» » Основы логики и логические основы компьютера. формы мышления логика это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных

Основы логики и логические основы компьютера. формы мышления логика это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных

ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ ЛОГИКА это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений. Логика изучает мышление как средство познания объективного мира. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны. Идеи и аппарат логики используется в кибернетике, вычислительной технике и электротехнике (построение компьютеров основано на законах математической логики). В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы логики. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.


Основные формы мышления Основными формами мышления являются: ПОНЯТИЯ, СУЖДЕНИЯ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. ПОНЯТИЕ - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного объекта или класса однородных объектов. Примеры: портфель, трапеция, ураганный ветер. Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Например, содержание понятия «персональный компьютер» можно раскрыть следующим образом: «Персональный компьютер это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя». Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.


Основные формы мышления СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и отношениях. Суждениями обычно являются повествовательными предложениями, которые могут быть или истинными или ложными. «Берн столица Франции», «Река Кубань впадает в Азовское море», «2>9», «3×5=10» УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем новое суждение (заключение). Все металлы - простые вещества. Литий - металл. Литий - простое вещество. Один из углов треугольника равен 90º. Этот треугольник прямоугольный. 9», «3×5=10» УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем новое суждение (заключение). Все металлы - простые вещества. Литий - металл. Литий - простое вещество. Один из углов треугольника равен 90º. Этот треугольник прямоугольный.">


АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ В основе работы логических схем и устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат - математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции. Английский математик Джордж Буль (г.) создал логическую алгебру, в которой высказывания обозначены буквами. Сочинение Джорджа Буля, в котором подробно исследовалась эта алгебра, было опубликовано в 1854 г. Оно называлось «Исследование законов мысли» («Investigation of the Laws of Thought»). Отсюда ясно, что Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления, то есть законов логики. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.


ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Например: Земля - планета Солнечной системы. (Истинно) 2+8


3) Не являются высказываниями и предложения типа Он сероглаз или х- 4 х + 3=0 - в них не указано о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство. Такие предложения называются высказывательными формами. Высказывательная форма это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями. Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание Некоторые высказывания можно разложить на отдельные части, при этом каждая такая часть будет самостоятельным высказыванием. Например, высказывание Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток состоит из 2 частей. Высказывание может состоять и из большего количества частей. Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым.


Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками НЕ, И, ИЛИ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок. Например, даны простые высказывания: На улице идет дождь. На улице светит солнце. На улице пасмурная погода. Составим из них сложные высказывания: На улице идет дождь и на улице светит солнце. На улице светит солнце или на улице пасмурная погода. Неверно что на улице идет дождь.


В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0. Простые высказывания назвали логическими переменными и для простоты записи их обозначают латинскими буквами: А, В, С… Луна является спутником Земли. А = 1 Москва – столица Германии. В = 0 Сложные высказывания называются логическими функциями. Значения логической функции также может принимать значения только 0 или 1.


БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Логические связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию.


1. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (ОТРИЦАНИЕ) соответствует частице НЕ обозначается черточкой над именем переменной или знаком ¬ перед переменной Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. Таблица истинности инверсии имеет вид: A 01 10


2. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ) соответствует союзу ИЛИ обозначается знаком v или + или Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией. А v В v С =0, только если А=0, В=0, С=0. Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид: AB А V В


3. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ) соответствует союзу И обозначается знаком & или Λ, или · Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных конъюнкцией. А & В & С=1, только если А=1, В=1, С=1. Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид: ABА & В


ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Сложные высказывания можно записывать в виде формул. Для этого простые логические высказывания нужно обозначить как логические переменные буквами и связать их с помощью знаков логических операций. Такие формулы называются логическими выражениями. Например: Чтобы определить значение логического выражения необходимо подставить значения логических переменных в выражение и выполнить логические операции. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. инверсия; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация и эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.


Таблицы истинности Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных). При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий: 1) записать выражение и определить порядок выполнения операций 2) определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение (определяется по формуле Q =2 n, где n - количество входных переменных) 3) определить количество столбцов в таблице истинности (= количество логических переменных + количество логических операций) 4) построить таблицу истинности, обозначить столбцы (имена переменных и обозначения логических операций в порядке их выполнения) и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных. 5) заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.




ABC


ABC Задание. Постройте таблицу истинности для данного логического выражения:


АВ Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак =. Например:


ЗАПИСЬ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ПО ТАБЛИЦЕ ИСТИННОСТИ Правила построения логического выражения: 1. Для каждой строки таблицы истинности с единичным значением функции построить минтерм. Минтермом называется произведение, в котором каждая переменная встречается только один раз либо с отрицанием, либо без него. Переменные, имеющие нулевые значения в строке, входят в минтерм с отрицанием, а переменные со значением 1 без отрицания. 2. Объединить все минтермы операцией дизъюнкция (логическое сложение), что даст стандартную сумму произведений для заданной таблицы истинности.


Пример. Дана таблица истинности: ABCF Для второй строки A=0, B=0, C=1. Эту строку описывает минтерм Для третьей строки A=0, B=1, C=0. Эту строку описывает минтерм Для шестой строки A=1, B=0, C=1. Эту строку описывает минтерм Объединяя термы, получим булево выражение В это выражение вошли термы-произведения для строк с единичным значением функции F, а вся сумма соответствует совокупности из трех строк. Для остальных пяти наборов значений входных переменных это выражение равно нулю. Найдем строки, в которых F=1. Это вторая, третья и шестая. Построим логическое выражение для F.


Логические функции Любое логическое выражение (составное высказывание) можно рассматривать как логическую функцию F(X1,X2,..., Xn) аргументами которой являются логические переменные X1, X2,..., Хn (простые высказывания). Сама функция как и аргументы могут принимать только два различных значения: «истина» (1) и «ложь» (0). Выше были рассмотрены функции двух аргументов: логическое умножение F(A,B) = A&B, логическое сложение F(A,B) = AVB, а также логическое отрицание F(A) = ¬А, в котором значение второго аргумента можно считать равным нулю. Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора значений аргументов. Может существовать N = 2 4 = 16 различных логических функций двух аргументов. Таким образом, существует 16 различных логических функций двух аргументов, каждая из которых задается своей таблицей истинности:


Аргументы Логические функции АВ F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 F5F5 F6F6 F7F7 F8F8 F9F9 F10F10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F Легко заметить, что здесь логическая функция F2 является функцией логического умножения, F8 функцией логического сложения, F13 функцией логического отрицания для аргумента А и F11 функцией логического отрицания для аргумента В. В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не» используются и некоторые другие: «если... то...», «... тогда и только тогда, когда...» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ, и им соответствуют определенные логические функции.


ИМПЛИКАЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ). Импликация двух высказываний А и В соответствует союзу «ЕСЛИ…ТО». Она обозначается символом Запись А В читается как «из А следует В» Импликация двух высказываний истинна всегда, кроме случая, если первое высказывание истинно, а второе ложно. Таблица истинности импликации двух суждений А и В такова: АВА В В программировании эту операцию обозначают «IMP».


ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО, ФУНКЦИЯ ТОЖДЕСТВА) Она обозначается символами или. («тогда и только тогда»). Запись А В читается как «А эквивалентно В». Эквивалентность двух высказываний истинна только в тех случаях, когда оба высказывания ложны или оба истинны. Таблица истинности эквивалентности двух суждений А и В такова: АВА В В программировании эту операцию обозначают «EQV». В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических преобразований к трём базовым логическим операциям: инверсии, дизъюнкции и конъюнкции


Логические законы и правила преобразования логических выражений Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям. Перечислим наиболее важные из них:


1. Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: Этот закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует. 2. Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: Закон непротиворечия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. Это яблоко спелое и Это яблоко не спелое


3. Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина: Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно, либо ложно. Третьего не дано. Сегодня я получу 5 либо не получу. Истинно либо суждение, либо его отрицание. 4. Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать неко­торое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание. Неверно, что 2× 2¹ 4


5. Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых «сомножителей» равносильна одному из них: Дизъюнкция одинаковых «слагаемых» равносильна одному: 6. Законы де Моргана: Смысл законов де Моргана (Август де Морган () - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках: отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых; отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.


7. Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения: Логическое умножение: Логическое сложение: 8. Правило ассоциативности. Если в логическом выраже­нии используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пре­небрегать скобками или произвольно их расставлять: Логическое умножение: Логическое сложение:


9. Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгеб­ры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки, как общие множители, так и общие слагаемые: Дистрибутивность умножения относительно сложения: Дистрибутивность сложения относительно умножения: Законы поглощения:




ЗАДАЧА 1. Разбирается дело Лёнчика, Пончика и Батончика. Кто-то из них нашел и утаил клад. На следствии каждый из них сделал по два заявления. Батончик: «Я не делал этого. Пончик сделал это» Лёнчик: «Пончик не виновен. Батончик сделал это» Пончик: «Я не делал этого. Лёнчик не делал этого» Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто утаил клад? Возможные варианты Высказывания Батончика Высказывания Лёнчика Высказывания Пончика Соответствие условию задачи БЛП¬Б¬БП¬П¬ПБ¬П¬П¬Л¬Л В первом варианте один солгал дважды, а двое сказали правду дважды, что не соответствует условию задачи. В третьем варианте все один раз сказали правду и один раз солгали, что также не соответствует условию задачи. Во втором варианте один дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий один раз сказал правду, а один раз солгал, что соответствует условию задачи. Следовательно клад утаил Пончик. Решение: Введём обозначения: Б –клад утаил Батончик, П - клад утаил Пончик, Л - клад утаил Лёнчик. Рассмотрим три возможных варианта – виноват Батончик, виноват Пончик, виноват Лёнчик. При таких вариантах получаем следующие значения высказываний трёх обвиняемых.


Задача 2. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? Высказывания 1-ого болельщика Высказывания 2-ого болельщика Соответствие условию задачи Н1М2Л2Р4Р3Н Из анализа таблицы видно, что условию задачи соответствует только последняя строка, значит первое место заняла Наташа, второе – Люда, третье – Рита, а Маша –четвёртое. Решение: Введём обозначения: Н1 – Наташа на 1 месте, М2 – Маша на 2 месте, Л2 – Люда на 2 месте, Р4 – Рита на 4 месте, Р3 – Рита на 3 месте, Н2 – Наташа на 2 месте. Занесём возможные варианты высказываний трёх болельщиков в таблицу с учётом того, что каждый из болельщиков оказался прав только в одном из своих прогнозов:


Задача 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? Возможные варианты высказываний Соответствие условию задачи ВК¬ СК¬ МАВКСКМА Проанализируем строки в трёх последних столбцах. Условию задачи соответствует только вторая строка, значит Сергей изучает китайский язык, Михаил – японский (так как он не изучает арабский), тогда Вадим изучает арабский язык. Решение: Введём обозначения: ВК – Вадим изучает китайский язык, СК – Сергей изучает китайский язык, МА - Михаил изучает арабский язык. Занесём в таблицу возможные варианты значений высказываний с учётом условия задачи, что одно из утверждений верно, а два - ложны:


Задача 4. Три одноклассника Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. Решение: Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя профессия увлечение). Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист. Имя Юра Профессия врач Увлечение туризм Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем: Имя ЮраТимур Влад Профессияфизикврачюрист Увлечениебегтуризмрегби Ответ. Влад юрист и регбист, Тимур врач и турист, Юра физик и бегун.


Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. Вот увидишь, Шумахер не придет первым, сказал Джон. Первым будет Хилл. Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, воскликнул Ник. А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым. Питер, к которому обратился Ник, возмутился: Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину. По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки? Задача 2. В спортивных соревнованиях принимали участие пять команд: "Вымпел", "Метеор", "Нептун", "Старт" и "Чайка". Об их итогах соревнования имеется пять высказываний: 1) Второе место занял "Вымпел", a "Cтарт" оказался на третьем. 2) Хорошо выступала команда "Нептун", она стала победителем, а "Чайка" вышла на второе место. 3) Да нет же, "Чайка" заняла только третье место, а "Нептун"- был последним. 4) Первое место по праву завоевал "Cтарт", а "Метеор" был 4-м. 5) Да, "Метеор", действительно, был четвертым, а "Вымпел" был 2-м. Известно, что команды не делили места между собой и что в каждом высказывании одно утверждение правильное, а другое нет. Как распределились места между командами? Задача 3 Три дочери писательницы Дорис Кей Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия?




Логические элементы В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная Дж. Булем. Знания из области математической логики можно использовать для конструирования различных электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых "ложь" и "истина". Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток. Были созданы устройства управления электричеством - электронные схемы, состоящие из набора полупроводниковых элементов. Такие электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока стали называть логическими элементами. Логические элементы это электронные устройства, которые преобразуют проходящие через них двоичные электрические сигналы по определенному закону. Логические элементы имеют один или несколько входов, на которые подаются электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если отсутствует электрический сигнал, и 1, если имеется электрический сигнал. Также логические элементы имеют один выход, с которого снимается преобразованный электрический сигнал. Было доказано, что все электронные схемы компьютера могут быть реализованы с помощью трёх базовых логических элементов И, ИЛИ, НЕ.


Логический элемент НЕ (инвертор) Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания (инверсию). У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается: входвыход Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот.


Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: Если хотя бы на один вход поступает сигнал 1, то на выходе будет сигнал 1. вход 1 вход 2 выход


Логический элемент И (конъюнктор) Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: На выходе этого элемента будет сигнал 1 только в том случае, когда на все входы поступает сигнал 1. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. Другие логические элементы построены из трех простейших базовых элементов и выполняют более сложные логические преобразования информации. вход 1 вход 2 выход


Рассмотрим еще два логических элемента, которые играют роль базовых при создании более сложных элементов и схем. Логический элемент И-НЕ выполняет логическую функцию штрих Шеффера (И-НЕ), он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: Логический элемент ИЛИ-НЕ выполняет логическую функцию стрелка Пирса (И-НЕ), он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:. Логический элемент И-НЕ Логический элемент ИЛИ-НЕ вход 1 вход 2 выход вход 1 вход 2 выход


Функциональные схемы Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов функциональные схемы. Функциональная (логическая) схема – это схема, состоящая из логических элементов, которая выполняет определённую функцию. Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос: какую функцию она выполняет. Ясно, что элемент И осуществляет логическое умножение значений ¬А и В. Над результатом в элементе НЕ осуществляется операция отрицания, т.е. вычисляется значение выражения: Таким образом структурной формулой данной функциональной схемы является формула: Важной формой описания функциональных схем является структурная формула. Покажем на примере, как выписывают формулу по заданной функциональной схеме.


Таблица истинности функциональной схемы Для функциональной схемы можно составить таблицу истинности, то есть таблицу значений сигналов на входах и выходах схемы, по которой можно понять какую функцию выполняет данная схема. Таблица истинности - это табличное представление логической (функциональной) схемы в котором перечислены все возможные сочетания значений входных сигналов вместе со значением выходного сигнала для каждого из этих сочетаний. Составим таблицу истинности для данной логической схемы: А (вход 1) В (вход 2) С (выход) Начертим таблицу: количество столбцов = количество входов + количество выходов, количество строк = 2 количество входов. В данной таблице 3 столбца и 4 строки. Заполним первые столбцы всеми возможными вариантами входных сигналов


Рассмотрим первый вариант входных сигналов: А=0, В=0. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=1), запишем в таблицу. Рассмотрим второй вариант входных сигналов: А=0, В=1. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=0), запишем в таблицу. Рассмотрим третий вариант входных сигналов: А=1, В=0. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=1), запишем в таблицу.


Рассмотрим четвёртый вариант входных сигналов: А=1, В=1. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=1), запишем в таблицу. В результате получаем таблицу истинности данной логической схемы: А (вход 1) В (вход 2) С (выход) Задание. Построить таблицу истинности для данной логической схемы и записать формулу для данной схемы:


Логическая реализация типовых устройств компьютера Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в состав процессора входит так называемое арифметико-логическое устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры. Выясним, как из логических элементов разрабатываются логические устройства.


Этапы конструирования логического устройства. Конструирование логического устройства состоит из следующих этапов: 1. Построение таблицы истинности по заданным условиям работы проектируемого узла (т.е. по соответствию его входных и выходных сигналов). 2. Конструирование логической функции данного узла по таблице истинности, ее преобразование (упрощение), если это возможно и необходимо. 3. Составление функциональной схемы проектируемого узла по формуле логической функции. После этого остается только реализовать полученную схему.


Задание. Построить логическую схему для заданной таблицы истинности: АВСF Запишем логическую функцию по данной таблице истинности: Упростим полученное логическое выражение: Построим логическую схему для данного выражения:


Попробуем, действуя по этому плану, сконструировать устройство для сложения двух двоичных чисел (одноразрядный полусумматор). Пусть нам необходимо сложить двоичные числа А и В. Через P и S обозначим первую и вторую цифру суммы: A + B = PS. Вспомните таблицу сложения двоичных чисел. 1. Таблица истинности, определяющая результат сложения, имеет вид: Слагаемые ПереносСумма АВРS Сконструируем функции P(A,B) и S(A,B) по этой таблице: Преобразуем вторую формулу, пользуясь законами логики:


3. Теперь можно построить функциональную схему одноразрядного полусумматора: Чтобы убедиться в том, как работает схема, проследите за прохождением сигналов в каждом из четырёх случаев и составьте таблицу истинности данной логической схемы. Условное обозначение одноразрядного сумматора:


Одноразрядный двоичный сумматор на три входа и два выхода называется полным одноразрядным сумматором. Логика работы одноразрядного сумматора на три входа или полного сумматора приведена в таблице, где А, В - суммируемые двоичные цифры, Pо - перенос из младшего разряда, S - образующаяся сумма данного разряда и осуществляет перенос P в следующий старший разряд. Полный одноразрядный сумматор. Слагаемые Перенос из младшего разряда Сумма Перенос АBP0P0 SP Формула переноса:. Формула для вычисления суммы:




Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел поразрядным сложением. Сумматор является центральным узлом арифметико-логического устройства процессора. Находит он применение и в других устройствах компьютера. В реальных электронных схемах сумматор изображается так: Сумматор выполняет сложение многозначных двоичных чисел. Он представляет собой последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров, каждый из которых осуществляет сложение в одном разряде. Если при этом возникает переполнение разряда, то перенос суммируется с содержимым старшего соседнего разряда. На рисунке показано, как из N сумматоров можно составить устройство для сложения двух N- разрядных двоичных кодов, это схема многоразрядного сумматора.


ТРИГГЕР Триггер - электронная схема, применяемая для хранения значения одноразрядного двоичного кода. Воздействуя на входы триггера, его переводят в одно из двух возможных состояний (0 или 1). С поступлением сигналов на входы триггера в зависимости от его состояния либо происходит переключение, либо исходное состояние сохраняется. При отсутствии входных сигналов триггер сохраняет свое состояние сколь угодно долго. Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического состояния в другое. Существуют разные варианты исполнения триггеров в зависимости от элементной базы (И-НЕ, ИЛИ-НЕ) и функциональных связей между сигналами на входах и выходах (RS, JK, T, D и другие). Самый распространённый тип триггера - это RS-триггер (S и R соответственно от английских set - установка, и reset - сброс). Условное обозначение RS-триггера:


RS-триггер RS-триггер построен на 2-х логических элементах: ИЛИ - НЕ либо И – НЕ. Как, правило, триггер имеет 2 выхода: прямой и инверсный Q и. Как он работает? Пусть на вход элемента 1 подан сигнал 1, а на вход элемента На выходе элемента 1 независимо от того, какой второй сигнал поступит на вход, будет 1, т.к. это элемент ИЛИ (по свойствам дизъюнкции). Пройдя через элемент 2 сигнал примет значение 0 (Q=0). Следовательно, и на втором входе элемента 3 установится сигнал 0. На выходе элемента Пройдя через элемент 4 сигнал изменится на 1. Следовательно, = 1. Убедимся, что данное устройство сохраняет информацию. Запомните, что S=0, R=1, Q=0, =1. В момент прекращения входных сигналов (S=0, R=0) на выходе =1. Это напряжение подается на вход элемента 1. На выходе элемента 1 сохраняется 1, и на Q - сигнал 0. На входах элемента 3 - 0, следовательно =1. Таким образом, при отсутствии на внешних входах сигналов 1 триггер поддерживает постоянное напряжение на своих выходах. Чтобы изменить напряжение на выходах триггера, надо подать сигнал 1 на вход элемента 3. Тогда Q=1, =0. РЕГИСТРЫ РЕГИСТРЫ. Функциональная схема компьютера, состоящая из триггеров, предназначенная для запоминания многоразрядных кодов и выполнения над ними некоторых логических преобразований называется регистром. Упрощенно регистр можно представить как совокупность ячеек, в каждой из которых может быть записано одно из двух значений: 0 или 1, то есть один разряд двоичного числа. С помощью регистров можно выполнять следующие операции: установку, сдвиг, преобразование. Основными типами регистров являются параллельные и последовательные (сдвигающие). Совокупность регистров, используемых ЭВМ для запоминания программы работы, исходных и промежуточных результатов называется оперативной памятью (ОП). Регистры содержатся в различных вычислительных узлах компьютера - процессоре, периферийных устройствах и т.д. Регистр - это устройство, предназначенное для хранения многоразрядного двоичного числового кода, которым можно представлять и адрес, и команду, и данные.


РЕГИСТРЫ Существует несколько типов регистров, отличающихся видом выполняемых операций. Некоторые важные регистры имеют свои названия, например: сдвиговый регистр - предназначен для выполнения операции сдвига; счетчики - схемы, способные считать поступающие на вход импульсы. К ним относятся Т-триггеры (название от англ. tumble - опрокидываться). Этот триггер имеет один счетный вход и два выхода. Под действием сигналов триггер меняет свое состояние с нулевого на единичное и наоборот. Число перебрасываний соответствует числу поступивших сигналов; счетчик команд - регистр устройства управления процессора (УУ), содержимое которого соответствует адресу очередной выполняемой команды; служит для автоматической выборки программы из последовательных ячеек памяти; регистр команд - регистр УУ для хранения кода команды на период времени, необходимый для ее выполнения. Часть его разрядов используется для хранения кода операции, остальные - для хранения кодов адресов операндов. В ЭВМ применяются регистры 8, 16, 32, 48 и 64 разрядов.


ШИФРАТОРЫ И ДЕШИФРАТОРЫ Шифратор и дешифратор являются типовыми узлами ЭВМ. Шифратор (кодер) - это логическое устройство, которое преобразует единичный сигнал на одном из входов в n-разрядный двоичный код. Наибольшее применение он находит в устройствах ввода информации (например в клавиатуре), для преобразования десятичных чисел в двоичную систему счисления. Дешифратор (декодер) - это логическое устройство, преобразующее двоичный код, поступающий на его входы, в сигнал только на одном из его выходов. Дешифраторы широко применяются в устройствах управления, в системах цифровой индикации с газоразрядными индикаторами, для построения распределителей импульсов по различным цепям и т.д. Схема используется для перевода двоичных цифр в десятичные. Дешифратор двоичного n-разрядного кода имеет 2 n выходов, т.к. каждому из 2 n значений входного кода должен соответствовать единичный сигнал на одном из выходов дешифратора.


Понятие закона мышления. Под законами мышления понимаются такие законы, которым наше мышление должно подчиняться для того, чтобы оно было логическим, т. е. истинным. Если сказать, что существуют такие законы, которым должно подчиняться мышление для того, чтобы сделаться истинным, то многим кажется, что нужно только знать, в чём заключаются эти законы, и применять их в процессе мышления для того, чтобы избежать ошибок мышления. Но такое мнение совершенно несправедливо, потому что так называемые законы мышления не суть законы, которые мы должны применять сознательно, преднамеренно, а это - законы, которыми мы пользуемся бессознательно. Так как преднамеренное пользование законами мышления невозможно, то многие думают, что эти законы не имеют никакого практического значения для нашего мышления. По их мнению, они могли бы иметь значение только в том случае, если бы мы могли ими пользоваться для достижения истины, а раз они такой цели служить не могут, то их следует отвергнуть, как совершенно бесполезные.
Чтобы определить действительное значение законов мышления, нам следует вспомнить то, что было сказано выше о различии между психологией и логикой. Мы видели, что психология, как и естественные науки, имеет целью описывать процессы мышления так, как они совершаются в действительности. В этом смысле естествознание формулирует общие положения, которые и называются законами природы; таким же образом и психология формулирует общие положения, служащие для выражения того, как совершается мышление, и эти общие положения можно назвать законами мышления. Логические законы мышления не поставляют своею целью изобразить, как совершается мышление вообще, но имеют целью изобразить, как должно совершаться то мышление, которое приводит к достижению истины. Поэтому законы мышления мы должны называть законами мышления не в том смысле, в каком обыкновенно закон природы называется законом, именно, как формулирование того, что совершается фактически, но они суть законы в том смысле, что представляют собою известные требования, которым мысль наша должна подчиняться; мысль, чтобы быть правильной, должна следовать этим требованиям. Обыкновенно признают четыре закона мышления, именно: «закон тождества», «закон противоречия», «закон исключённого третьего» и «закон достаточного основания». Закон тождества. Закон тождества можно формулировать: «А есть А», т. е. всякий предмет есть то, что он есть. На первый взгляд кажется, что эта формула содержит в себе нечто само собой разумеющееся и потому практически не имеющее никакой ценности. Но в действительности этот закон содержит весьма важное требование, а именно, чтобы в процессе нашего мышления каждая мыслимая вещь или представление мыслимой вещи, которое мы обозначим символически при помощи А, сохраняло своё тождество. Если в нашем мышлении возникает представление какой-либо вещи (А), то оно и в дальнейших процессах мышления должно мыслиться с тем же содержанием, с каким мыслилось вначале. То, что мы мыслим в данный момент о той или Другой вещи, мы должны мыслить и спустя известное время, т. е. мы должны мыслить с тем же самым содержанием, с каким мыслили раньше. Логическая мысль не могла бы осуществиться, если бы я, сказав, что А есть В, при повторении этого суждения думал уже не об Л, а о чём-нибудь другом. Ее ли бы я, например, высказывая суждение, что «поваренная соль состоит из хлора и натрия», думал о поваренной соли, при повторении же суждения стал думать о какой-нибудь другой соли, то процесс мышления привёл бы меня к ложным результатам. Необходимо, чтобы я вторично, при повторении суждения «поваренная соль состоит из хлора и натрия», думал именно о поваренной соли, а не о какой-либо другой соли. Нужно, чтобы в процессе мышления каждая мыслимая вещь оставалась тождественной самой себе. Без соблюдения этого требования не может осуществиться логическое мышление, т. е. истинное мышление.
Таким образом, по закону тождества, всё то, что мы мыслим, должно оставаться тождественным самому себе. Этот закон применяется главным образом к понятиям и представлениям. Они в процессе мышления должны оставаться тождественными самим себе, иначе будет нарушена правильность мышления.
Когда же мы начинаем соединять представления, другими словами, когда мы начинаем составлять суждения, то является неосадимость применять ещё три закона, именно: закон противоречия, закон исключённого третьего и закон достаточного основания.

Еще по теме О ЗАКОНАХ МЫШЛЕНИЯ:

  1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ В ДИАЛЕКТИЧЕСКОЙ И ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКАХ
  2. 11.3. Теории мышления в отечественной психологии Структурная организация процессов мышления 1.
  3. 31. ПРОЦЕССЫ, ФОРМЫ, СВОЙСТВА МЫШЛЕНИЯ. ВООБРАЖЕНИЕ, ТВОРЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
  4. 8. Мышление и интеллект 8.1. Мышление как психический процесс

ЛОГИКА

Учебник для гуманитарных факультетов

ББК 87.4 И25

Ивин А. А.

И25 Логика: Учебник для гуманитарных факультетов. - М..:

ФАИР-ПРЕСС, 2000.- 320 с.

ISBN 5-8183-0045-5

Базовый учебник логики для высших учебных заведений Рассматриваются основные понятия, идеи и методы современной логики, законы и операции правильного мышления. Особое внимание уделяется логическому анализу естественного языка, проблеме понимания и искусству полемики и дискуссии. Структура и подбор тем позволяют моделировать курс логики соответственно объему учебного времени и профилю учебного заведения

Учебник рассчитан в первую очередь на студентов и преподавателей гуманитарных специальностей. Благодаря характеру излагаемого материала, доступности изложения и прозрачности языка учебник может быть интересен и для широкого круга читателей.

Никакая часть донной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав

ISBN 5-8183-0045-5


ПРЕДИСЛОВИЕ

Логика - одна из самых старых наук. Ее богатая событиями история началась еще в Древней Греции и насчитывает две с половиной тысячи лет. В конце прошлого - начале нынешнего века в логике произошла научная революция, в результате которой в корне изменились стиль рассуждении, методы и наука как бы обрела второе дыхание. Теперь логика - одна из наиболее динамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.

Говорить о логике и легко, и одновременно сложно. Легко потому, что ее законы лежат в основе нашего мышления. Интуитивно они известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно. В этом смысле логика общеизвестна.

Один из героев комедии Мольера только случайно обнаружил, что он всю жизнь говорил прозой. Так и с усвоенной нами стихийно логикой. Можно постоянно применять ее законы - и притом весьма умело - и вместе с тем не иметь ясного представления ни об одном из них.

Однако, стихийно сложившиеся навыки логически совершенного мышления и научная теория такого мышления совсем разные вещи. Логическая теория своеобразна. Она высказывает об обычном - о человеческом мышлении - то, что кажется на первый взгляд необычным и без необходимости усложненным. К тому же основное ее содержание формулируется на особом, созданном специально для этих целей искусственном языке. Отсюда сложность первого знакомства с логикой: на привычное и устоявшееся надо взглянуть новыми глазами и увидеть глубину за тем, что представлялось само собою разумеющимся.

Подобно тому, как умение говорить существовало еще задолго до грамматики, так и искусство правильно мыслить существовало до возникновения науки логики. Подавляющее большинство людей и сейчас размышляют и рассуждают, не обращаясь за помощью к особой науке и не рассчитывая на эту помощь. Некоторые склонны даже считать собственное мышление естественным процессом, требующим анализа и контроля не больше, чем, скажем, дыхание или ходьба.

Разумеется, это заблуждение. Знакомство уже с первыми разделами книги покажет необоснованность такого чрезмерного оптимизма в отношении наших стихийно сложившихся навыков правильного мышления.

Настоящий учебник рассчитан на представителей гуманитарных специальностей. Символические средства, широко используемые современной логикой, сведены к минимуму. Особое внимание уделяется естественному языку и тем логическим ошибкам, которые возможны при его употреблении. Гуманитарные науки отличаются от естественных, в частности, тем, что устанавливают эксплицитные оценки и нормы. В связи с этим в книге подробно обсуждаются проблемы, связанные с неописательными употреблениями языка и с аргументацией в поддержку оценок и норм. Понятие понимания - одно из центральных в методологии гуманитарного познания. В главе, посвященной пониманию, анализируется логическая структура этой операции и три основных области ее приложения: понимание поведения, понимание языковых выражений и понимание природы. При описании способов аргументации особое внимание уделяется теоретическим и контекстуальным аргументам, находящим широкое применение в гуманитарных науках.

Лет триста назад авторы книг по логике считали своим долгом предостеречь читателя от торопливости при чтении: «В водах логики не следует плыть с полными парусами». С тех пор логика сделала гигантский шаг вперед. Ее содержание расширилось и углубилось. И старый этот совет кажется теперь особенно полезным.


ЗАДАЧИ ЛОГИКИ

ПРАВИЛЬНОЕ РАССУЖДЕНИЕ

Слово «логика» употребляется довольно часто, но в разных значениях.

Нередко говорят о логике событий, логике характера и т.п. В этих случаях имеется в виду определенная последовательность и взаимозависимость событий или поступков, наличие в них некоторой общей линии.

Слово «логика» употребляется также в связи с процессами мышления. Так, мы говорим о логичном и нелогичном мышлении, имея в виду присутствие или отсутствие таких его свойств, как последовательность, доказательность и т.п.

В третьем смысле «логика» является именем особой науки о мышлении, называемой также формальной логикой.

Трудно найти более многогранное и сложное явление, чем человеческое мышление. Оно изучается многими науками, и логика - одна из них. Ее предмет - логические законы и логические операции мышления. Принципы, устанавливаемые логикой, необходимы, как и все научные законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены следовать им.

Формальная логика - наука о законах и операциях правильного мышления.

Основной задачей логики является отделение правильных способов рассуждения (выводов, умозаключений) т неправильных.

Правильные выводы называются также обоснованными, последовательными или логичными.

Рассуждение представляет собой определенную, внутренне обусловленную связь утверждений. От нашей воли зависит, на чем остановить свою мысль. В любое время мы можем прервать начатое рассуждение и перейти к другой теме. Но если мы решим провести его до конца, то сразу же попадем в сети необходимости, стоящей выше нашей воли и желаний. Согласившись с одними утверждениями, мы вынуждены принять и те, что из них следуют, независимо от того, нравятся они нам или нет, способствуют нашим целям или, напротив, препятствуют им. Допустив одно, мы тем самым автоматически лишаем себя возможности утверждать другое, несовместимое с уже допущенным.

Если мы убеждены, что все жидкости упруги, мы должны признать также, что вещества, не являющиеся упругими, не относятся к жидкостям Убедив себя, что каждое водоплавающее существо обязательно дышит жабрами, мы исключаем из разряда водоплавающих дышащих легкими - китов и дельфинов

В чем источник этой логической необходимости? Что именно следует считать несовместимым с принятыми уже утверждениями и что должно приниматься вместе с ними? Из размышления над этими вопросами и выросла особая наука о мышлении - логика. Отвечая на вопрос «что из чего следует?», она отделяет правильные способы рассуждения от неправильных и систематизирует первые.

Правильным является следующий вывод, использовавшийся в качестве стандартного примера еще в Древней Греции:

Все люди смертны; Сократ - человек; следовательно, Сократ смертен.

Первые два высказывания - это посылки вывода, третье - его заключение.

Правильным будет, очевидно, и такое рассуждение:

Всякий металл электропроводен; натрий - металл; значит, натрий электропроводен.

Сразу же можно заметить сходство данных двух выводов, но не в содержании входящих в них утверждений, а в характере связи этих утверждений между собою. Можно даже почувствовать, что с точки зрения правильности эти выводы совершенно идентичны:

если правильным является один из них, то таким же будет и другой, и притом в силу тех же самых оснований.

Еще один пример правильного вывода, связанного со знаменитым опытом Фуко.

Если Земля вращается вокруг своей оси, маятники, качающиеся на ее поверхности, постепенно изменяют плоскость своих колебании; Земля вращается вокруг своей оси: значит, маятники на ее поверхности постепенно изменяют плоскость своих колебании.

Как протекает это рассуждение о Земле и маятниках? Сначала устанавливается условная связь между вращением Земли и изменением плоскости колебания маятников Затем констатируется, что Земля действительно вращается. Из этого выводится, что маятники в самом деле постепенно изменяют плоскость своих колебании. Это заключение вытекает с какой-то принудительной силой Оно как бы навязывается всем, кто принял посылки рассуждения. Именно поэтому можно было бы сказать также, что маятники должны изменять плоскость своих колебании, с необходимостью делают это.

Схема данного рассуждения проста:если есть первое, то есть второе; имеет место первое; значит, есть и второе.

Принципиально важным является то, что, о чем бы мы ни рассуждали по такой схеме - о Земле и маятниках, о человеке или химических элементах, о мифах или богах, рассуждение останется правильным.

Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в схему вместо слов «первое» и «второе» два утверждения с любым конкретным содержанием.

Изменим несколько данную схему и будем рассуждать так: если есть первое, то имеется второе; имеет место второе; значит, есть и первое.

Например:

Если идет дождь, земля мокрая; земля мокрая; следовательно, идет дождь.

Этот вывод, очевидно, неправилен. Верно, что всякий раз, когда идет дождь, земля мокрая. Но из этого условного утверждения и того факта, что земля мокрая, вовсе не вытекает, что идет дождь. Земля может оказаться мокрой и без дождя, ее можно намочить, скажем, из шланга, она может быть мокрой после таяния снега и т.д.

Еще один пример рассуждения по последней схеме подтвердит, что она способна приводить к ложным заключениям:

Если у человека повышенная температура - он болен: человек болен; значит, у него повышенная температура.

Однако такое заключение не вытекает с необходимостью: люди с повышенной температурой действительно больны, но далеко не у всех больных такая температура.

Отличительная особенность правильного вывода заключается в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению.

Этим объясняется тот огромный интерес, который логика проявляет к правильным выводам. Они позволяют из уже имеющегося знания получать новое знание, и притом с помощью «чистого» рассуждения, без всякого обращения к опыту, интуиции и т.п. Правильное рассуждение как бы разворачивает и конкретизирует наши знания. Оно дает стопроцентную гарантию успеха, а не просто обеспечивает ту или иную - быть может, и высокую - вероятность истинного заключения.

Если посылки, или хотя бы одна из них, являются ложными, правильное рассуждение может давать в итоге как истину, так и ложь. Неправильные рассуждения могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям. Никакой определенности здесь нет. С логической необходимостью заключение вытекает только в случае правильных, обоснованных выводов.

Логика занимается, конечно, не только связями утверждений в правильных выводах, но и другими проблемами. В числе последних - смысл и значение выражений языка, различные отношения между понятиями, определение понятий, вероятностные и статистические рассуждения, софизмы и парадоксы и др. Но главная и доминирующая тема формальной логики - это, несомненно, анализ правильности рассуждения, исследование «принудительной силы речей», как говорил основатель этой науки - древнегреческий философ и логик Аристотель.

ЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМА

Формальная логика, как уже говорилось, отделяет правильные способы рассуждения от неправильных и систематизирует первые.

Своеобразие формальной логики связано прежде всего с ее основным принципом, в соответствии с которым правильность рассуждения зависит только от его логической формы.


©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16

Формальная логика в своем развитии прошла два основных этапа. Начало первого этапа связано с работами древнегреческого философа Аристотеля, в которых впервые дано систематическое изложение логики. Логику Аристотеля и всю доматематическую логику обычно называют «традиционной» логикой. Традиционная логика выделяет и описывает зафиксированные в языке некоторые простейшие формы рассуждений. Второй этап – это появление математической или символической логики. . Лейбницем в конце XVII в

Основной задачей логики является отделение правильных способов рассуждения (выводов, умозаключений) от неправильных.

Правильные выводы называются также обоснованными, последовательными или логичными.

Рассуждение представляет собой определенную, внутренне обусловленную связь утверждений. От нашей воли зависит, на чем остановить свою мысль. В любое время мы можем прервать начатое рассуждение и перейти к другой теме.

Если Земля вращается вокруг своей оси, маятники, качающиеся на ее поверхности, постепенно изменяют плоскость своих колебаний; Земля вращается вокруг своей оси; значит, маятники на ее поверхности постепенно изменяют плоскость своих колебаний.

Как протекает это рассуждение о Земле и маятниках? Сначала устанавливается условная связь между вращением Земли и изменением плоскости колебания маятников. Затем констатируется, что Земля действительно вращается. Из этого выводится, что маятники в самом деле постепенно изменяют плоскость своих колебаний. Это заключение вытекает с какой-то принудительной силой. Оно как бы навязывается всем, кто принял посылки рассуждения. Именно поэтому можно было бы сказать также, что маятники должны изменять плоскость своих колебаний, с необходимостью делают это.

Схема данного рассуждения проста: если есть первое, то есть второе; имеет место первое; значит, есть и второе.

Отличительная особенность правильного вывода заключается в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению



Логика учит их сознательно пользоваться исходными принципами правильного мышления, прививает навык формулирования четкой, стройной и убедительной мысли, обеспечивает самостоятельность в ходе рассуждения, развивает и дисциплинирует умственные способности, совершенствует формальный аппарат человеческого разума.

Вследствие этого, знание логики является неотъемлемой частью юридического образования. Это обусловлено спецификой работы юриста, будь он судья, адвокат, юрисконсульт, ученый-правовед и т.д. Всем им приходится постоянно определять и классифицировать выводы как решения, заниматься аргументацией и опровержением, обеспечивать точность и ясность высказываний, чтобы они однозначно трактовались и воспринимались людьми.

2 Логика изучает мышление со стороны его правильных форм. Правильное построение мыслей в процессе рассуждения свойственно всем, оно складывается и развивается непроизвольно, вместе с овладением речью.

Логика - философская наука о законах и формах правильного мышления.

Мышление, как и всё на свете, можно рассматривать с 2-х сторон: со стороны его содержания (о чём мысль) и со стороны формы , т.е. способа связи мыслимого содержания. Содержание мышления бесконечно разнообразно, непрерывно меняется, развивается у каждого отдельного человека и у человечества в целом.

По содержанию мысли бывают либо истинными , т.е. соответствующими действительности, либо ложными , т.е. не соответствующими действительности. По форме же мысли характеризуются как правильные либо неправильные . При этом всё многообразие мышления сводится к 3-м основным формам, имеющим общечеловеческий характер и не зависящим ни от содержания, ни от языка рассуждения:

понятие: мысль о предмете (вещи, явлении, действии), обозначаемая в языке словом или группой слов.

Примеры: "человек", "добрый человек", "снежный человек", "человек, переходящий улицу", "игра", "затмение", "парадокс", "бессовестный", "прыгание", "непогода".

2. Суждение иливысказывание: утвердительная или отрицательная связь двух или нескольких понятий, выражаемая предложением.

Примеры : "Снежный человек ушёл в горы", "Вчера шёл снег или дождь", "Москва - столица России", "У каждого должна быть своя мечта", "Чудес на свете не бывает", " Не было бы счастья, да несчастье помогло".

3. Умозаключение: рассуждение, позволяющее из одной, двух и более мыслей-посылок получать новую мысль-вывод, илиобосновывать уже известную мысль

Логический закон - это необходимое отношение между мыслями, ведущее к истине

Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.

Логика высказываний исходит из следующих двух допущений:

1) всякое высказывание является либо истинным либо ложным (принцип двузначности);

2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

На основе этих допущений ранее были даны строгие определения логических связок «и», «или», «если, то» и др. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями связок. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным её построением

Согласно принятым определениям:

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны;

Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в неё высказываний истинно;

Строгая дизъюнкция истинна, когда одно из входящих в неё высказываний истинно, а второе ложно;

Импликация истинна в трех случаях: её основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;

Эквивалентность истинна, когда два приравниваемых в ней высказывания оба истинны или оба ложны;

Отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.

Из всех логических законов самым известным является, без сомнения, закон противоречия. И вместе с тем в истории логики не было периода, когда бы этот закон не оспаривался и когда бы дискуссии вокруг него совершенно затихали.

Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания "Луна – спутник Земли" и "Луна не является спутником Земли", "Трава – зеленая" и "Неверно, что трава зеленая" и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом – это же самое отрицается.

Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях – отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости – отсюда другое распространенное имя – закон непротиворечия.

Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным.

Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным

Закон тождества

В процессе рассуждения всякая мысль должна оставаться тождественной себе, т.е. иметь определённое, устойчивое содержание . Рассуждая о каком-либо предмете, необходимо мыслить именно этот предмет, в одном и том же содержании его признаков. Закон требует не отождествлять различные понятия и мысли, не выдавать тождественное за различное, т.е. требует определённости, недвусмысленности.

Пример нарушения:

"- Знаешь ты этого закрытого человека?

Нет, не знаю.

Это твой отец. Значит, ты не знаешь своего отца!"

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.

Два противоречащих друг другу суждения не могут быть одновременно ложны, одно из них необходимо истинно. Иначе говоря, из двух противоречащих друг другу суждений одно истинно, другое - ложно, а третьего не дано. Закон требует не уклоняться от признания одной из взаимоисключающих альтернатив.

Например , от присяжных требуется чёткое решение - виновен либо не виновен подсудимый. "Осетрина не первой свежести" - пример нарушения закона исключённого третьего.

Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована. Этот закон выражает требование обоснованности мыслей. В процессе рассуждения достоверными следует считать лишь те суждения, относительно истинности которых можно привести достаточные основания. Или: всякая мысль должна быть обоснована другими, истинность которых уже доказана.

Под доказательством в логике понимается процедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.

В доказательстве различаются тезис – утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) – те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства.

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные.

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса

В зависимости от того, как показывается ложность антитезиса, можно выделить несколько вариантов косвенного доказательства

анализ самой логической структуры следствий антитезиса. Если в числе следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным будет он и в том случае, если из него выводится внутренне противоречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ПРЕДМЕТУ

«ЛОГИКА»

Для студентов очной формы обучения


СОСТАВИТЕЛИ:

© КАЗАРОВА Д.С., КАНДИДАТ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ НАУК, ДОЦЕНТ

ОБЩЕЮРИДИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

© ПОПОВ С.Е. КАНДИТАТ ЮРИДИЧЕСКИХ НАУК, НАЧАЛЬНИК

ЛИПЕЦКОГО ФИЛИАЛА ВОРОНЕЖСКОГО ИНСТИТУТА МВД РФ

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

ПОЛЯКОВА И.П., КАНДИДАТ ФИЛОСОВСКИХ НАУК, ДОЦЕНТ

КАФЕДРЫ ФИЛОСОФИИ ЛГТУ

ТАТАРКИНА Н.И., КАНДИДАТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК, ДОЦЕНТ

КАФЕДРЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ

ДИСЦИПЛИН ЛФ ВИ МВД РОССИИ

КЛИМОВА И.В.,. КАНДИДАТ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ НАУК,

ДОЦЕНТ КАФЕДРЫ ПСИХОЛОГИИ, ЛГТУ

РЕДАКТОР

КОРОТАЕВА А.Ш., МЕТОДИСТ УМЦ

Теоретический курс и задания к семинарским и практическим занятиям по курсу ЛОГИКА. – Липецк: Липецкий филиал ВИ МВД РФ, 2005 - стр. 72.

Логика содействует формированию связной и ясной речи, что необходимо юристу.

Логика воспитывает умение убеждать и обосновывать свои идеи. Если мы способны обосновать свою мысль, свое решение того или иного вопроса, то наша речь будет не только ясной, но и убедительной. Каким бы родом деятельности мы ни занимались, это – необходимое условие ее успеха.

Итак, что самое важное для юриста в изучении «логики» – логика вырабатывает привычку думать.

ИТС УМЦ, 2005

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛОГИКА»

Наименование тем Всего часов Количество часов по видам занятий
Лекции Семинары
1. Введение. Предмет и значение логики. Основные этапы развития логики. Логика и язык
2. Этапы развития логики как науки. Основные направления современной символической логики -
3. Понятие как форма мышления
4. Суждение. Общая характеристика, классификация и отношения между суждениями
5. Основные законы (принципы) развития мышления. Понятие о логическом законе
6. Умозаключения как форма мышления. Определение и классификация
7. Понятие доказательства. Прямое и непрямое доказательство. Опровержение
8. Гипотеза как форма развития знания -
9. Логическая структура вопросов и ответов
10. Экзамен
Итого:

Тема 1. Введение, предмет и значение логики.

Основные этапы развития логики. Логика и язык

Логика интуитивна и общеизвестна, поскольку законы логики лежат в основе нашего мышления. Всякое движение мысли опирается на эти законы, и без них невозможно

Что же такое «логика »?

Логикой называют науку о законах правильного мышления.

Логика – наука о правильных формах мышления.

Логика – наука о законах и операциях правильного мышления.

Логика – наука, исследующая структуру мышления, раскрывает лежащие в его основе закономерности движения к истине.

Кстати: слово «логика» многозначно. Нередко говорят о логике событий, логике характера и т.п. Здесь имеется в виду определенная последовательность и взаимозависимость событий и поступков. Слово «логика» употребляется и в связи с процессами мышления (отнюдь не подразумевая их научность), например: “Логично?”

Определение должно быть четким, полным и ясным.

Логика - наука о формах мышления, законах и правилах рассуждения

Что понимается под мышлением?

Прежде всего – правильное мышление, которое соответствует требованиям:

а) определенности

б) последовательности

в) доказательности

Определенное – мышление точное, свободное от всякой сбивчивости.

Последовательное – значит свободное от внутренних противоречий, разрушаю щих связь между мыслями там, где эта связь необходима.

Доказательное – мышление, не просто формулирующее истину, но вместе с тем и указывающее основания, по которым она необ­ходимо должна быть признана истиной.

Мышление всегда осуществляется по определенным формам.

Например : “День был дождливый”, “Совершение преступления считается уголовно наказуемым деянием”, и т.д.

Форма – это способ связи составных частей мыслимого содержания

Без изучения и исследования форм, мышление станет безотчетным, потеряет точность, последовательность и доказательность.

Кстати : Каким бы ни было наше понимание составных частей содержания, одного этого еще недостаточно для уразу­мения высказывания. Мы можем понять все отдельные слова предложения, но не уяснить при этом смысла самого предложения. Так бывает, например, когда пред­ложение слишком длинно или слишком сложно. В этом случае мы понимаем составные части содержания, но не улавливаем логической формы высказывания.

Каждая форма мышления – это рассуждение, содержащее определенный способ связи мыслей между собой. Формы различаются по сложности.

Простейшая форма – понятие

Из понятий образуется суждение (высказывание)

Из суждений можно уже построить умозаключение, позволяющее вывести какое-то новое знание из известных суждений.

Как и любая наука, логика пользуется определенным языком. Под языком логики необходимо понимать, прежде всего, набор (совокупность) определенных понятий, используемых в качестве определений (терминов) и специальных симво­лов, позволяющих записывать высказывания в формализованном виде.

Например: “Функтор”, “Квантор”, “$х”, “"х” P, Q, и так далее.

Язык логики относится к искусственным языкам, которые создаются спе­циально для выполнения определенных задач. А всякий язык состоит из знаков.

Знаком называется материальный объект, который для некоторого интерпретатора (субъекта) выступает в качестве представителя какого-то другого предмета. Знак может быть представлен в любой форме (графической, икони­ческой, вербальной и других).

Языковыми знаками являются значащие слова, а в искусственных языках еще и значащие символы.

Например: слово «старше» – знак определенного возрастного отношения, символ «+» – знак операции сложения в языке арифметики.

Важнейшими характеристиками знака являются смысл и значение .

Значение знака (экстенсионал ) – предмет, представляемый данным знаком

Смысл знака (интенсионал ) – информация о предмете, которую содержит сам знак, или которая связывается с этим знаком в процессе человеческого общения или познания

Знаки могут быть пустыми и непустыми, описательными и неописательными.

Например: “гора выше Эвереста” – пустой знак (в множестве гор планеты знак не имеет значения); “студент” – неописательный знак (нет описательных (содер­жательных) терминов, в данном случае: «учащийся высшего учебного заведения»).

Логические символы – выражения языка, не имеющие самостоятельного содержания, но в сочетании с одним или несколькими содержательными выраже­ниями образующие сложные выражения с самостоятельным содержанием.

Логические символы называются также логическими постоянными .

Имена – слово или словосочетание, обозначающее какой-либо предмет мысли и используемое в качестве логического подлежащего или логического сказуемого в высказываниях типа «А есть В».

Высказывания – предложение, выражающее мысль, которая является либо истинной, либо ложной. Истинность или ложность явля­ются логическими значениями высказывания.

Логические связки – логические символы, позволяющие из одних выска­зываний образовывать новые высказывания (и, или, если…то…, и т.д.).

Логические переменные – символы, позволяющие отвлечься от содержания рассуждения с целью выявления логической фор­мы (буквы латинского алфавита, специальные значки логических операций: ∩, U, другие)

План семинарских занятий по теме:Предмет и значение логики.

1. Что собой представляет форма мысли и как она выявляется?

2. Язык как знаковая система

3. Что изучает формальная логика?

4. Что такое знак? Основные характеристики знаков.

5. Основные виды имен.

6. Каковы принципы употребления имен?

7. Что такое антиномии отношения именования?

Упражнения и задачи:

1. Укажите, к какой категории символов относятся следую­щие выражения:

а) глагол,

б) имя существительное,

в) человек, первым побывавший на Северном полюсе,

г) Китай - азиатская страна,

д) в том и только том случае, если,

е) Ф. Тютчев - современник И. Тургенева,

ж) большой, круглый стеклянный предмет,

з) игра на публику,

и) тогда и только тогда, когда,

к) если и только если,

л) хорошо, когда наступает лето,

м) сообщение по секрету,

н) пассажиры уведомляются о том, что поезд опаздывает,

о) сделав добро, не надо хвастаться этим,

п) посоветуйте ему подумать,

р) некоторые предметы,

т) холодный и пустынный дом,

у) его болезнь - аппендицит,

ф) не расточайте неумеренных похвал.

2. Какие из следующих имен являются конкретными, а ка­кие абстрактными:

а) водород,

б) получеловек-полулошадь,

в) белизна,

г) белый, круглый, светящийся предмет,

д) симпатия,

е) привлекательность,

ж) человечность,

з) химический элемент,

и) конкретность,

к) река, не впадающая ни в морс, ни в озеро,

л) число, равное отношению длины окружности к ее диа­метру,

м) гигантский летающий ящер мелового периода,

н) округлость форм и линий,

о) суффикс,

п) круг полномочий какого-либо органа или должностного лица,

р) главенствующая идея,

с) восхождение на труднодоступные вершины,

т) кабинет министров,

у) электричество,

ф) оркестр Большого театра.

3. Укажите, какие ошибки допускаются в следующих де­лениях:

а) Комедия делится на комедию ситуаций, комедию характеров, черную комедию, слезливую комедию, комедию идей и комедию нравов.

б) Умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивные и аналогию.

в) Грамматические предложения делятся на простые, слож­носочиненные и сложносочиненные.

г) Леса делятся на хвойные и лиственные.

д) Международные договоры делятся на устные, письмен­ные, справедливые и несправедливые.

е) Числа делятся на простые, четные и нечетные.

ж) Электрические приборы делятся на измеряющие силу то­ка и измеряющие напряжение.

4. Постарайтесь прочесть все спрятанные предложения

тутутутумананнааннннаддллулулулугомомомммомрарааарарассеялсяяяяяякаааккаакккакккктоооотттолькохвзошлососососососсолнцеиприририр

паупаупаукскскскссссплеллеререереерсвсвсвоюпаупаууупппаутинуввввуглулулукомнатыыыыыы

ТЕСТ

1. Почему законы мышления в классической (формальной) логике получили название формальных законов?

1) поскольку они обращают внимание на формы, в которых протекают мыслительные операции;

2) так как они нацелены на раскрытие закономерностей мышления;

3) в силу того, что они обращены на содержание мышления.

2. Под логической формой понимают:

1) определенный порядок, в котором высказываются те или иные мысли;

2) способ организации или способ связи входящих в состав конкретной мысли ее элементов;

3) способ изложения мыслей.

3. Логика – это наука …

1) об умении вести дискуссию, спор.

2) о формальности человеческого мышления;

3) о формах и законах правильного мышления;

4.Что понимается под логическими законами?

1) это – требования, нормы, которым наше мышление должно подчинятся;

2) они ставят целью изобразить как совершается мышление;

3) они дают нам истинное знание при любых обстоятельствах.

5. В процессе рассуждения возможна логическая ошибка, поскольку:

1) из–за того, что само мышление человека является малоизученной областью.

2) человек в принципе не может познать мир;

3) субъект намеренно или ненамеренно нарушает правила мышления;

6. Логические парадоксы …

1) являются досадным недоразумением

2) свидетельствуют о принципиальной невозможности постижения мира;

3) способствуют дальнейшей выработке эффективных способов постижения и объяснения действительности.

7. Почему необходимо изучать логику?

1) чтобы побеждать в любых спорах;

2) чтобы доказательно рассуждать, не совершать логических ошибок;

3) чтобы уклоняться от неприятных дискуссий и не вступать в спор с вышестоящими органами.

8. Что понимается под логической культурой?

1) умение оперировать понятиями и суждениями, умозаключать и доказывать;

2) умение красиво излагать свои мысли;

3) доказать что угодно и где угодно.

9. Логическая культура личности определяется:

1) окружающей человека средой.

2) только биологическими факторами, т.е. врожденным потенциалом человека;

3) врожденным потенциалом человека, окружающей социальной средой;

10. В чем заключается существенное отличие формально-логических законов от законов природы?

1) в том, что законы природы объективны, а законы логики – субъективны;

2) законы природы в принципе не нарушаемы, а законы мышления нарушаются;

3) в том, что законы природы действуют сами по себе, а логические законы зависят от людей.

Тема 2. Этапы развития логики как науки.

Основные направления современной символической логики

Первоначально логика зародилась и развивалась в недрах философии –единой нерасчлененной науки, которая объединяла всю совокупность знаний об объективном мире и о самом человеке, и его мышлении. На этом этапе исторического развития логика отождествляла законы мышления с законами бытия.

Развитие науки логики на протяжении ряда столетий протекало по двум направлениям. Одно из них начиналось с древнегреческой логики (в особенности с логики Аристотеля), на основе которой развивалась логика в Древнем Риме, затем в Византии, Грузии, Армении, арабоязычных странах Ближнего Востока, в Западной Европе и России. Другое направление имело своим истоком индийскую логику, на основе которой развивалась логика в Китае, Тибете, Монголии, Корее, Японии, Индонезии, на Цейлоне.

Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848 - 1925) предпринял попытку свести математику к логике. Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно поставить во взаимнооднозначное соответствие друг с другом. Например, понятие «вершина треугольника» равночисленно понятию «сторона треугольника», и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия «вершина треугольника». Г. Фреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, произвел некоторую математизацию логики. Символические обозначения, принятые им, очень громоздки. Фреге полагал, что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подозревал, что предложенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел (1902), он их назвал парадоксами.

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ

В двузначной логике высказывание бывает истинным или ложным, то в многозначных логиках число значений истинности аргументов и функций может быть любым конечным и даже бесконечным, В настоящем приложении отрицание обозначается через Nx или , коньюкция – через Кху или х у, нестрогая дизъюкция – через Аху или х v у материальная импликация – через Сху или х → у. Значение функции от аргумента а будем записывать так: [а]. Тавтологией (или общезначимой) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает значение «истина» (чаще всего в рассматриваемых системах «истина» обозначается цифрой 1).

Трехзначная система Лукасевича (1920)

В ней «истина» обозначается 1, «ложь» - 0, «нейтрально» - ½. В качестве основных функций взяты отрицание (обозначается nx) и импликация (Сху); производными являются конъюкция (Кху) и дизъюкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.

Отрицание импликация соответственно определяют матрицами и равенствами:


1) = l - [х];

2) [Сху] = 1, если [х]<[у];

3) [Сху] = 1 - [х] + [у], если [х]> [у], или в общем виде:

4) [Сху] = min (1,1 - [х] + [у])

Конъюкция определяется как минимум значении аргументов:

[Кху] = min ([х],[у])

Дизъюкция - как максимум значений х и у: [Аху] = max ([х], [у])

На основе данных определений отрицания, конъюкция и дизъюкция в системе Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики). Поэтому логика Лукасевича не является отрицанием двузначной логики.

В двухзначной логике из закона исключенного третьего выводятся:

В системе Рейтинга импликация и отрицание отличаются от
определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. «Истина»
обозначается 1, «ложь» - 0, «неопределенность» - ½. Тавтология принимает
значение 1.


1) [Сху] = 1, если [х]≤[у];

2) [Сху] = [у], если [х]> [у]/

Конъюкция и дизъюкция определены обычным способом как минимум и максимум значений аргументов.

Трехзначная система Бочвара

Система советского логика Д.А. Бочвара построена на разделении высказываний на имеющие смысл (т.е. истинные или ложные) и бессмысленные. Бочвар выделяет внешние формы (или функции) и внутренние. Внутренние формы Бочвар называет классическими содержательными функциями переменных высказываний, а внешние формы - неклассическими. У Бочвара «истина» обозначается R, «ложь» - F, «бессмысленность» - S Тавтология принимает значение 1; а,b,с... обозначают переменные высказывания.

Противоречиями являются следующие формулы:

Здесь знак « ≡ » означает внешнюю равнозначность (эквивалентность), знак «↔» - внешнюю равносильность.

Цель системы: разрешение парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Бочвар смог разрешить парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств, доказав несуществование такого предмета, как множество всех нормальных множеств, т.е. множество всех нормальных множеств нельзя рассматривать как фиксированный предмет, не изменяющийся в то время, пока о нем идет речь.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

Интуиционистская логика построена в связи с развитием интуиционистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. голландским математиком и логиком Л. Браурэром (1881 -1966).

Интуиционизм - философское направление в математике и логике, отказывающееся от использования абстракции актуальной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную ясность и убедительность («интуицию») как последнюю основу математики и логики. Интуиционисты свою интуиционистскую математику строят с помощью финитных (конечных) средств на основе системы натуральных чисел, которая считается известной из интуиции. Интуиционизм включает в себя две стороны - 1. математическую и 2. философскую. Если первая сторона имеет рациональную часть (речь идет об интуиционистской математике или интуиционистской логике, а не об интуиционизме), то вторая сторона интуиционизма (его методологические, идеологические, философские основы) совершенно не приемлема.

Особенности интуиционистской логики вытекают из характерных признаков интуиционистской математики.

В нашей стране, проблемами интуиционистской логики занимаются К.Н. Суханов, М.И. Панов, А.Л. Никифоров, и др.

КОНСТРУКТИВНЫЕ ЛОГИКИ

Конструктивная логика своим рождением обязана конструктивной математике. Конструктивная математика может быть охарактеризована как наука о конструктивных процессах и нашей способности их осуществлять. В результате конструктивного процесса возникает конструктивный объект, т.е. такой объект, который задается эффективным (точным и вполне понятным), способом построения (алгоритмом).

ОТЛИЧИЯ МЕЖДУ КОНСТРУКТИВНОЙ И ИНТУЦИОНИСТСКОЙ

ЛОГИКАМИ

1. Различные объекты исследования

В основу конструктивной логики, которая является логикой конструктивной математики, положена абстракция потенциальной осуществимости, а в качестве объектов исследования допускаются лишь конструктивные объекты (слова в определенном алфавите).

В основу интуиционистской логики, включающейся логикой интуиционистской математики, положена идея «свободно становящейся последовательности» (т.е. последовательности, строящейся не по алгоритму), которую интуциониеты считают интуитивно ясной.

2. Обоснование дается с помощью идеалистически истолкованной интуиции, а обоснование конструктивной математики и логики дается на базе научного математического понятия алгоритма или эквивалентного ему понятия ресурсной функции.

3. Различные методологические основы. Методологической основой
конструктивного направления в математике отечественные исследователи считают положения материализма, с позиций которого критерием истинности познания (в том числе и научного) является практика.

4. Различные интерпритации.

5. Отличия ряда логических средств. Принцип: конструктивного направления - если имеется алгоритмический процесс и удалось опровергнуть, что он продолжается бесконечно, то, следовательно, процесс закончится. Интуиционистской логики - не признают этот принцип.

n – значная система Поста

Система Поста является обобщением двузначной логики, ибо при n = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Своей системе Пост дал интерпретацию. Значение истинности суть 1,2, ..., n (при n = 2), где n - конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает такое значение i, что l≤i≤S, l≤S≤n – 1; значения 1, ..., S называются выделенными или отмеченными; возможно, что S > 2.

Пост вводит два вида отрицания (N 1 х и N 2 х), соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

1. = [х] +1 при [х]≤n – 1

Второе отрицание определяется одним равенством:

N - [х] + 1

Матрица, определяющая первое и второе отрицание, имеет вид:


Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при n = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.

Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум минимум значений аргументов.

Трехзначная система Поста (Р 3) имеет следующую форму

q p р 3 q 1 2 3 рv 3 q 1 2 3 p 3 q 1 2 3 p 3 q 1 2 3
1 2 3 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 2 1
Пояснения Max (p 1 q) Min(p 1 q) ( 3 q)v 3 q (p 3 q)/\ 3 (q 3 p)

В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при n =3: первое отрицание обозначается через (~ 3 р), второе отрицание - через (~ 3 р), конъюнкция – через (р" 3 q), дизъюнкция - через (р 3 q), импликация - через (р 3 q), эквиваленция - через (р ≡ 3 q).

Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 «истина» и 3 «ложь», то из таблиц системы Поста вычленяют таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Поста тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.

БЕСКОНЕЧНОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА КАК ОБОБЩЕНИЕ

МНОГОЗНАЧНОЙ СИСТЕМЫ ПОСТА

Исходя, из системы Поста можно построить бесконечнозначную систему Значениями истинности являются 1 («истина»), 0 («ложь») и все дробные числа в интервале от 1 до 0, построенные в форме (½) k и в форме (½) k · (2 k – 1), где k - целочисленный показатель. Это числа: 1; ½; ¼; ¾; ⅛; ⅞; (½) k · (½) k · (2 k – 1), …, 0.

Операции: отрицание, дизъюнкция, импликация и эквиваленция в - определены следующими равенствами:

1. Отрицание: [~ хо р] = 1 – [р]

2. Дизъюнкция: = max ([p], [q])

3. Конъюкция: = min ([p], [q])

4. Импликация: = [ x o pvx o q]

5. Эквиваленция: = [(p x o q) /\x o (q x o p)]

Тавтологией, например, является формула, гласящая, что отрицание р, повторенное два раза, даст первоначальное значение р:

МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ

В классической двузначной логики рассматривались простые и сложные ассерторические суждения, т.е. такие, в которых не установлен характер связи между субъектом и предикатом. Например: «Морская вода - соленая» или «Дождь то начинал хлестать теплыми крупными каплями, то переставал».

В модальных суждениях раскрывается характер связи между субъектом и предикатом или между отдельными простыми суждениями в сложном модальном суждении. Например: «Необходимо соблюдать правила уличного движения» или «Если будет дуть попутный ветер, то, возможно, мы приплывем в гавань до наступления темноты».

Модальными являются суждения, которые включают модальные операторы (модальные понятия), т.е. слова «необходимо», «возможно», «случайно», «запрещено», «хорошо» и др.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЛОГИКИ

Это логики, построенные без операции отрицания. Их можно разделить на два вида: 1. Положительные логики в широком смысле слова, или квазипозитивные логики. Они построены без операции отрицания, но отрицание может быть выражено средствами этой логической системы; 2. Положительные логики в узком смысле слова, т.е. логики, построенные без операции отрицания, причем отрицание не может быть выражено средствами этой системы

Ряд положительных логик основан на двух операциях: а) на импликации и конъюнкции; б) на дизъюнкции и конъюнкции; в) на импликации и дизъюнкции. Все инструкции о том, как произвести сборку замков, мебели, машин, инструментов, технических приборов и др., основаны на содержательном (не формализованном) использовании положительной логики.


Похожая информация.


 


Разделы



Реклама