En av de grundläggande geometriska formerna är en triangel. Den bildas i skärningspunkten mellan tre raka segment. Dessa linjesegment bildar figurens sidor, och deras skärningspunkter kallas hörn. Varje student som studerar en geometrikurs måste kunna hitta omkretsen av denna figur. Den förvärvade färdigheten kommer att vara användbar för många i vuxenlivet, till exempel kommer den att vara användbar för en student, ingenjör, byggare,

Det finns olika sätt att hitta omkretsen av en triangel. Valet av formel du behöver beror på tillgängliga källdata. För att skriva detta värde i matematisk terminologi används en speciell notation - P. Låt oss överväga vad omkretsen är, de viktigaste metoderna för att beräkna den för triangulära figurer av olika typer.

Det enklaste sättet att hitta en figurs omkrets är om du har data på alla sidor. I det här fallet används följande formel:

Bokstaven "P" betecknar själva omkretsen. I sin tur är "a", "b" och "c" längderna på sidorna.

Genom att veta storleken på de tre kvantiteterna kommer det att räcka för att få deras summa, som är omkretsen.

Alternativt alternativ

I matematiska problem är alla givna längder sällan kända. I sådana fall rekommenderas det att använda en alternativ metod för att söka efter det önskade värdet. När villkoren indikerar längden på två raka linjer, samt vinkeln mellan dem, görs beräkningen genom att söka efter den tredje. För att hitta detta tal måste du hitta kvadratroten med formeln:

.

Omkrets på båda sidor

För att beräkna omkretsen är det inte nödvändigt att känna till alla data för en geometrisk figur. Låt oss överväga beräkningsmetoder på båda sidor.

Likbent triangel

En likbent triangel är en där minst två sidor har samma längd. De kallas laterala, och den tredje sidan kallas basen. Lika raka linjer bildar en vertexvinkel. En speciell egenskap hos en likbent triangel är närvaron av en symmetriaxel. Axeln är en vertikal linje som sträcker sig från den apikala vinkeln och slutar i mitten av basen. I kärnan inkluderar symmetriaxeln följande begrepp:

• bisektris av vertexvinkeln;
• median till bas;
• triangelns höjd;
• median vinkelrät.

För att bestämma omkretsen av en likbent triangulär figur, använd formeln.

I det här fallet behöver du bara veta två kvantiteter: basen och längden på en sida. Beteckningen "2a" innebär att längden på sidan multipliceras med 2. Till den resulterande siffran måste du lägga till värdet på basen - "b".

I undantagsfallet, när längden på basen av en likbent triangel är lika med dess sidolinje, kan du använda en enklare metod. Det uttrycks i följande formel:

För att få resultatet, multiplicera bara detta tal med tre. Denna formel används för att hitta omkretsen av en liksidig triangel.

Användbar video: problem på omkretsen av en triangel

Rätt triangel

Huvudskillnaden mellan en rätvinklig triangel och andra geometriska former i denna kategori är närvaron av en vinkel på 90°. Baserat på denna funktion bestäms typen av figur. Innan man bestämmer hur man hittar omkretsen av en rätvinklig triangel, är det värt att notera att detta värde för en platt geometrisk figur är summan av alla sidor. Så i det här fallet är det enklaste sättet att ta reda på resultatet att summera de tre kvantiteterna.

I vetenskaplig terminologi kallas de sidor som ligger intill den räta vinkeln "ben", och de som är motsatta 90º-vinkeln kallas hypotenusan. Funktionerna i denna figur studerades av den antika grekiska vetenskapsmannen Pythagoras. Enligt Pythagoras sats är hypotenusans kvadrat lika med summan av benens kvadrater.

.

Baserat på detta teorem härleds en annan formel som förklarar hur man hittar omkretsen av en triangel med hjälp av två kända sidor. Du kan beräkna omkretsen för den angivna längden på benen med hjälp av följande metod.

.

För att ta reda på omkretsen, med information om storleken på ett ben och hypotenusan, måste du bestämma längden på den andra hypotenusan. För detta ändamål används följande formler:

.

Dessutom bestäms omkretsen av den beskrivna typen av figur utan data om benens dimensioner.

Du måste veta längden på hypotenusan, liksom vinkeln intill den. Genom att känna till längden på ett av benen, om det finns en vinkel intill den, beräknas figurens omkrets med formeln:

.

Beräkning via höjd

Du kan beräkna omkretsen av kategorier som likbenta och räta trianglar med hjälp av deras mittlinjeindikator. Som ni vet delar höjden av en triangel sin bas på mitten. Således bildar den två rektangulära former. Därefter beräknas den önskade indikatorn med hjälp av Pythagoras sats. Formeln kommer att se ut så här:

.

Om du känner till höjden och hälften av basen, med den här metoden får du det nummer du behöver utan att söka efter resten av data om figuren.

Användbar video: hitta omkretsen av en triangel

En rätvinklig triangel är en där en av vinklarna är 90 grader och de andra två är spetsiga vinklar. Beräkning omkrets sådan triangel kommer att bero på antalet kända uppgifter om honom.

Du kommer behöva

• Beroende på fallet, färdighet 2 av triangelns 3 sidor, såväl som en av dess spetsiga vinklar.

Instruktioner

1. Metod 1. Om alla tre sidorna är kända triangel, sedan, oavsett om triangeln är rätvinklig eller inte, kommer dess omkrets att beräknas enligt följande: P = a + b + c, där, möjligen, c är hypotenusan och b är benen.

2. Metod 2. Om endast 2 sidor är kända i en rektangel, då, med hjälp av Pythagoras sats, omkretsen av denna triangel kan beräknas med formeln: P = v(a2 + b2) + a + b, eller P = v(c2 – b2) + b + c.

3. Metod 3. Låt en hypotenusa c och en spetsig vinkel ges i en rätvinklig triangel, då blir det möjligt att hitta omkretsen på detta sätt: P = (1 + sin? + cos?)*c.

4. Metod 4. Det är givet att i en rätvinklig triangel är längden på ett av benen lika med a, och mittemot den ligger en spetsig vinkel?. Sedan beräkningen omkrets detta triangel kommer att utföras enligt formeln: P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)

5. Metod 5. Låt oss ange ben a och vinkeln intill den?, då kommer omkretsen att beräknas enligt följande: P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)

Video om ämnet

Omkretsen av en triangel, som med vilken figur som helst, kallas summan av längderna på alla sidor. Ganska ofta hjälper detta värde att hitta området eller används för att beräkna andra parametrar i figuren.
Formeln för omkretsen av en triangel ser ut så här:

Ett exempel på att beräkna omkretsen av en triangel. Låt en triangel ges med sidorna a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Ersätt data i formeln: cm

Formel för att beräkna omkrets likbent triangel kommer se ut så här:

Formel för att beräkna omkrets liksidig triangel:

Ett exempel på att beräkna omkretsen av en liksidig triangel. När alla sidor av en figur är lika kan de helt enkelt multipliceras med tre. Antag att vi får en vanlig triangel med sidan 5 cm i detta fall: cm

I allmänhet, när alla sidor är givna, är det ganska enkelt att hitta omkretsen. I andra situationer måste du hitta storleken på den saknade sidan. I en rätvinklig triangel kan du hitta den tredje sidan vid Pythagoras sats. Till exempel, om längden på benen är kända, kan du hitta hypotenusan med formeln:

Låt oss överväga ett exempel på att beräkna omkretsen av en likbent triangel, förutsatt att vi vet längden på benen i en rät likbent triangel.
Givet en triangel med ben a =b =5 cm Hitta omkretsen. Låt oss först hitta den saknade sidan c. centimeter
Låt oss nu beräkna omkretsen: cm
Omkretsen av en rät likbent triangel kommer att vara 17 cm.

I fallet när hypotenusan och längden på ett ben är kända, kan du hitta den saknade med formeln:
Om hypotenusan och en av de spetsiga vinklarna är kända i en rätvinklig triangel, så hittas den saknade sidan med formeln.

Den högra triangeln är en enkel men extremt viktig figur för matematik. Kunskap om dess egenskaper och förmågan att arbeta med de grundläggande parametrarna för en rätvinklig triangel gör att du kan hantera både skolproblem och verkliga problem.

Geometri av en rätvinklig triangel

Geometriskt är en triangel tre punkter som inte ligger på samma linje, som är förbundna med segment. En rätvinklig triangel är en figur vars två sidor bildar en rät vinkel. Dessa sidor kallas triangelns ben, och den tredje, längsta sidan kallas hypotenusan. Förhållandet mellan benens kvadrater och hypotenusan fastställs av Pythagoras sats - en av de grundläggande satserna i euklidisk geometri.

Relationerna mellan hypotenusan och benen lade också grunden för en hel gren av matematiken - trigonometri. Ursprungligen definierades sinus och cosinus som funktioner av vinklarna i en rätvinklig triangel, men i sin moderna betydelse har trigonometriska funktioner utökats till hela tallinjen. Idag används trigonometri inom många områden av mänsklig verksamhet: från astronomi och oceanografi till finansmarknadsanalys och datorspelsutveckling.

Rätt triangel i verkligheten

Själva den högra triangeln finns i verkligheten vid varje hörn, både bokstavligt och bildligt. Ytorna på tetraeder och prismor har formen av en rätvinklig triangel, som i verkligheten förvandlas till maskindelar, keramiska plattor eller taklutningar. En kvadrat är ett ritverktyg som en person först möter i en geometrilektion den har formen av en rätvinklig triangel och används i design, konstruktion och snickeri.

Omkretsen av en triangel

Perimeter är en numerisk uppskattning av längderna på alla sidor av en platt geometrisk figur. Omkretsen av en n-gon hittas som summan av längderna av n sidor. För att bestämma omkretsen av en rätvinklig triangel, använd en enkel formel:

a och b – ben, c – hypotenusa.

För att beräkna omkretsen av en triangel för hand måste du mäta alla tre sidorna, utföra ytterligare trigonometriska operationer eller utföra beräkningar med Pythagoras sats. Med hjälp av en online-kalkylator behöver du bara ta reda på följande par av variabler:

• två ben;
• ben och vinkel;
• hypotenusa och vinkel.

I skolproblem eller i praktiken kommer du att få initiala data, så räknaren låter dig hitta omkretsen, känna till olika par av parametrar. Dessutom beräknar verktyget automatiskt alla andra attribut för en rätvinklig triangel, det vill säga längden på alla sidor och storleken på alla vinklar. Låt oss titta på ett par exempel.

Exempel från livet

Skoluppgift

Låt oss säga att du i ett skolproblem får en rätvinklig triangel med en sidolängd på 5 cm och en intilliggande vinkel på 60 grader. Du måste hitta omkretsen av en geometrisk figur. Online-kalkylatorn åtföljs av en ritning som visar sidorna och vinklarna i en rätvinklig triangel. Vi ser att om ben a = 5 cm, så är dess intilliggande vinkel vinkel beta. Detta är en viktig punkt, för om du använder alfavinkeln för beräkningar blir resultatet felaktigt. Vi anger dessa uppgifter i formuläret och får ett svar som:

Förutom själva omkretsen bestämde vårt program också värdet på den motsatta vinkeln, liksom längden på det andra benet och hypotenusan.

Rabattarrangemang

Låt oss säga att du vill göra ett staket för en rabatt som har formen av en rätvinklig triangel. För att göra detta måste du känna till figurens omkrets. Naturligtvis kan du i verkligheten helt enkelt mäta alla tre sidorna, men det är lätt att förenkla din uppgift och bara mäta två ben. Låt dem vara 8 och 15 meter långa. Vi lägger in dessa uppgifter i kalkylatorformuläret och får svaret:

Så du måste köpa material för att bygga 40 meter stängsel. Vår kalkylator beräknade också hypotenusans längd - 17 meter. Siffrorna 8, 15 och 17 bildar en pythagoras trippel - naturliga tal som uppfyller villkoren för Pythagoras sats.

Slutsats

Rätt trianglar används ofta i vardagen, så att bestämma området eller omkretsen av en geometrisk figur kommer säkert att vara användbart för dig när du löser skolproblem eller vardagliga problem.

En rätvinklig triangel är en där en av vinklarna är 90 grader och de andra två är spetsiga vinklar. Beräkning av omkretsen av sådana triangel kommer att bero på mängden data som är känd om det.

Du kommer behöva

• Beroende på fallet, kunskap om två av de tre sidorna i en triangel, samt en av dess spetsiga vinklar.

Instruktioner

• Metod 1. Om alla tre sidorna är kända triangel, sedan, oavsett om triangeln är rätvinklig eller inte, kommer dess omkrets att beräknas enligt följande:
  P = a + b + c, där, låt oss säga,
  c - hypotenusa;
  a och b är ben.
• Metod 2. Om endast 2 sidor är kända i en rektangel, då, med hjälp av Pythagoras sats, omkretsen av denna triangel kan beräknas med formeln:
  P = v(a2 + b2) + a + b, eller
  P = v(c2 – b2) + b + c.
• Metod 3. Låt en hypotenusa c och en spetsig vinkel ges i en rätvinklig triangel, då kan omkretsen hittas på detta sätt:
  P = (1 + sin? + cos?)*s.
• Metod 4. Det är givet att i en rätvinklig triangel är längden på ett av benen lika med a, och mittemot den ligger en spetsig vinkel?. Beräkna sedan omkretsen av detta triangel kommer att utföras enligt formeln:
  P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
• Metod 5. Låt oss veta sidan a och vinkeln intill den?, då kommer omkretsen att beräknas enligt följande:
  P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)