Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

ПРОПОРЦИИ ЧЕЛОВЕКА Рисунок часто используется как неявный символ внутренней симметрии человеческого тела и Вселенной в целом. Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями. Рисунок написан пером, чернилами и акварелью с помощью металлического карандаша, его размер 34,3 на 24,5 сантиметра. В настоящее время находится в коллекции Gallerie dell"Accademia в Венеции. Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями: длина четырёх пальцев равна длине ладони, четыре ладони равны стопе, шесть ладоней составляют один локоть, четыре локтя - рост человека. Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. Если вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок. Пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник. Длина вытянутых рук будет равна росту. Расстояние от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого роста. Расстояние от верхней части груди до макушки составляет 1/6 роста. Расстояние же от верхней части груди до корней волос - 1/7. Расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста. Наибольшая ширина плеч - восьмая часть роста. Расстояние от локтя до кончиков пальцев - 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки - 1/8. Длина всей руки - это 1/10 роста. Начало гениталий находится как раз посредине тела. Стопа - 1/7 часть роста. Расстояние от мыска ноги до коленной чашечки равно четверти роста, а расстояние от коленной чашечки до начала гениталий также равно четверти роста. Расстояние от кончика подбородка до носа и от корней волос до бровей будет одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Скачать урок презентацию на тему Симметрия в человеке можно ниже:

Цель: изучить симметрию и асимметрию в теле человека. Содержание Введение Симметрия и асимметрия в теле человека Заключение

Введение Симметрия – это идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство. Г. Вейль μμ - συ ετριαι Симметрия ­ («соразмерность») в биологии - закономерное расположение подобных частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.

Введение Симметрия характеризует:  гармоничность  пропорциональность  стройность природных тел и тела человека Понятия симметрии и красоты тождественны

Симметрия в теле человека ЧЕЛОВЕК - СУЩЕСТВО СИММЕТРИЧНОЕ «Человеческая фигура обладает почти безупречной билатеральной симметрией» М. Гарднер Билатеральная симметрия (двусторонняя симметрия) - симметрия зеркального отражения, при которой объект плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. имеет одну

Симметрия в теле человека Зеркальная симметрия в теле человека позволяет двигаться прямолинейно и с одинаковой легкостью поворачиваться вправо и влево.

Асимметрия в теле человека Асимметрия - (греч. α- - «без» и «симметрия») - отсутствие или нарушение симметрии. Именно данная симметрия придает характерные, индивидуальные черты каждому человеку. Автопортрет Альбрехта Дюрера Маленькая асимметричная деталь: прядка волос возле пробора, которая и придает картине живость и жизненность.

Асимметрия в теле человека Мозг разделён на две половины. Эти две части ­ два полушария ­ плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого.

Асимметрия в теле человека Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга – функциональная асимметрия. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое – левое. Левое полушарие ­ абстрактно­речевые формы познания и мышления ­ двигательная сфера -положительные эмоциями - обращено в будущее Правое полушарие - чувственная сфера - - чувственные формы познания и отрицательные эмоции мышления обращено к прошлому -

Асимметрия в теле человека Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку. Женщины более склонны к леворукости, чем мужчины. У них потрясающая интуиция, которая живёт в правом полушарии, но слабее пространственная функция, логика, воля самоконтроль. Среди мужчин много композиторов, художников, что говорит о развитии левого полушария. В среднем на земном шаре примерно 3% левшей (99 млн.) и 97% правшей (3 млрд.201млн.)

Пропорции человека Строение человеческого тела Длина четырёх пальцев равна длине ладони, четыре ладони равны стопе, шесть ладоней составляют один локоть, четыре локтя ­ рост человека. Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. Если вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок. Пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник. Длина вытянутых рук будет равна росту. Расстояние от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого роста. Расстояние от верхней части груди до макушки составляет 1/6 роста. Расстояние же от верхней части груди до корней волос ­ 1/7. Расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста. Наибольшая ширина плеч ­ восьмая часть роста. Расстояние от локтя до кончиков пальцев ­ 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки ­ 1/8. Длина всей руки ­ это 1/10 роста. Начало гениталий находится как раз посредине тела. Стопа ­ 1/7 часть роста. Расстояние от мыска ноги до коленной чашечки равно четверти роста, а расстояние от коленной чашечки до начала гениталий также равно четверти роста. Расстояние от кончика подбородка до носа и от корней волос до бровей будет одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица. Рисунок,как неявный символ внутренней симметрии человеческого тела и Вселенной в целом, находится в коллекции Gallerie dell"Accademia в Венеции.

Лицо Согласно утверждению древнегреческого скульптора Поликлета, лицо должно составлять 1/10 от длины всего тела. Лицо считается пропорциональным, если его условно можно разделить линиями по горизонтали на 4 равные части: от верхушки головы до края волосяного покрова, затем выделяется область лба, а следующая линия проводится прямо под носом.

Асимметрия внутренних органов человека Сердце у людей находится на левой стороне, печень – на правой, но на каждые 7­12 тыс. чел встречаются люди, у которых эти органы расположены зеркально, т.е. наоборот.

АСИММЕТРИЯ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ По результатам проведенных что исследований, только у 20% людей ноги имеют совершенно одинаковую длину. установлено, У 72% разница составляет не практически 15 мм более незаметна. и У оставшихся 8% людей одна правая, нога, длиннее второй более, чем на 15 см. преимущественно

АСИММЕТРИЯ ПОЗВОНОЧНОГО СТОЛБА Патологии: - нарушение осанки, - сколиоз, - остеохондроз.

Заключение В процессе выполнения работы нами были рассмотрены билатеральная (двусторонняя), зеркальная симметрии, физическая и функциональная асимметрия в теле человека. Изучив асимметрию в теле человека, мы узнали, что асимметрия подразделяется на природную и патологическую. Понятия симметрии и асимметрии альтернативны. Чем более симметричен организм, тем менее он асимметричен и наоборот. Собственно говоря, симметрия и асимметрия взаимно исключают одна другую - как черное и белое или как день и ночь. Так оно и происходит на самом деле, пока симметрия или асимметрия рассматриваются по отношению к одному и тому же телу. В природе нет абсолютной симметрии. Истинную красоту имеет то, что гармонично соединяет в себе симметрию и асимметрию.

Литература 1. Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи, М.: «Просвещение» 2003. 2. Вейль Г. Симметрия. М.: «Едиториал УРСС», 2003. 3. Иванова О. Этот симметричный мир. ­ Первое сентября. – 2006 № 6.

ГАПОУ «Брянский базовый медицинский колледж» «Симметрия и асимметрия в теле человека» Выполнила: студентка 3 курса специальности «Сестринское дело» Вашето Анастасия Сергеевна Руководитель: преподаватель математики Барейшис К.С. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ Брянск 2015г.

Это явление не такое уж и редкое, поскольку между правой и левой половинами тела всегда существует асимметрия в той или иной степени. В большинстве случаев обследование у окулиста показывает, что острота зрения на правом и левом глазах у одного и того же человека различная. Проверка слуха часто демонстрирует, что левое и правое уши слышат звуки по-разному. Как бы скептически ни были настроены ученые, левая нога или рука вполне могут отличаться по объему и длине от правой. Нередко можно заметить, что одно бедро у человека больше другого, потому что какое-то из них он предпочитает использовать активнее. Иногда у правшей бывают ослаблены мышцы бедра с правой стороны (вероятно, это связано с наследственным дефектом, неправильным развитием или дегенеративными повреждениями нервов).

При разнице в длине между правой и левой ногами возникает асимметрия в области таза, что неминуемо сказывается на позвоночнике, потому что приводит к сколиозу различной степени тяжести. В таком случае центр тяжести нашего тела отклоняется от оси, совпадающей с позвоночным столбом, к левому или правому крестцово-подвздошному сочленению (суставное соединение между крестцом и тазовой костью). На мышцы и суставы соответствующей ноги начинает приходиться чрезмерная нагрузка, в результате чего воспаляются суставы, мышцы, связки и сухожилия, что сопровождается болезненными ощущениями в этих структурных элементах.

Между правой и левой половинами тела всегда существует асимметрия в той или иной степени.

Односторонние боли в спине, односторонний ишиас или остеоартрит тазобедренного и коленного суставов встречаются довольно часто. При сколиозе позвоночника, не связанном с разной длиной ног, а обусловленном другими факторами: неправильной осанкой, дефицитом питательных элементов, повышенным уровнем стресса, травмой, дегенеративными изменениями из-за остеопороза и т. д., - центр тяжести также может сместиться относительно центральной оси скелета. При этом тоже появляются похожие односторонние боли в области поясницы, односторонний ишиас или остеоартрит. Когда возникает подобная проблема, межпозвоночные диски поясничного отдела нередко выпячиваются с какой-нибудь одной стороны. Грыжа приводит к спазмам мышц в соответствующей области, искривлению позвоночника и нарушению осанки. Людей с хроническими односторонними болями в спине скрючивает вправо или влево. Одно плечо оказывается ниже другого, а одно из бедер приподнимается. Это временный сколиоз позвоночника. Благодаря массажу можно избавиться от боли и постепенно вернуть позвоночник в нормальное состояние.

Часто проблема, связанная с асимметрией частей тела, решается с помощью специально подобранной обуви и регулярного оздоровительного массажа спины.

Иногда мышечные спазмы возникают в области выше паха, над тазовой костью. Обычно они связаны с некоторыми видами спорта (во время игры в большой теннис или сквош приходится постоянно наклоняться, чтобы подобрать мяч) или с переносом тяжестей одной рукой. Эти локальные травмы часто не сопровождаются сильными болями, из-за чего сознательная часть мозга может попросту не обращать на них внимания (в процессе массажа нередко удается обнаружить болезненные спазмы, которые иначе так и остались бы в «спящем» состоянии). Чтобы защитить область скрытого спазма, бедро может выворачиваться вперед или в стороны, способствуя искривлению позвоночника.

Лечат эти болезненные участки в паху или нижней части живота (прямо над лобковой костью) с помощью массажа расположенных там мышц. Позвоночник автоматически выравнивается, а боль в пояснице проходит. Обнаружили эту закономерность, когда прощупывали мышцы в процессе лечебного массажа. Логические умозаключения помогли выявить истинную причину искривления позвоночника и боли в данном случае.

1 8 Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В

их соотношение в популяции и как? Если приспособленность правшей выше, чем левшей, почему первые не вытесняют вторых? Почему и среди гениев и среди слабоумных больше левшей? Почему при специализации парных органов новую функцию приобретает правый орган, а старую сохраняет левый (а полушария мозга, наоборот) (Геодакян, 1986,1993)?

Проблема в том, что ни одна из существующих теорий не ставит вопрос об адаптивности рукости, поэтому не может объяснить явление в целом и ответить на приведенные вопросы.

Асимметрия тела и других органов

Правая и левая половины тела у человека различаются морфологически и функционально. Окружность правой половины груди у 70% людей больше левой; грудина чуть смещена влево; соски располагаются на разных уровнях (Масюк А. И., 1939). Правая половина лица у большинства людей больше левой (Koff E. et al., 1981). Разжевывание пищи, если все зубы здоровы, лучше осуществляется функционально доминирующей стороной (Лобзин О. В., 1968). В речевом акте правая половина рта более активна у 86% правшей и у 67% левшей (Graves, Goodglass, 1982).

Ноги

Асимметрия ног не столь выражена, как рук. Ноги неравны по силе. Согласно проф. Гунтуркуну (Onur Güntürkün), правая нога обычно сильнее и делает более длинные шаги. У неё выше температура, больше тонус и сенсомоторная чувствительность (Медников, 1975). Левая нога “относительно чаще крупнее, чем правая” (50–60%) (Бранят А. Ф., 1927).

Изучение костяков захоронений I–II тысячелетий н. э. показало, что комбинация большей правой руки с большей левой ногой является наиболее частой (70%) и характерна для “типичных правшей”; очень редко сочетание большей левой руки с большей правой ногой (7%), характерное для “типичных левшей”; большая величина правых руки и ноги отмечена в 19% наблюдений, а в 5% -бóльшая величина левых руки и ноги (Гинзбург В. В., 1947). На этом основании говорят о перекрестной асимметрии-сочетании праворукости с левой ведущей ногой как о характерном для большинства людей (Жеденев В. П., 1962). По данным Петерса (Peters, 1988) у взрослых праворуких левая нога длиннее и тяжелее, и отвечает за функции опоры. По другим данным одностороннее доминирование встречается более часто (Annett, 1972).

Отмечена асимметричная деятельность ног при ходьбе (Maupas et al., 1999). Люди, потерявшиеся в пустыне, обычно ходят по кругу в левом направлении, то есть против часовой стрелки. С преобладанием правоногих бегунов связан стандарт в организации бега на стадионе против часовой стрелки. Чувство неудобства при беге по часовой стрелке резко снижает результат (Логинова А. А., Лебедев В. М., 1973). Большинство горнолыжников лучше выполняют повороты в левую сторону (28,3% ошибок при поворотах влево и 71,7% при поворотах вправо) (Фролов О. П., 1973). Интересно, что правая нога чаще бывает немного (на 1- 1,5 см) короче левой. Биолог Зигфрид Вахтель считает, что более интенсивное использование правой ноги изнашивает её и делает более короткой.

У праворуких левая нога больше у женщин, тогда как правая нога больше у мужчин, у неправоруких-все наоборот (Levy, Levy, 1978). В некоторых работах было показано, что по доминантной ноге можно лучше предсказывать латерализацию речи (Searleman, 1980; Strauss, 1986).

Большинство тестов по определению доминантной ноги включают относительно большие движения целой ноги (например, удары по мячу или затаптывание огня), поэтому они более

Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В 1 9

близки к тестам рукости на движения целой руки (забивание гвоздя молотком), чем предпочтения руки при письме.

В большинстве исследований установлено, что люди предпочитают левую ногу для опоры и балансирования, в частности, при прыжках или ударах по мячу. До 89% прыгунов с разбега как толчковую используют левую ногу, как и до 90% прыгунов в высоту, около 60% прыгунов в длину и 86% бегунов на короткие дистанции (Амбаров Э. Х., 1909). Из 686 человек, прыгавших в длину и высоту, 35% предпочитали толкаться правой ногой, 45% -левой, а остальные, главным образом дети и женщины, пользовались той и другой ногой (Поцелуев А. А., 1960). В спорте при движениях нижних конечностей, связанных с выбором толчковой ноги, поворотами и вращениями, с возрастом увеличивается доминирование левой ноги (Саидов, 1983).

Большинство скейтбордистов и сноубордистов предпочитают ставить левую ногу впереди на скейтборде. Как правило, правши предпочитают впереди левую ногу, а левши-правую. Самый простой способ проверить свои собственные предпочтения, это определить какая нога выдвигается вперед первой, чтобы не упасть, когда кто-то неожиданно толкает вас в спину.

Так как левая нога используется для стабильности, правая нога отвечает за более тонкую координацию движений, таких, как обеспечение правильного "касания" при ударе по мячу. Во многих случаях новые движения, координационно сложные приемы, лучше выполняются правой ногой. Так, лучшая координация движений правой ноги отмечена у 90% обследованных Э. Х. Амбаровым лиц, левой- у 8%. У футболистов 80.7% владеют лучше правой и только 8.6% -лучше левой ногой. В соревновательных условиях футболисты выполняют ведущей ногой до 88% асимметричных технических приемов (Лебедев В. М., 1992). Исследование частоты использования ног для выполнения технических действий, проведенные у 236 высококвалифицированных футболистов на чемпионате мира (Франция, 1998 г.), показали, что у 79% доминировала правая нога (Carey et al., 2001).

Точность удара правой ведущей ногой у футболистов более чем в два раза точнее, чем левой (Амбаров, 1909; Медников, 1975). Правши больше используют правую ногу для активностей, требующих тонких манипуляций и пристального внимания (Peters, 1988).

Почки . Почки у взрослого человека располагаются на задней стенке брюшной полости в забрюшинном пространстве. Они лежат по бокам от позвоночника на уровне тел XII грудного, I и II поясничных позвонков, однако левая расположена несколько выше, чем правая.

Асимметрия гениталий

Асимметрия гениталий встречается уже у низших животных, включая гонады подковоносых летучих мышей (Rhinolophidae ) (Mathews, 1937), крупного рогатого скота (Jost et al., 1972) и цыплят (Mittwoch, 1975) и пенисы у некоторых мух, например у дрозофилы (Drosophila Melanogaster ) (Morgan, 1977). У гермафродитов развитие яичек происходит чаще справа, а

яичников-слева (Mittwoch, Mahadevaiah, 1980).

Пенис . У новорожденных мальчиков наблюдалась некоторая латеральная асимметрия пениса более часто в левую, чем в правую сторону (Ben-Ari et al., 1985). Опрос 111 студентов выявил, что у 67% ненапряженный пенис отклоняется влево (Kimura, 1992). Богарт (Bogaert, 1997) опросил 6544 мужчин по 4-м параметрам асимметрии гениталий. Смещение ненапряженного пениса влево наблюдалось у 79 % опрошенных (3933 из 4948), вправо- у 18 % (878 из 4948) и у 2.8 % разницы не было (137 из 4948).

Яички и мошонка . Яички многих видов, в частности слонов, ежей, птиц, а также китов и тюленей находятся в брюшной полости. У человека и многих млекопитающих яички находятся вне тела в мошонке. Яички закладываются в брюшной полости и в первые годы жизни опускаются наружу.

2 0 Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В

У человеческих эмбрионов правое яичко развивается быстрее, чем левое (Mittwoch, 1975; Mittwoch, Kirk, 1975). Похожие различия были найдены и у других видов (Jost et al., 1972). Левое яичко обычно опускается ниже правого и эта картина коррелирует с рукостью (Gray, 1958; Chang et al., 1960). Так, по данным Богарта (Bogaert, 1997) правое яичко было выше левого у 61 % опрошенных (2660 из 4333), левое-выше у 21 % (914 из 4333) и у 17 % не было разницы (759 из 4333).

Причины такой асимметрии не ясны. Простое механическое объяснение, что более тяжелый из двух органов имеет более низкую позицию за счет силы тяжести, не проходит, поскольку как у эмбрионов, так и у взрослых правое яичко больше (9.69 и 9.10 см3 ) и тяжелее (9.95 и 9.36 г) чем левое (Chang et al., 1960). Это различие в размерах было подтверждено и другими исследователями (Short, 1984; Mittwoch, 1988; Kimura, 1993). Некоторые исследователи пытаются объяснить асимметрию яичек более развитыми мышцами на одной стороне по сравнению с другой (Chang et al., 1960) и/ или различной длиной и позицией сосудов (Antliff, Shampo, 1959).

А С И М М Е Т Р И Я Я И Ч Н И К О В.

Птицы . У большинства птиц овулирует и вырабатывает эстрадиол только левый яичник. Удаление левого яичника приводит к развитию правого, который до этого момента секретировал тестостерон.

Утконос . У утконоса парные яичники похожи на яичники птицы или рептилии; функционирует только левый, правый как и у многих птиц недоразвит и не производит яиц (Asdell, 1964).

У дельфинов овулирует, в основном, левый яичник (Томилин, 1957).

Человек . У человека асимметрия в одинаковой мере присуща яичникам на всех стадиях внутриутробного развития. Установлена закономерность как анатомического, так и функционального преобладания правого яичника над левым (Mittwoch, Kirk, 1975). Эта закономерность сохраняется и в репродуктивном возрасте женщины. Правый яичник, как правило, больше левого. Функциональное преобладание сказывается в том, что после удаления правого яичника у женщин чаще возникают нарушения менструальной функции и уменьшение числа беременностей.

Дерматоглифика . Отмечена асимметрия по общему числу бороздок на пальцах рук (fingertip ridge-counts) и другой дерматоглифике. Число бороздок на правой руке больше как у мужчин так и у женщин (Kimura, Carson, 1995). Общее число бороздок составляет в среднем 145 для мужчин и 126 для женщин (Holt, 1968).

Органы чувств

О Б О Н Я Н И Е

Латерализация обоняния . С эволюционной точки зрения обоняние одно из самых древних и важнейших чувств, при помощи которого животные ориентируются в окружающей среде. Этот анализатор является одним из главных у многих животных.

Первичная обработка сигналов из стимулированной ноздри происходит на той же стороне тела (ипсилатерально), при этом связанные с обонянием области в коре являются прямой проекцией участков обонятельного эпителия. В обонянии участвует в основном правое полушарие. Правое полушарие обрабатывает и распознает запахи, а также устанавливает связи между ними. Люди с поврежденной правой височной долей могут воспринимать только отдельные запахи (Abraham, Mathai, 1983). Запахи также влияют на активность правого полушария больше, чем левого

(Tisserand, 1988).

Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В 2 1

Доминирование ноздрей. Обычно только один из двух носовых каналов открыт. Когда открыт правый носовой канал, левая половина мозга относительно более активна, и наоборот. Это происходит когда испытуемым не дают ничего нюхать. Ноздря, через которую воздух проходит более свободно в любой момент времени, называется активной (или доминантной) ноздрей, так как через неё проходит основная масса воздуха. Ноздря, которая частично закрыта является пассивной ноздрей. По мнению многих исследователей носовые каналы у здорового человека периодически меняются каждые 90–120 минут.

Принудительное

дыхание через одну ноздрю часто используется в йоге, а дыхание через левую ноздрю используется для лечения мягких форм депрессии.

Vroon, 1994, c. 71.

Абсолютная чувствительность. Изучение абсолютной чувствительности во многих случаях обнаруживало конфликтные

результаты. С. Ф. Гамаюнов (1928) обнаружил бóльшую чувствительность левой стороны носа у 71% взрослых, правой-у 13% и одинаковую чувствительность-у 16%. При определении порога восприятия, левая ноздря была более чувствительна у леворуких испытуемых, тогда как правая ноздря-у праворуких (Youngentob et. al., 1982). Кэйн и Гент (Cain, Gent, 1991)

обнаружили большую чувствительность правой ноздри независимо от рукости, однако в работах других авторов не было найдено никаких различий (Koelega, 1979; Zatorre, JonesGotman, 1990; Betchen, Doty, 1998). В двух последних работах авторы использовали фенилэтиловый спирт, для которого характерна слабая активность в отношении тройничного нерва (Doty et. al., 1978). На результаты экспериментов также может влиять переключение доминантности ноздрей в течение дня каждые 1.5–2 часа. Можно заключить, что правая ноздря обладает несколько большей чувствительностью по крайней мере у праворуких.

Различение запахов . Результаты по различению запахов также как и по абсолютной чувствительности неоднозначны, но говорят о некотором превосходстве правой ноздри. Ряд авторов обнаружили преимущество правой ноздри независимо от рукости (Zatorre, JonesGotman, 1990; Martinez et.al., 1993). Однако другие авторы обнаружили преимущество левой ноздри у леворуких испытуемых (Hummel et. al., 1998). В работе Савика и Берглунда (Savic, Berglund, 2000) преимущество правой ноздри было установлено только для знакомых запахов, тогда как Броман (Broman, 2006) показал её преимущество также и для незнакомых запахов. Преимущество правой ноздри было показано при изучении категоризации запахов по интенсивности, хотя эти результаты были достоверны только для женщин (Pendense, 1987).

Идентификация запахов . Различия между полушариями в распознавании запахов были более последовательны. Так пациенты с поражениями правого полушария распознавали запахи хуже пациентов с поражениями левого полушария, что может говорить о превосходстве правого полушария (Abraham, Mathai, 1983; Jones-Gotman, Zatorre, 1993; Rausch et. al., 1977). В тестах по словесному и визуальному распознаванию запахов на здоровых испытуемых, когда первый стимул (запах) предлагался обеим сторонам, время реакции было меньше когда второй стимул (слово или картинка) предлагался правому полушарию по сравнению с левым (Zucco, Tressoldi, 1989). Олсон и Кэйн (Olsson, Cain, 2003) обнаружили только более короткий ответ правой ноздри на предлагаемые запахи и не обнаружили разницы в совершенстве памяти. Другие авторы не обнаружили никаких различий в распознавании запахов (Bromley, Doty, 1995; Annett et. al., 1996).

Пациенты с разобщенными полушариями могли словесно распознавать запахи предлагаемые только левой ноздре и могли распознавать запахи, предлагаемые правой ноздре невербально. При этом левое полушарие имело преимущество как в вербальном, так и в невербальном распознавании запахов (Gordon, Sperry, 1969).

Связь обоняния с полом и возрастом . Обоняние зависит от пола и женщины обычно превосходят мужчин по чувствительности, узнаванию и различению запахов (Doty et al., 1985; Brand, Millot, 2001). В очень небольшом количестве работ отмечено превосходство мужского пола (Bailey, Powell, 1885; Amoore, Venstrom, 1966; Venstrom, Amoore, 1968). В среднем

2 2 Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В

женщины сильнее ощущают сверхпороговые концентрации веществ (см. обзор Doty, 1986), что было показано для запахов влагалища (Doty et al., 1975), подмышек (Doty et al., 1978), и рта (Doty et al., 1982). Женщины также значительно чаще мужчин страдают от запахов обычных химических веществ и парфюмерии (какосмия). Наиболее острым обоняние делается в период незадолго до и после овуляции, например чувствительность к мужским феромонам возрастает в тысячи раз (Navarrete-Palacios, et al., 2003). Обоняние также существенно усиливается во время беременности.

Обонятельный эпителий возникает на самой ранней эмбриональной стадии, после чего быстро осуществляется его соединение с мозговой тканью. Другие сенсорные системы появляются позже. Первоначально важная роль, которую играла обонятельная система, постепенно все больше переходит к другим органам чувств. У новорожденных обоняние развито сильно, но за один год жизни оно теряется на 40-50%. Исследование проведенное на основе опроса 10.7 млн человек показало уменьшение чувствительности обоняния с возрастом по всем 6 исследованным запахам (Gilbert, Wysocki, 1992). Способность к различению запахов также уменьшалась. C возрастом происходит атрофия обонятельных волокон и их количество в обонятельном нерве неуклонно уменьшается (Блинков, Глезер, 1964; Smith, 1942) (Табл. 1.3 ). Влияние возраста было более значимо, чем влияние пола. У женщин обоняние атрофируется меньше и они сохраняют его до более старшего возраста чем мужчины (Doty et al., 1978).

Табл. 1.3 Возрастная динамика атрофии волокон обонятельного нерва у человека (Блинков, Глезер, 1964; Smith, 1942)

Обоняние в филогенезе. Некоторые исследователи предполагают, что в филогенезе обоняние у человека ухудшается. Так, есть основания считать, что неандертальцы, так же как и более старшие предшественники современного человека, имели лучшее обоняние, чем мы (Corbin, 1986; Jerison, 1982). Кроме того, в антропологической литературе упоминается, что у первобытных народов обоняние было лучше, чем у современных людей.

З Р Е Н И Е

Вопреки распространенному мнению, люди не используют свои два глаза в равной степени. Было установлено, что в задачах, где может быть использован только один глаз (например, прицельная стрельба или предпочтение каким глазом смотреть в телескоп, микроскоп, замочную скважину), люди чаще предпочитают использовать правый глаз (Chaurasia et al., 1976; Reiss, 1997; Ehrenstein et al., 2005). Так, при смотрении в телескоп 65% всех наблюдателей, последовательно выбирали правый глаз, 32% -левый и только 3% не имели предпочтения

(Crider, 1944; Gronwall, Sampson, 1971; Miles, 1929; Spong, 1962). Ведущий глаз первым фокусируется на предмете, неведущий направляет зрительную ось на точку фиксации ведущего глаза.

Сторона доминантного глаза и доминантной руки не всегда совпадает, однако во многих исследованиях было показано, что имеется слабая, но заметная связь между рукостью и

Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В 2 3

глазным доминированием (Porac, Coren, 1976, Annett, 1985; Dane, Gümüstekin, 2002).

Ипсилатеральное (неперекрещенное) доминирование глаза и руки наблюдалось в 65% случаев, тогда как контралатеральное или перекрещенное доминирование-в 18%. Предпочтение глаза у детей зависит от предпочтений глаз у родителей (Brackenridge, 1982).

Вероятно у кур, правый глаз используется преимущественно для обнаружения пищи (или зрительных сигналов, которые приводят к пище), тогда как левый-для обнаружения опасности

(Vallortigara, Rogers, 2005).

Связь зрения с полом и возрастом. Существенные различия полов в функциональной асимметрии были отмечены для визуальных и слуховых стимулов (Voyer, 1996).

Глазомер у женщин развит хуже, чем у мужчин. Женщине труднее определить расстояние до какого-то предмета, особенно в сумерках. Однако, периферийное зрение у женщин развито лучше, что позволяет замечать все мелочи, даже не поворачивая головы. Они отчетливо видят сектор по меньшей мере в 45o с каждой стороны головы, то есть вправо-влево, а также вверх и вниз. Эффективное периферийное зрение многих женщин достигает полных 180 o . Глаза мужчины больше, чем у женщины, и его мозг обеспечивает ему "туннельное" видение, что означает способность видеть четко и ясно прямо перед собой на большое расстояние, то есть его глаза можно уподобить биноклю. Его зрение эволюционировало до почти ограниченного видения. Отмечена большая частота доминирования правого глаза у мужчин по сравнению с женщинами (Reiss, 1997). Однако, в других работах не было отмечено зависимости глазного доминирования от пола или рукости (Porac C., et al., 1980).

У детей в возрасте примерно 6 лет интенсивно формируются поля зрения и примерно за 1.5 года они приближаются к величине поля зрения взрослых. Поля зрения увеличиваются больше в горизонтальном направлении, при этом у правого глаза больше, чем у левого (Ананьев, Рыбалко, 1964). По Г. А. Литинскому (1929), глазное доминирование увеличивается с возрастом.

Зрение в филогенезе. Как известно, у далеких филогенетических предшественников человека глаза были расположены латерально, их зрительные поля не перекрывались и каждый глаз был связан только с противоположным полушарием мозга-контралатерально. В процессе эволюции у некоторых позвоночных, в том числе и у предков человека, в связи с переходом на стереоскопическое зрение, глаза переместились на фронтальную сторону. Это привело к перекрытию левого и правого зрительных полей и к появлению новых ипсилатеральных связей: левый глаз-левое полушарие, правый глаз-правое.

В Табл. 1.4 (Приложение В ) приведены соотношения между количеством ипси- и контраволокон в зрительном нерве у ряда млекопитающих. Видно, что по мере перехода от животных с латерально направленными зрительными осями к животным с фронтальной ориентацией зрительных осей растет доля ипси-волокон (Блинков, Глезер, 1964). Возникновение ипсилатеральных связей обеспечивает попадание зрительной информации от обоих глаз в одно полушарие для сопоставления и получения стереоскопической картины-восприятия глубины. Было показано, что самое важное требование для осуществления стереоскопического зрения- это различия в образах на сетчатке двух глаз (Bishop, 1981). Стало быть, ипсилатеральные связи эволюционно моложе (появились позже) контралатеральных. Такой вывод справедлив, видимо, не только для зрительных проводящих путей, но и для всех: моторных, сомато-сенсорных, слуховых.

Внутри слуховой системы выделяют 2 самостоятельных подсистемы: неречевой слух- способность ориентироваться в неречевых звуках (шумах, музыкальных тонах) и речевой слух, то есть способность слышать и распознавать звуки речи. В условиях угнетения одного

2 4 Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В

полушария было показано, что повышение порогов обнаружения звуков речи, ухудшение опознания фонем, слогов и слов наблюдается только при инактивации левого полушария и обусловлено утратой смыслоразличительной функции фонем. Правое полушарие извлекает значение слова из целостного звукового образа (Балонов, Деглин, 1976; Балонов и др., 1985).

Латерализация слуха . В опытах по дихотическому прослушиванию было показано, что средовые звуки-(шум дождя, моря, лай собаки, кашель и др.) лучше улавливает левое ухо, а

смысловые звуки (слова, числа)-правое (Blumstein et al., 1975; Curry, 1967; Harris, 1978). Левое ухо мужчин более чувствительно к различению простых акустических звуков, чем правое; у женщин асимметрия менее выражена (Вольф, Цветовский, 1985). В экспериментах с тахистоскопическим и дихотическим предъявлением словесных и несловесных стимулов преобладание правого уха (в восприятии словесных стимулов) было у мужчин, а левого (в восприятии неречевых стимулов)-у женщин-правшей. При восприятии музыкальных мелодий отмечалось незначительное преобладание левого уха у мужчин-правшей и значительное-у

женщин-правшей (Piazza, 1980).

Методом магнитно-резонансной томографии была показана бóльшая активация левого полушария (преимущество правого уха) при предъявлении коротких звуков в контексте реальных слов по сравнению с псевдо словами (Shtyrov et al., 2005). Исследование методом вызванных потенциалов у новорожденных при предъявлении звуков речи и шуме или музыкальных аккордах было показано, что вызванные потенциалы при звуках речи были значительно больше в левом полушарии, чем в правом. При неречевых звуках у всех младенцев преобладали вызванные потенциалы в правом полушарии (Блум и др., 1988).

У японских макак различение видоспецифических звуков было лучше у правого уха, что говорит о преимуществе левого полушария при распознавании звуков подобных речи (Hamilton, Vermeire, 1991).

Половые различия . При анализе результатов дихотических исследований латерализации восприятия слогов, состоящих из согласной и гласной, только в одной работе был выявлен больший эффект правого уха у женщин по сравнению с мужчинами (Dorman, Porter, 1975 цит. по McGlone, 1980). В большинстве исследований не было обнаружено половых различий

(McGlone, Davidson, 1973; Hiscock, MacKay, 1985; Bryden, 1988; Clarke, Zaidel, 1994). В отличие от этого Д. А. Лейк и М. Р. Бриден (Lake, Bryden, 1976) обнаружили, что у мужчин преимущество правого уха выражено сильнее, чем у женщин. Сравнение мужчин и женщин по такому показателю, как количество испытуемых, показавших эффект правого уха, выявило как достоверно большую встречаемость левостороннего доминирования у мужчин (Bryden, 1973;

Lake, Bryden, 1976), так и отсутствие половых различий (Bryden, 1975; Bryden et al., 1983). Тем не менее, обзор исследований половых различий латерализации при выполнении дихотического теста, сделанный в двух работах (Hiscock, MacKay, 1985; Bryden, 1988), привел авторов к выводу, что половые различия невелики и выявляют лишь тенденцию большего преимущества правого уха у мужчин по сравнению с женщинами при предъявлении бессмысленных речевых сигналов. Метаанализ работ, в которых исследовали половые различия по асимметрии методом дихотического прослушивания выявил большую асимметрию у мужчин. По вербальным тестам эффект был больше, чем по невербальным (Voyer, 2011). Большая право-полушария латерализация у мужчин и более билатеральная организация у женщин была отмечена при обработке структуры слогов (Meinschaefer et al., 1999).

Воспроизведение слов с правого уха не отличалось достоверно у мужчин и женщин. У женщин в отличие от мужчин наблюдалась асимметрия воспроизведения, обусловленная лучшим узнаванием слов, предъявлявшихся в левое ухо. У мужчин асимметрия в узнавании латерально предъявленных слов отсутствовала.

Данные о меньших латеральных различиях показателей непосредственного воспроизведения у женщин по сравнению с мужчинами согласуются с результатами, полученными в аналогичной ситуации дихотического тестирования с применением в качестве стимулов серий конкретных

Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В 2 5

существительных (Вартанян с соавт., 1988). В то же время при использовании в качестве дихотически предъявляемых стимулов названий чисел, одинаковый эффект правого уха выявлен независимо от пола испытуемых (McGlone, Davidson, 1973; Bryden, 1975). Если исходить из гипотезы о билатеральном распределении аналогичных речевых функций между полушариями у женщин, то приведенные данные трудно поддаются объяснению, так как в обоих случаях предъявляется вербальная информация.

У новорожденных девочек слух был гораздо чувствительнее, чем у мальчиков, особенно в области от 1 до 4 кгц, которая важна для распознавания речи (Cassidy, Ditty, 2001). Девочки слышат лучше мальчиков, особенно в области выше 2 кгц (Corso, 1959; Sato, 1991). С возрастом слуховая чувствительность уменьшается, распространяясь с высоких частот на низкие. Так ребенок слышит звук с частотой до 30 кГц, у подростка (до двадцати лет) восприимчивость снижается до 20 кГц, а к шестидесяти годам-до 12 кГц.

Женщины в среднем слышат лучше мужчин. Они также хорошо различают звуки в области высоких частот. У мужчин по сравнению женщинами потеря слуха происходит в более раннем возрасте и в большей степени (Corso, 1959; Karlsmose et. al, 1959). Так 15-ти летние мальчики теряют слух на 70% чаще девочек (Sorri, Rantakallio, 1985).

Точность гаптической идентификации стимулов оказалась выше у мальчиков, чем у девочек, в возрасте 10 лет и старше (Posluszny, Barton, 1981). Вкусовая чувствительность больше у женщин, при этом и у женщин, и у мужчин она острее на левой половине языка (Благовещенская Н. С, Мухамеджанов Н. З., 1985).

Флуктуирующая асимметрия

Флуктуирующая асимметрия (fluctuating asymmetry ) характеризуется небольшими случайными отклонениями от билатеральной симметрии. Многие исследователи пытаются использовать флуктуирующую асимметрию в качестве меры стабильности развития. Отмечено уменьшение флуктуирующей асимметрии с увеличением гетерозиготности особей и популяций (Livshits, Kobyliansky, 1991; Palmer, Strobeck, 1986). Флуктуирующая асимметрия увеличивается в инбредных популяциях по сравнению с дикими и с увеличением инбридинга (Mather, 1953; Beardmore, 1960; Siegel, Doyle, 1975). Увеличение флуктуирующей асимметрии отмечено у самцов по сравнению с самками, при сильном движущем отборе (Thoday, 1958) и при стрессе (Palmer, Strobeck, 1986). Есть данные, что флуктуирующая асимметрия увеличивается у гибридных видов (Leary et al., 1985; Zakharov, 1981) и у экстремальных фенотипов (находятся на краях распределения) (Leary et al., 1984; Soule, Couzin-Roudy, 1982).

Широкую, общебиологическую, эволюционную проблему, каковым является латеральная асимметрия, можно понять только в эволюционном плане.

Все существующие теории асимметрии страдают общими методологическими недостатками. Они трактуют её в рамках зеркальной (то есть одномерной) асимметрии. Это невозможно. Размерность теории должна быть не меньше размерности загадки. Они пытаются решить проблему в узких рамках: или, как сугубо человеческую, или в пределах частных дисциплин (генетики, эмбриологии, патологии), то есть в плоскости неэволюционных наук.

Они не могут объяснить адаптивность явления, тесную связь с полом, картину доминирования, не говоря уж о предсказании чего-либо. Все они, либо не ставят вовсе, либо не дают правильного ответа на следующие, важные вопросы. 1. Что такое левшество-норма или патология? Имеет ли оно эволюционный, адаптивный смысл? Какой? 2. Стабильно ли оно, в настоящее время, или эволюционирует? В каком направлении? 3. Почему все феномены латеральной асимметрии так тесно связаны с полом? 4. Что означает доминантность? 5. Можно

2 6 Г Л А В А 1 . А С И М М Е Т Р И Я О Р Г А Н И З М О В И О Р Г А Н О В

ли объяснить феномен левшества в целом, только зеркальной асимметрией? Или надо привлечь другие её виды? 6. Что первично, а что вторично: доминантное полушарие, доминантная рука или их комбинация? Что является причиной, а что следствием? Играет ли в этом роль речь или самосознание? Почему при специализации парных органов новую функцию приобретает правый орган, а старую сохраняет левый (а полушария мозга, наоборот) (Геодакян, 1986,1993)?

Отсутствует также и эволюционная трактовка левшества: никто не ставил вопрос о его адаптивности (для чего? что дает?), об эволюционных закономерностях и тенденциях и не искал эволюционного смысла . А так как левшество, будучи следствием асимметрии мозга,-явление эволюционное, то все “неэволюционные” попытки терпели неудачу.

Анализ известных фактов и существующих трактовок позволяет сделать следующие выводы: 1. Как асимметрия мозга, так и направление полового диморфизма по ней (♂♂ > ♀♀) свойственны не только человеку, но и многим позвоночным. 2. Ни одна из существующих теорий асимметрии мозга или рукости не может объяснить непротиворечиво явление в целом. 3. Необходимо искать более общую эволюционную концепцию.

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! Стоп. Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так.

Ну конечно, каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения и посвящена лежащая перед вами книга.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае до тех цор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны продорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы.

Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга. (К сходству или подобию мы еще вернемся через несколько страниц.) Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

БЕЗУКОРИЗНЕННАЯ СИММЕТРИЯ СКУЧНА

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина - левой.

Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Лишь изредка женщина обладает достаточной смелостью, чтобы надеть по-настоящему асимметричное платье (насколько сильные отклонения от симметрии допустимы, мы увидим дальше).

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор - слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди, нередко подчеркнутый еще и платочком. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой).

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты. Знаменитый автопортрет Альбрехта Дюрера на первый взгляд кажется абсолютно симметричным. Но, приглядевшись внимательней, вы заметите маленькую асимметричную деталь, которая и сообщает картине живость и жизненность: прядку волос возле пробора.

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). А в наши дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

ЧТО ТАКОЕ ПОДОБИЕ?

Нередко мы говорим, что какие-то два человека похожи друг на друга. Дети обычно похожи на своих родителей (во всяком случае, по мнению их бабушек). Похожи, но не одинаковы!

Попробуем разобраться, что понимается под сходством или подобием в математике. У подобных фигур соответствующие отрезки пропорциональны друг другу. В нашем случае мы можем сформулировать это положение так: подобные носы имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. При этом каждому отдельному участку носа (например, переносице) должны быть пропорциональны все остальные.

Этот закон подобия иногда таит в себе подвох. Например, в задаче такого рода:

Высота башни А 10 м. На некотором расстоянии X от нее находится шестиметровая башня В. Если провести прямые от подножия и от вершины башни А через вершину башни В, то они встретятся соответственно с подножием и вершиной башни С, имеющей высоту 15м. Каково расстояние от башни А до башни В?

Казалось бы, для решения достаточно взять в руки циркуль и линейку. Но тут же выяснится, что ответов будет бесконечное множество. Иными словами, на вопрос о значении X не может быть однозначного ответа.

В этой книге вы нередко будете сталкиваться с задачами, требующими размышлений. В этом есть определенный педагогический смысл. Такого рода задачи, даже если они и не имеют решения, как, например, предложенная выше, касаются какой-либо проблемы, лежащей у пределов нашего знания. Большей частью это те самые пределы, перед которыми пасует знаменитый «здравый смысл», и лишь строго математическое логическое мышление вкупе с естественнонаучным познанием способно привести к правильному решению.

Обратимся снова к человеку: при сравнении живых существ сходство ощущается явно, если совпадают их пропорции. Поэтому могут быть похожи дети и взрослые. Хотя масса и размеры любой из частей тела, будь то нос или рот, различны, но пропорции похожих индивидов совпадают.

Поразительный пример подобия - глазомерная оценка расстояния с помощью большого пальца. Таким способом военные и моряки прикидывают расстояние между двумя пунктами на местности или в море, сопоставляя их с шириной пальца или кулака. В самом простом случае закрывают один глаз и смотрят открытым глазом на палец вытянутой руки, используя его как визир.

При визировании с помощью большого пальца вытянутой руки (один раз левым глазом, а другой - правым) палец "отскакивает" примерно на 6°

Если раскрыть прежде закрытый глаз (а второй зажмурить), палец на видимое расстояние переместится в сторону. В градусном выражении это расстояние составляет 6°. И притом величина этого «прыжка» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей! Так, правофланговый роты, парень двухметрового роста, и самый маленький - левофланговый, ростом всего лишь метр шестьдесят, сравнив эти «прыжки» пальца, получат одну и ту же величину.

Причина этого явления в конечном счете кроется в подобии людей и, конечно, в законах оптики, которым подчиняется наше зрение.

Известно и «правило кулака» - в самом прямом смысле этого слова - для грубой прикидки величины угла. Если мы посмотрим одним глазом на кулак вытянутой руки (на сей раз одним и тем же глазом), то ширина кулака составит 10°, а расстояние между двумя косточками фаланг 3°. Кулак и оттопыренный в сторону большой палец составят 15°. Комбинируя эти мерки, можно приблизительно измерить все углы на местности.

И наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между большим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90°. Это кажется маловероятным, но вы можете тотчас проверить все сами, приложив растопыренные пальцы ладони к углу нашей книги. Положите мизинец строго параллельно одному краю и двигайте руку вдоль него вниз, пока большой палец также не ляжет на нижний край. Убедились?

Конечно, здесь ошибка порой оказывается сравнительно большой, так как в зависимости от возраста и разработанности кисти большой палец может отставляться на различные расстояния. Но для первого испытания, позволяющего решить, существенно ли отклоняется измеряемый угол от прямого, такой метод вполне пригоден.

ЛАЙНЛАНДИЯ И ФЛАТЛАНДИЯ

Люди, наделенные воображением, уже давно обратили внимание на то, что законы конгруэнтности, столь строгие для двумерного пространства, при применении на практике нередко требуют использования третьего измерения.

Когда сервируют стол к парадному приему гостей, салфетки обычно складывают треугольником. Но стоит собрать эти треугольники в стопку, один на другой, как обнаруживается, что треугольников этих два вида: одни сразу же «подходят» друг к другу, а другие приходится перевернуть «на правильную сторону». Аналогичная проблема возникает и при штамповке мелких деталей, когда кто-нибудь пытается сложить готовую продукцию в штабеля.

Поэтам и писателям свойственно фантазировать вокруг более или менее вероятных ситуаций. Так, существуют произведения, в которых рисуется жизнь в двумерном пространстве (где «салфетку» никак не перевернешь).

Некоторые авторы идут еще дальше и пробуют представить себе жизнь в одномерном пространстве, в Стране Прямой - Лайнландии. Лайнландия населена лишь тоненькими деревянными палочками, которые в простейшем случае ничем друг от друга не отличаются. Однако стоит придать им головки (сразу вспоминаются спички!), и у них тут же появляются две возможности.

Либо все спички обращены головками в одну сторону - тогда их совмещение не вызывает сложностей. Либо часть спичек лежит головками налево, а часть - головками направо. Математик из Лайнландии не имеет практической возможности перевести «левые» спички в «правые». Но математик из Страны Плоскости - Флатландии, который располагает еще одним измерением, сразу найдет простое решение: повернет спичку в плоскости.

Однако, по мнению некоторых писателей, жизнь и во Флатландии не так-то проста. Представим себе, что жители этой страны маленькие прямоугольники с глазом (а глаз у них только один) в одном из углов. Видеть такой прямоугольник может, конечно, только в плоскости, и ему никогда не удается взглянуть на эту плоскость сверху. Так что ни один флатландец никогда не сможет представить себе, как на самом деле он выглядит: для этого уже необходим взгляд из трехмерного пространства. Домики у флатландцев были бы примерно такими, как на детских рисунках. С той разницей, что двери находились бы сбоку и открывались бы только в этой же плоскости. Но вот дверные петли пришлось бы делать вне плоскости, выше или ниже ее. Кроме того, понадобилась бы сложная система подпорок, чтобы стена домика не рухнула, когда его обитатели захотели бы открыть дверь. А двое флатландцев смогли бы взглянуть друг на друга лишь в том случае, если бы одному из них удалось встать на голову.

Положение усложнилось бы еще больше, если бы Флатландию населяли два народца. Скажем, лево- и правосторонние флатландцы. Требуется большое воображение, чтобы живописать все возможные последствия такой ситуации, особенно если учесть, что мы-то привыкли мыслить в трех измерениях!

Поскольку и Лайнландия, и Флатландия представлялись писателям в юмористическом свете, не приходится удивляться, что литература на эту тему возникла в Англии.

В 1880г. английский педагог Эдвин Эбони Эбботт написал книгу о Флатландии и ее жителях (Эбботт Э. Э. Флатландия. В кн.: Эбботт Э. Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. -М.: Мир, 1976 ). Флатландец Эбботта, попав во сне в Лайнландию, тщетно пытается убедить тамошних обитателей в существовании плоскости.

По ходу действия одному из флатландцев удается познать трехмерное пространство, за что его признают «безумнейшим из безумных».

Через двадцать с лишним лет, в 1907 г., Ч. Г. Хинтон опубликовал роман «Случай во Флатландии». В нем два флатландских народца ведут войну. Поскольку все флатландцы обращены лицом в одну сторону, один из народцев всегда в безнадежном проигрыше: он не может повернуться и нанести ответный удар в нужном направлении - ненавистный враг постоянно сидит у него на шее. Но в конце концов добро побеждает. Какая-то умная голова замечает, что Флатландия расположена на шарике и, значит, можно, обежав вокруг него, зайти врагу в тыл.

Автор романа строит свой рассказ в молчаливом предположении, что флатландцы могут двигаться только по определенным генеральным направлениям, исключающим обход сбоку, а опрокинуть врага через голову для них невозможно.

Как видно, по поводу жизни в двумерном пространстве выдвигались самые изощренные теории, однако они никогда не находили приложения. Надо думать, и эти книги, и их авторы были бы давно позабыты, если бы Лайнландия и Флатландия не были так нужны для пояснения теории зеркального отражения и если бы составителям задач на сообразительность не приходилось все снова и снова обращаться к Флатландии, чтобы извлекать идеи из ее двумерия (кстати, не так давно в Венгрии был создан мультфильм о путешествии школьника Адоляра во Флатландию).

В числе прочего флатландцы перевозят грузы, накатывая платформы на круги. Всякий раз, когда груз минует круг, тамошний транспортный служащий перекатывает этот круг вперед и ставит перед платформой.

Здесь возникает множество любопытных задач. Но нас интересует только одна: если ось колеса движется со скоростью 10 м в минуту, с какой скоростью движется груз?

О нашем земном автомобиле мы знаем, что ни одно колесо (точнее, ни одна колесная ось) не может двигаться скорее, чем весь автомобиль. Но у флатландского автомобился колесо не связано жестко с грузом. Подумав, нетрудно сообразить, что груз здесь участвует в двух движениях.

Во-первых, он движется вместе с осью вращения колеса (это так же, как и у автомобиля). А кроме того, груз еще катится по окружности колеса, и при этом со скоростью, тоже равной скорости вращения оси. Следовательно, в целом груз катится с двойной скоростью по отношению к скорости колеса. Разумеется, груз должен двигаться скорее уже потому, что колеса все время остаются позади и их приходится постоянно переставлять вперед.

Некоторые читатели подумают: «Задачка действительно занятная, ну и что из того?»

Однако принцип действия флатландского транспорта находит себе место и в нашей технике. Так, конструктор, проектируя дверь в небольшом помещении (например, у маленького лифта), вынужден отказаться от шарниров. Он делит дверь на две половинки (если, конечно, додумается до такой уловки!), которые ходят параллельно друг перед другом. Одна половинка двери неподвижно скреплена с осью ролика, а вторая двигается по окружности этого ролика. Пока одна половинка сдвигается на половинку ширины двери, другая успевает перебежать всю ширину дверного проема (с удвоенной скоростью).

Не станем смотреть на Флатландию и на писательские фантазии свысока. Предположим, что флатландцы действительно проживают на поверхности шара. Поверхность эта столь велика, что жители могут не заметить ее кривизны. Естественно, они думают, что живут на плоскости, так как шара представить себе не могут: ведь третье измерение им в принципе незнакомо. Поэтому профессора-флатландцы развивают флатландскую математику, которая изучается в школах. Дети там зазубривают, например, такое определение: две параллельные прямые пересекаются на конечном расстоянии. Или: сумма углов треугольника превышает 180°. Мы же, люди трехмерного пространства, знаем, что шаровая поверхность представляет собой двумерное неевклидово пространство, которое не укладывается в привычную евклидову геометрию.

Посмотрев на глобус, мы видим, что два меридиана, параллельные у экватора, на полюсе пересекаются. Глядя на глобус, можно убедиться и в том, что два меридиана образуют с экватором угол 90°. У точки пересечения на полюсе возникает еще один угол. И сумма всех трех углов в любом случае больше 180°. Но бедные флатландцы, конечно, не могут и предположить всего этого. Они-то уверены, что живут на плоскости.

Один скептически настроенный математик, Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), всерьез задумался над тем, не в положении ли флатландцев находимся и мы, люди. Возможно, думал Гаусс, мы тоже живем в неевклидовом мире, но только не замечаем этого. Если бы это было так, пространство было бы искривлено (чего бы мы, конечно, не могли себе представить), и у достаточно большого треугольника сумма углов отличалась бы от 180°. Гаусс измерил треугольник между Брокеном, Инзельбергом и Высоким Хагеном, но не нашел существенного отклонения от 180°. Это, конечно, не могло служить бесспорным доказательством, так как треугольник все равно мог оказаться слишком мал.

Впрочем, нельзя просто так сравнивать неевклидово пространство, о котором шла речь, с пространством в теории относительности. Мы с вами, флатландцы и Гаусс ведем речь о чисто геометрической, пространственной проблеме и о том, справедливы ли определенные аксиомы (к примеру, о пересечении двух параллельных прямых в бесконечности). Приверженцы теории относительности в качестве четвертой пространственной координаты вводят время.

О КОНГРУЭНТНОСТИ

Две плоские фигуры конгуэнтны, если у них все углы и отрезки прямых между соответствующими точками равны.

В школе мы изучаем теоремы о конгуэнтно-сти треугольников. Установлено, например, что площади треугольников равны, если у них одна сторона и прилежащие к ней два угла совпадают. Это означает, что, хотя для построения треугольников можно использовать сторону и два прилежащих к ней угла, совпадать треугольники должны всеми своими частями.

В разговорной речи (которой мы и пользуемся в этой книге) можно сказать, что конгруэнтные плоскости точно накладываются друг на друга или, наоборот, если одна плоская фигура точно наложима на другую, то они конгруэнтны. То же самое справедливо и для трехмерных тел: если их можно совместить, то они конгруэнтны.

Посмотрите на треугольники, изображенные на рисунке. Все они конгруэнтны. Очевидно, что оба треугольника, помещенные слева, совместятся, если их попросту передвинуть. А вот треугольник, помещенный справа, хотя и конгруэнтен с двумя левыми, но совместить его с ними только передвижением в плоскости мы не сможем. Как бы мы ни вертели его в плоскости, он никогда не совместится ни с одним из левых треугольников. Чтобы достичь этого, нужно приподнять треугольник над плоскостью, повернуть его в пространстве и снова положить на плоскость. Но если мы сравним взаимное расположение треугольников, совмещенных путем сдвига и перевертывания, то увидим, что в обоих случаях совпадают их разные стороны. При сдвиге нижняя поверхность одного бумажного треугольника накладывается на верхнюю поверхность второго треугольника. Пространственная ориентировка поверхности бумажного листа не изменилась. В этом случае говорят о тождественной конгруэнтности. Если при повороте в пространстве совмещаются обе верхние поверхности бумаги, плоские фигуры называются зеркально-конгруэнтными.

Конгруэнтными называются плоские фигуры, которые мы воспринимаем как равные и которые можно совместить друг с другом путем сдвига в плоскости или поворота в пространстве.

КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Конгруэнтность - свойство геометрических плоских фигур совпадать между собой по величине и по форме.

Тождественно-конгруэнтными являются фигуры, которые можно совместить друг с другом путем поворота и(или) сдвига.

Зеркально-конгруэнтными являются фигуры, для совмещения которых необходима дополнительно операция зеркального отражения.

Существует четыре признака конгруэнтности треугольников. Треугольники конгруэнтны, если:

1) три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого (S, S, S);

2) две стороны и заключенный между ними внутренний угол одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними внутреннему углу другого треугольника (S, W, S);

3) две стороны и противолежащий большей из них внутренний угол одного треугольника равны двум сторонам и противолежащему большей из них углу другого треугольника (S, S, W);

4) сторона и оба прилежащих к ней внутренних угла одного треугольника равны стороне и обоим прилежащим к ней внутренним углам другого треугольниками (W, S, W).

ПОДОБИЕ

Совпадение плоских фигур по форме, но не по величине называется подобием.

Каждому углу одной из фигур соответствует равновеликий угол подобной фигуры.

В подобных фигурах соответственные отрезки пропорциональны.

Путем сдвига, поворота и (или) зеркального отражения можно привести две подобные фигуры в положение гомотетии. В этом положении соответственные стороны обеих фигур параллельны между собой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Пусть плоскость разделена прямой s на две полуплоскости. Если теперь повернуть одну полуплоскость вокруг прямой 5 на 180°, то все точки этой полуплоскости совместятся с точками другой полуплоскости.

Прямая s называется осью симметрии.

Ввиду того что точки на перевернутой полуплоскости находятся в зеркальном положении по отношению к их первоначальному положению, это переворачивание называют также зеркальным отражением. Если нанести на одну полуплоскость линии, указывающие какие-то направления вращения, то после зеркального отражения это направление изменится на противоположное. Следовательно, одна операция зеркального отражения создает зеркально-конгруэнтные фигуры. Две такие операции приводят к тождественно-конгруэнтным фигурам. Они соответствуют сдвигу, или повороту.

РАДИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Радиально-симметричные фигуры могут быть совмещены друг с другом путем вращения вокруг точки S. Эта точка называется центром симметрии.

При вращении соответственные точки фигур совмещаются. Направление вращения не меняется. Фигура, отраженная таким способом, является тождественно-конгруэнтной.

Последующие операции вращения никак не повлияют на тождественность фигур. При угле поворота, равном 180°, говорят о центральной симметрии.

ТРЮК С КУБИКАМИ

Педагоги утверждают, что игра с кубиками развивает пространственное воображение. И вот родители покупают своим отпрыскам ящики с яркими кубиками, оклеенными фрагментами картинок из популярных сказок. Сложив эти кубики нужным образом, вы увидите Красную Шапочку с Серым Волком или Белоснежку с семью гномами.

На самом деле такого рода кубики и головоломки развивают пространственное воображение не только у детей, но и у всех - от мала до велика. Иногда нам доводится складывать куб из различной формы чурбачков.

При ближайшем рассмотрении этих отдельных элементов оказывается, что по меньшей мере два из них имеют одинаковые форму и размеры, но относятся друг к другу как левая и правая перчатки. Создатели головоломок такого рода, очевидно, надеются, что играющие не сразу уловят это различие. Если припомнить, сколько раз мы путали правые и левые перчатки, придется признать, что такие надежды не лишены основания.

Совместить эти элементы практически невозможно. Следует заметить, что, употребляя здесь (или где-то ниже) выражение «практически возможно», мы имеем в виду осуществление подобного задания на практике.

Но ведь существуют еще и математические или физические методы, позволяющие совмещать элементы хотя бы теоретически или по внешним признакам, - это и явится предметом дальнейшего рассмотрения. И поскольку здесь говорилось о совмещении одного элемента с другим, следует особо отметить одно важное обстоятельство. Во Флатландии можно было бы совместить плоские фигуры, вынув их из плоскости и повернув в пространстве. В Лайнландии точно так же понадобилось бы всего одним измерением больше: один поворот в плоскости, и отрезки становятся совместимыми.

Но пространственные постройки мы можем повернуть только в пространстве! А поскольку четвертое измерение, несмотря на все рассуждения Гаусса, для нас закрыто, трудно даже вообразить, как практически (!) можно развернуть наши «кирпичики» где-то, помимо трехмерного пространства, чтобы они совместились друг с другом!

В повседневной жизни нам очень часто приходится решать подобные головоломки (я подчеркиваю: именно решать практически, а не играть!), например при упаковке различных предметов. Или, к примеру, представьте себе радиаторы центрального отопления. У одних из них вентиль для регулировки находится слева, у других - справа. Каким образом соединить несколько радиаторов в одну батарею?

Холодильники, кухонные плиты и другие предметы домашнего обихода обычно исполняются с право- и левосторонним расположением ручек, ключей, кранов. Фантастическая возможность поворота подобных предметов в четвертом измерении очень порадовала бы всех, кто имеет дело с их перевозкой и установкой.

ЗАГЛЯНИТЕ В СЛОВАРЬ!

В начале книги мы назвали человека существом симметричным. В дальнейшем же термин «симметрия» больше не употреблялся. Однако вы уже, наверное, заметили, что во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...» (Словарь иностранных слов: Изд. 7-е, переработанное. -М.; Русский язык 1980, с. 465 )

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный».

Раз уж мы роемся в справочниках, давайте заглянем в Энциклопедический словарь (Советский энциклопедический словарь - М.: Советская энциклопедия, 1980, с. 1219-1220 ). Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии (кое-что об этом вы еще прочтете в этой книге). Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Итак, надо договориться, о какой именно симметрии пойдет у нас речь. Независимо от характера рассматриваемых предметов основной интерес для нас будет представлять зеркальная симметрия - симметрия левого и правого. Мы увидим, что это кажущееся ограничение уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

ИГРА В ТОЧКИ И ЛИНИИ

Мы еще не ушли от Лайнландии и Флатландии. И на то есть особая причина. Если даже там и нет обитателей, то сами-то прямые и плоскости вполне реальны!

Поразмыслим, как обстоит с симметрией на прямой. С помощью двух спичек мы можем очень просто представить себе два возможных случая. (Некоторые стороны этой ситуации мы уже рассмотрели раньше.) Спички могут лежать головками в одну сторону. Тогда они легко совмещаются. Или же головками (или кончиками) друг к другу. В этом случае на прямой существует точка, в которой зеркало можно поставить таким образом, что наступит кажущееся совмещение спички со своим отражением. Другими словами, на прямой существует центр симметрии. Нам придется представить, что зеркало уместилось в одной точке и в нем отражается половинный отрезок прямой. В математических рассуждениях это вполне возможно.

Плоские фигуры "отражаются" в осях симметрии

При построениях на плоскости наше зеркало может по-прежнему оставаться точкой, а может быть и прямой. Наверное, правильнее сказать в обратном порядке: зеркалом будет служить прямая или точка. Ведь если где-то есть прямая, то на ней возможен точечный центр симметрии.

Зеркальные отражения половинок плоскостей выглядят так же, как и реальные плоскости: путем поворота плоскости вокруг прямой - зеркала - ее можно совместить с отражением, отсюда и возникло выражение «ось симметрии».

Круг имеет бесконечное множество осей симметрии. "Лист клевера" - только одну

Итак, мы знаем теперь, что представляют собой центр симметрии и ось симметрии, а также то, что какой-то предмет (возьмем это нейтральное слово) является симметричным, если одна его половина соотносится с другой, как изображение и его зеркальное отражение.

У круга имеется бесконечное множество осей симметрии, и все они проходят через общий центр симметрии. У других фигур число осей симметрии конечно, но все равно все оси (две их или больше) проходят через центр симметрии. Это значит, что мы можем развернуть фигуру на какой-то определенный угол (максимально на 180°) и она снова ляжет точно на то же место, что и до вращения.

Продолжим свои рассуждения о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

Как ни странно, такая "симметричная" с виду фигура, как параллелограмм, не имеет не только осей симметрии, но и зеркальной симметрии вообще

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо. Это свойство нередко используется в массовых играх и соревнованиях, проводимых телевидением. Играющим предлагается, глядя в зеркало, нарисовать какую-либо несимметричную фигуру, например спираль. А потом еще раз нарисовать «точно такую же» спираль, но уже без зеркала. Сравнение обоих рисунков показывает, что спирали получились разные: одна закручивается слева направо, другая - справа налево.

Но то, что здесь выглядит шуткой, в практической жизни доставляет массу сложностей не только детям, но и взрослым. Нередко дети пишут некоторые буквы «навыворот». Латинское N выглядит у них как И, вместо S и Z получается S и Z. Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита (а это ведь тоже, в сущности, плоские фигуры!), то увидим среди них симметричные и несимметричные. У таких букв, как N, S, Z, нет ни одной оси симметрии (равно как и у F, G, J, L, Р, Q и R). Но N, S и Z особенно легко пишутся «наоборот» (Они обладают центром симметрии. - Прим. ред ). У остальных прописных букв есть как минимум по одной оси симметрии. Буквы А, М, Т, U, V, W и Y можно разделить пополам про дольной, осью симметрии. Буквы В, С, D, Е, I, К - поперечной осью симметрии. У букв Н, О и X имеется по две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Вопрос, почему буквы с продольной осью ведут себя иначе, чем с поперечной, довольно интересен. Возможно, и вы задумаетесь над ним. Причину этого явления мы еще обсудим в дальнейшем.

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем нашим обычным.

Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф розначает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

НАШ МИР В ЗЕРКАЛЕ

Из Лайнландии мы вынесли представление о центре симметрии, а из Флатландии - об оси симметрии. В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, соответственно существуют плоскости симметрии. «Зеркало» всегда имеет на одно измерение меньше, чем мир, который оно отражает. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно - решить не всегда просто.

Поставим перед зеркалом шар и начнем его медленно вращать: изображение в зеркале никак не будет отличаться от оригинала, конечно в том случае, если шар не имеет каких-либо отличительных признаков на своей поверхности. Шарик для пинг-понга обнаруживает бессчетное множество плоскостей симметрии. Возьмем нож, отрежем половину шара и поместим ее перед зеркалом. Зеркальное отражение вновь дополнит эту половинку до целого шарика.

Но если мы возьмем глобус и рассмотрим его симметрию, учитывая нанесенные на нем географические контуры, то мы не отыщем ни одной плоскости симметрии.

Во Флатландии фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в, пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Из этого заключения проистекали ошибки, о последствиях которых мы еще расскажем. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаический предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему.

Если для сравнения мы рассмотрим куб, то увидим, что он имеет девять плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато.

А имеются ли тела, занимающие по числу пло.скостей промежуточное положение между шаром и кубом? Без сомнения - да. Стоит только вспомнить, что круг, в сущности, как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в школе при вычислении числа π. Если над каждым n-угольником мы воздвигнем n-угольную пирамиду, то сможем провести через нее n плоскостей симметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы соответствующую симметрию!

Но если мы тем не менее воспринимаем куб как более симметричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть - по числу граней, и каждая грань представлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки.

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственному восприятию) традиционно отдается предпочтение «соразмерным» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427-347 до н. э.) открыл, что из правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных тел.

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников получается тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных треугольников можно построить октаэдр (восьмигранник) и, наконец, из двадцати правильных треугольников - икосаэдр. И только из четырех, восьми или двадцати одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из квадратов можно составить только одну объемную фигуру - гексаэдр (шестигранник), а из равносторонних пятиугольников - додекаэдр (двенадцатигранник).

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если во Флатландии это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут винтовая лестница или спиральный бур. Кроме того, существуют еще тысячи асимметричных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом. В повседневной жизни это означает, что в кемпинге, прежде чем готовить на походной плитке, надо всегда попробовать, в какую сторону отвинчивается баллон.

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестницей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии.

Почти у конца этого ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или гранит).

ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

Для правильных многогранников справедливы следующие утверждения:

1. В любом многограннике (в том числе и правильном) сумма всех углов между ребрами, сходящимися в одной вершине, всегда меньше 360°.

2. По теореме Эйлера для выпуклых многогранников

где е - число вершин, ƒ - число граней и k - число ребер.

Гранями правильных многогранников могут быть лишь следующие правильные многоугольники:

3, 4 или 5 равносторонних треугольников с углом 60°. Шесть таких треугольников дают уже 60° Х 6 = 360° и, следовательно, не могут ограничивать многогранный угол.

Три квадрата (90° X 3 = 270°), 3 правильных пятиугольника (108° X 3 = 324°), 3 правильных шестиугольника (120° X 3 = 360°) ограничивают многогранный угол.

Из теоремы Эйлера и формы граней следует, что существует только 5 правильных многогранников:

Таблица пяти правильных многогранников

Формы граней	Число				Платоновы тела
	граней в одной вершине	вершин	граней	ребер
Равносторонние треугольники	3	4	4	6	Тетраэдр
То же	4	6	8	12	Октаэдр
То же	5	12	20	30	Икосаэдр
Квадраты	3	8	6	12	Гексаэдр (куб)
Правильные пятикгольники	3	20	12	20	Пентагон-додекаэдр

(Любая грань Пентагон-додекаэдра представляет собой пятиугольную фигуру, у которой четыре стороны равны между собой, но отличны от пятой. - Прим. перев )