность проходит через три точки с координатами из того же поля или ее центр и одна ее точка имеют координаты в поле Q(a , b , с, ...), то уравне-ние самой окружности будет иметь коэффициенты в том же поле. Однако для определения координат точек пересечения двух таких окружностей или прямой и окружности требуется привлечение квадратных корней.

Отсюда следует, что если какую-нибудь точку можно построить с помощью циркуля и линейки, то ее координаты должны получаться из поля Q(a , b , с, ...) по формуле, содержащей лишь квадратные корни. Иными словами, координаты такой точки должны лежать в некотором поле вида, где каждое поле явля-ется полем разложения некоторого квадратного многочлена х 2 — над полем.

Если F , B , E - такие три поля, что F ⊂ B ⊂ E, то.

Отсюда следует, что ( / ) является сте-пенью числа 2, поскольку либо

Либо () = 2. Если х — координата построенной точки, то

( (х)/ E 1 )(E S / Е 1 (х)) = (E s / Е 1) = 2 v так что значение (Е 1 (х)/Е 1) также должно быть степенью двойки.

Обратно, если координаты какой-нибудь точки можно получить из Q(a , b , с, ... ) по формуле, использующей только квадратные корни, то такую точку можно построить с помощью циркуля и линейки. Действи-тельно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить сложение, вы-читание, умножение и деление, а если использовать равенство 1: r = r : r 1 , то можно осуществить и извлечение квадратного корня r = .

В качестве иллюстрации этих рассуждений докажем, что трисекция угла в 60° невозможна. Предположим, что мы провели окружность еди-ничного радиуса с центром в вершине угла. Введем координатную систе-му таким образом, чтобы ось абсцисс совпадала с одной из сторон угла, а начало координат совпадало с вершиной угла.

Трисекция угла была бы эквивалентна построению точки с коор-динатами (cos20°, sin20°) на единичной окружности. Из уравнения cos =4cos 3 —3cos следует, что абсцисса такой точки удовлетво-ряет уравнению 4х 3 — Зх= 1/2. Можно легко проверить, что у этого уравнения нет рациональных корней, поэтому оно неприводимо над полем рациональных чисел. Но поскольку мы предположили, что нам даны только прямая и отрезок единичной длины, и поскольку построение угла в 60° возможно, то поле

Q(a , b , с, ...) можно считать изоморфным полю Q рациональных чисел. Однако корень неприводимого уравнения 8x 3 — 6x — 1=0 обладает тем свойством, что (Q()/Q) = 3, и степень этого расширения не является степенью двойки.

3.3 Вычисление группы Галуа

Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа уравнения f (x ) = 0 над полем A , состоит в следующем .

Пусть, ..., — корни уравнения. Построим с помощью переменных выражение

применим к нему всевозможные подстановки s u переменных и составим произведение

F (z , u ) = (14)

Очевидно, это произведение является симметрической функцией корней и поэтому, может быть выражено через коэффициенты многочлена f (x ). Разложим многочлен F (z , и) на неразложимые множители в кольце A [и z ]:

F (z , u ) = F 1 (z , u ) F 2 (z , u .) ... F r (z , и). (15)

Теорема 13. Постановки, которые переводят в себя некоторый сомножитель, скажем, сомножитель F 1 составляют группу ɡ . Мы утверждаем, что группа ɡ —это в точности группа Галуа заданного уравнения.

Доказательство. После присоединения всех корней многочлен F , а потому и многочлен F 1 разлагаются на линейные множители вида z —∑ u v α v , коэффициентами которых служат корни α v , расположенные в некотором порядке. Перенумеруем корни так, чтобы F 1 содержал множитель

В последующем символ s u будет обозначать подстановку симво-лов и, а s α — такую же подстановку символов α . Очевидно, что в таких обо-значениях подстановка s u s α оставляет выражение θ = . инвариантным, т. е.

s u s α θ = θ ,

s α θ = θ.

Если подстановка s u принадлежит группе ɡ , т. е. оставляет инвариантным многочлен F 1 , то s u переводит каждый множитель многочлена F 1 в частности z -θ , вновь в некоторый линейный множитель многочлена F 1 . Обратно, если некоторая подстановка s u переводит множитель z -θ в другой линейный мно-житель многочлена F 1 , то она переводит F 1 в некоторый неразложимый в кольце A [и, z ] многочлен, являющийся делителем многочлена F (z , и), т. е. в один из многочленов Fj и притом в такой, у которого есть общий линей-ный множитель с F 1 ; это означает, что F 1 , переводится в себя. Следовательно, подстановка s u принадлежит группе ɡ . Таким образом, группа ɡ состоит из подстановок символов и , которые переводят z — θ в линейный множитель мно-гочлена F 1 .

Подстановки s α из группы Галуа многочлена f (x ) — это такие подстановки символов α , которые переводят выражение

в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент s α θ удовлетво-ряет тому же неразложимому уравнению, что и θ, т. е. это такие подста-новки s α , которые переводят линейный множитель z — θ в другой линейный множитель многочлена F 1 . Так как s α θ = θ, то подстановка также пере-водит линейный множитель z -θ в линейный множитель многочлена F 1 т. е. , а потому и s u , принадлежит группе ɡ . Верно и обратное утверждение. Следовательно, группа Галуа состоит из тех и только тех подстановок, кото-рые входят в группу ɡ , нужно только символы α заменить на символы и.

Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически, сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, кото-рое звучит так:

Пусть ß — целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители. Пусть ν — простой идеал в ß и = ß / p —кольцо классов вычетов. Пусть A и — поля частных колец ß и. Наконец, пусть f (х) = +… - многочлен из ß [х] , a (x ) получается из f (х) при гомоморфизме ß → , причем оба многочлена не имеют кратных корней. Тогда группа уравнения = 0 над полем (как группа подстановок подходящим образом перенумерованных корней) является подгруппой группы g уравнения f = 0 .

Доказательство Разложение многочлена

F (z , u ) = (17)

на неразложимые множители F 1 , F 2 ,…F k в кольце A [ z , и], осуществляется уже в ß [ z , и], и поэтому его можно перенести с помощью естественного гомоморфизма на [ z , и]:

F (z , u ) = 1 , 2 ,… k . (18)

Множители 1 возможно, окажутся разложимыми дальше. Подстановки из группы переводят F 1 , а потому и 1 в себя, а остальные подста-новки символов и переводят 1 в 2 ,…, k .

Теорема 14. Подстановки из группы пере-водят любой неразложимый множитель многочлена 1 в себя; поэтому они не могут переводить 1 в 2 ,…, k : обязательно 1 переводится в себя, т. е. — некоторая подгруппа группы.

Эта теорема часто используется для нахождения группы. При этом идеал ν выбирают так, чтобы многочлен f (х) был разложим по модулю ν , потому что тогда легче определить группу уравнения. Пусть, например, β — кольцо целых чисел и ν = (р), где р — простое число. Тогда по модулю р многочлен f (х) представляется в виде

f (х) φ 1 (x ) φ 2 (x ) … φ h (x ) (p ) (20)

Следовательно, f 1 2 … h

Группа многочлена (х) циклична, так как группа автоморфизмов поля Галуа обязательно циклична. Пусть s — подстановка, порождающая группу и представляющаяся в виде циклов следующим образом:

(1 2 ... j )(j +1 ...) ... (21)

Так как области транзитивности группы соответствуют неразложимым мно-жителям многочлена f , то символы, входящие в циклы (1 2 ... j )(...).., должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов 1 , 2 ,... Как только оказываются известными степенями j , k , ... многочленов s , оказывается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного j -членного цикла, одного k - членного цикла и т. д. Так как в соответствии с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа оказывается подгруппой группы, группа должна содержать подстановку такого же типа.

Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого множителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа Галуа обязана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5) .

Пример1. Пусть дано целочисленное уравнение

х 5 — х — 1 =0.

Решение: По модулю 2 левая часть разлагается в произведение

(х 2 + х + 1 ) (х 3 + х 2 + 1 ),

а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель первой или второй степени, а потому и общий множитель с х 9 — х ; последнее означает наличие общего множителя либо с х 5 — х, либо с х 5 — х , что, очевидно, невозможно. Тем самым группа заданного уравнения содержит один пятичленный цикл и произведение (i k ) (l т п). Третья степень последней подстановки равна (i k ), а эта последняя, трансформированная с помощью подстановки (1 2 3 4 5) и ее степеней, дает цепь транспозиций

(i k ), (k р), (р q ), (q r ), (r i ), которые все вместе порождают симметрическую группу. Следовательно, — симметрическая группа.

С помощью установленных фактов можно построить уравнение произволь-ной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема:

Теорема 15. Транзитивная группа подстановок n -й степени, содержащая один двойной цикл и один (n —1 ) - членный цикл, является симметрической.

Доказательство. Пусть (1 2 ... п— 1 ) — данный (п — 1)- членный цикл. Двойной цикл (i j ) в силу транзитивности можно перевести в цикл (k n ), где k - один из символов от 1 до п —1. Трансформирование цикла (k п) с помощью цикла (1 2 ... n — 1 ) и степеней последнего дает циклы

(1 n ),(2 n ),..., (n —1 n ), а они порождают всю симметрическую группу.

Чтобы на основании этой теоремы построить уравнение п-й степени (п> 3) с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 многочлен n -й степени f 1 , а затем многочлен f 2 , который по модулю 3 разлагается в произведение неразложимого многочлена (n —1)- й степени и линейного мно-гочлена, и, наконец, выберем многочлен f 3 степени п, который по модулю 5 разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множи-телей нечетных степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5). Все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует неразложимый многочлен любой наперед заданной степени .

В заключение выберем многочлен f так, чтобы выполнялись условия:

f f 1 (mod 2),

f f 2 (mod 3),

f f 3 (mod 5);

сделать это всегда возможно. Достаточно, например, положить

f = - 15 f 1 + 10 f 2 + 6 f 3

Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по модулю 2) и будет содержать цикл типа (1 2 ... n — 1 ) и двойной цикл, умно-женный на циклы нечетного порядка. Если это последнее произведение воз-вести в нечетную степень, подходящим образом подобранную, то получится чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет симметрической.

С помощью этого метода можно доказать не только существование уравне-ний с симметрической группой Галуа, но и нечто большее: именно, асимпто-тически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят границу N , стремящуюся к, имеют симметрическую группу.

Заключение

Изучение элементов теории поля полезно для студентов, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

Целью дипломной работы было изучение теории Галуа и ее приложений. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: получены первые сведения о строении полей, об их простейших подполях и расширениях, а так же рассмотрены группы Галуа и основная теорема Галуа.

В работе были самостоятельно решены задачи по теории Галуа. Так же были приведены интересные примеры по соответствующим теоретическим сведениям.

Список литературы

1. Артин Э. Теория Галуа / Пер. с англ. Самохина А. В. - М.: МЦНМО, 2004, 66с.
2. Бурбаки Н.. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.:Наука, 1965.
3. Ван дер Варден (van der Waerden В.). - Math, Ann., 1931, 109, S 13.
4. Винберг Э. Б. Курс алгебры 2-е издание

5. Винберг Э.Б. Курс алгебры. Изд. 3-е, перераб. и доп.-М.: Факториал Пресс, 2002.

6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.-Изд. 7-е.-М.: Университет, 2007.

7. Городенцев А.Л. Лекции по линейной алгебре. Второй курс.-М.: НМУ МК, 1995

8. Городенцев А.Л. Лекции по алгебре. Второй курс.-М.: НМУ МК, 1993 9. Дуров Н. Метод вычисления групп Галуа многочлена с рациональными коэффициентами. 2005.

10. Кострикина А.И. Сборник задач по алгебре/Под ред.- М.: Физматлит. 2001.

11. Куликов Л.Я.. Алгебра и теория чисел.-М.:Высшая школа, 1979. 12. Курош А.Г.. Курс высшей алгебры.- М.:Высшая школа, 1971. 13. Любецкий В.А.. Основные понятия школьной математики.М.:Просвещение, 1987.

14. Ленг С. Алгебра - M.:Мир, 1968.

Теория Галуа - раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению классических задач:
Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов). В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий.

Лекции читает Алексей Владимирович Савватеев, доктор физико-математических наук, специалист в области теории игр, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доцент ИГУ, популяризатор математики среди детей и взрослых. Работает одновременно в нескольких научных учреждениях, в том числе в Лаборатории исследования социальных отношений и многообразия общества РЭШ. Читает в Яндексе лекции в Школе Анализа Данных, участвует в теоретических исследованиях.

Комментарии: 0

Тони Ротман

Scientific American

В семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц и возможные позиции кубика Рубика. Известно и то, что в том же возрасте Галуа вторично провалился на экзамене по математике при поступлении в Эколь Политекник (Политехнический институт). Ему пришлось поступить в Эколь Нормаль (Высшую педагогическую школу), но в девятнадцать лет он был оттуда исключён, дважды арестован и заключён в тюрьму за политическую деятельность. Незадолго до дуэли он пережил разочарование в любви; в одном из своих последних писем он, по-видимому, связывает это с дуэлью. «Я умираю, - писал он, - жертвой подлой кокетки».

Алексей Савватеев, Алексей Семихатов

Вопрос науки

Зачем математики придумывают всё новые неразрешимые задачи? Зачем нужна современная математика? Среди ученых нет ни одного, кто разбирался бы во всех областях современных математических наук. А математики придумывают все новые и новые неразрешимые задачи, и потом десятилетиями бьются над ними. Зачем все это? И какое отношение математика имеет к нашей жизни? Гость программы доктор физико-математических наук Алексей Савватеев. Беседует Алексей Семихатов.

И целые числа, и многочлены (от одной переменной с коэффициентами в Q, R или Z/pZ) можно делить с остатком. Эта и подобные аналогии в структуре целых чисел и многочленов играли и продолжают играть важную роль в математике, особенно в теории чисел. В этом курсе мы исследуем такие аналогии в контексте теории чисел: на примере непрерывных дробей, уравнения Пелля, квадратичных вычетов, и abc-гипотезы. От слушателей требуется знакомство с пределами и арифметикой вычетов.

Георгий Шабат

Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.

Алексей Савватеев

В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах - простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) - нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).

Аркадий Скопенков

Предлагаются наброски элементарных доказательств: теоремы Гаусса о построимости правильных многоугольников; теоремы о неразрешимости уравнений в вещественных радикалах; теорем Руффини-Абеля и Галуа о неразрешимости уравнений в комплексных радикалах. Приводимые доказательства не используют термина «группа Галуа» (даже термина «группа»). Несмотря на отсутствие этого термина, идеи приводимых доказательств являются отправными для теории Галуа (которая вместе с теорией групп развилась из опыта группировки корней многочлена, с помощью которой их можно выразить через радикалы). Приводимые идеи являются отправными также для конструктивной теории Галуа, активно развивающейся в настоящее время.

Алексей Савватеев

Геометрия - классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая - не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.

Роман Федоров

Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом ζ(s) = ∑ 1/n^s при тех значениях s, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана - так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению x=0).